Trigonometrische Funktionen Parameter

Trigonometrische Funktionen Parameter – Übersicht

In der folgenden Tabelle findest du die reinen trigonometrischen und die erweiterten trigonometrischen Funktionen.

Um aus den erweiterten Funktionen die reinen Funktionen zu erhalten, musst du für die Parameter folgende Werte einsetzen:

$\begin{array}{rcl}a& =& 1\\ b& =& 1\\ c& =& 0\\ d& =& 0\end{array}$

Auffällig ist, dass hier der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Eine Parameterbetrachtung beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.

Trigonometrische Funktionen – Einfluss der Parameter

Da die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ umfassenden Einfluss und Auswirkungen auf die reinen trigonometrischen Funktionen haben, ist es hilfreich, die Eigenschaften der Parameter zu kennen.

Falls du noch gar nichts mit den Parametern $a$, $b$, $c$ und $d$ zu tun hattest, helfen dir bestimmt die Beispiele zu trigonometrischen Funktionen im Parameter-Artikel.

Wenn du beschreiben sollst, wie aus einer reinen Funktion eine erweiterte Funktion entsteht, musst du auch die Reihenfolge der Auswirkungen betrachten. Das kannst du dir allerdings leicht merken, denn zuerst wird Parameter $a$, dann $b$, dann $c$ und als letztes $d$ ausgeführt.

Trigonometrische Funktionen Parameter – Wertebereich

Als Nächstes kannst du den Wertebereich für die trigonometrischen Funktionen mit Parameter untersuchen.

Dazu betrachtest du die Sinusfunktion mit $f\left(x\right)=a·\sin (b·(x-c\left)\right)+d$. Da es sich beim Wertebereich ausschließlich um die $y-\mathrm{Koordinate}$ handelt, müssen lediglich die Parameter $a$ und $d$ berücksichtigt werden.

Schau dir zunächst den Parameter $a$ an – die Streckung in $y-\mathrm{Richtung}$:

Abbildung 2: Wertebereich der Sinusfunktion mit dem Parameter a

Hier verändert sich der Wertebereich exakt um die Multiplikation mit dem Parameter $a$. Es wirkt sich dann wie folgt auf den Wertebereich aus:

$W_f=[-1·\left|a\right|,1·\left|a\right|]=[-\left|a\right|,\left|a\right|]$

Als Nächstes kannst du dir die Auswirkung des Parameters $d$ anschauen:

Abbildung 3: Wertebereich der Sinusfunktion mit dem Parameter d

Hier verschiebt sich die Sinusfunktion um den Parameter $d$. Auf den Wertebereich wirkt sich das wie folgt aus:

$W_f=[-1+d,1+d]$

Betrachtest du nun die gesamte Veränderung des Wertebereichs, wird zuerst die Streckung um $\left|a\right|$ und dann die Verschiebung um $d$ angewandt. Der Wertebereich sieht dann so aus:

$W_f=[-\left|a\right|+d,\left|a\right|+d]$

Die Kosinusfunktion entsteht lediglich durch eine Verschiebung der Sinusfunktion. Dementsprechend wirken sich dort die Parameter genauso wie bei der Sinusfunktion auf den Wertebereich aus:

Den Wertebereich der Trigonometrischen Funktionen mit Parametern kennst du nun. Folgendes Beispiel veranschaulicht dies:

Die Periode der trigonometrischen Funktionen mit Parametern

Da es sich bei den trigonometrischen Funktionen um periodische Funktionen handelt, kannst du auch die Periode $p$bestimmen. Eine periodische Funktion hat die Eigenschaft, dass sich nach der Periode $p$ dasselbe wiederholt.

Dazu schaust du dir die Sinusfunktion mit $f\left(x\right)=a·\sin (b·(x-c\left)\right)+d$ an. Da es sich bei der Periode $p$ausschließlich um die $x-\mathrm{Koordinate}$handelt, musst du lediglich die Parameter $b$ und $c$ berücksichtigen.

Allerdings wirkt sich der Parameter $c$ nicht auf die Periode $p$ aus, da es sich dabei lediglich um eine Verschiebung der Funktion in $x-\mathrm{Richtung}$handelt und sich dadurch die Periode $p$ nicht verändert:

Abbildung 4: Periode der Sinusfunktion mit dem Parameter c

Du kannst in der Abbildung sehen, dass sich die Periode $p$ trotz Verschiebung in $x-\mathrm{Richtung}$ nicht verändert.

Das bedeutet, dass sich auf die Periode $p$ lediglich der Parameter $b$ auswirkt. Der Parameter $b$ ist die Streckung in $x-\mathrm{Richtung}$ um den Faktor $\left|\frac{1}{b}\right|$. Also wirkt sich der Parameter wie folgt auf die Periode aus:

$p=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left|b\right|}$

Die Auswirkung des Parameters $b$ kannst du dir im folgenden Schaubild noch einmal verdeutlichen:

Abbildung 5: Periode der Sinusfunktion mit dem Parameter b

Die Kosinusfunktion entsteht lediglich durch eine Verschiebung der Sinusfunktion. Dementsprechend wirken sich dort die Parameter genauso wie bei der Sinusfunktion auf die Periode $p$ aus:

Zur Übung kannst du dir noch folgende Aufgabe anschauen:

Nullstellen der trigonometrischen Funktionen mit Parametern

Da es sich um periodische Funktionen handelt, wiederholen sich die Nullstellen in regelmäßigen Abständen.

Innerhalb einer Periode $p$ gibt es genau zwei Nullstellen. Das bedeutet aber nicht, dass sich die Nullstellen nach jeweils einer halben Periode $\frac{p}{2}$ wiederholen.

Für den Fall $d=0$ wiederholen sich die Nullstellen tatsächlich nach einer halben Periode $\frac{p}{2}$. Sollte allerdings $d\ne 0$ sein, ist dies nicht der Fall. Dies kannst du dir in Abbildung $6$ verdeutlichen:

Abbildung 6: Nullstellen einer Sinusfunktion mit d=1

Es kann sogar sein, dass die Funktion $f\left(x\right)$ keine Nullstellen besitzt, wie zum Beispiel in Abbildung $7$. Bevor du also die Nullstellen einer trigonometrischen Funktion berechnest, solltest du zuerst schauen, ob die Funktion überhaupt Nullstellen hat. Da du bereits gelernt hast, wie du den Wertebereich $W_f$ berechnest, ist es am einfachsten, du überprüfst diesen. Wenn die Zahl Null innerhalb des Wertebereichs $W_f$ liegt, besitzt die Funktion Nullstellen.

Abbildung 7: Sinusfunktion ohne Nullstellen

Die Funktion $f\left(x\right)$in der Abbildung $7$ hat einen Wertebereich $W_f=[1,5]$. Demzufolge liegt die Null nicht im Wertebereich $W_f$ und die Funktion $f\left(x\right)$ besitzt auch keine Nullstellen.

Wichtig ist noch einmal zu erwähnen, dass Folgendes für die Parameter $a$ und $b$ gilt:

$a\ne 0$ und $b\ne 0$

Trigonometrische Funktionen: Nullstellen der erweiterten Sinusfunktion

Wir betrachten hier die Nullstellen einer Sinusfunktion mit dem Parameter $d=0$.

Um die Nullstellen herauszufinden, musst du die Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=a·\sin (b·(x-c\left)\right)$ gleich null setzen:

$\begin{array}{rcl}a·\sin (b·(x-c\left)\right)& =& 0\\ \sin (b·(x-c\left)\right)& =& 0\end{array}$

Da der Sinus genau dann null ist, wenn $b·(x-c)=0$ gilt, musst du folgende Gleichung nach $x$ umformen:

$\begin{array}{rcl}b·(x-c)& =& 0\\ x-c& =& \frac{0}{b}\\ x& =& c\end{array}$

Also befinden sich innerhalb einer Periode $p$ bei $x_0=c$ und $x_1=c+\frac{p}{2}=c+\frac{\mathrm{\pi }}{\left|b\right|}$ eine Nullstelle.

Trigonometrische Funktionen: Nullstellen der erweiterten Kosinusfunktion

Um die Nullstellen der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=a·\cos (b·(x-c\left)\right)$ zu berechnen, musst du genauso wie bei der erweiterten Sinusfunktion vorgehen.

Dadurch erhältst du folgenden $x_0-\mathrm{Wert}$:

$x_0=\begin{array}{rcl}& & \frac{\mathrm{\pi }}{2b}\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & c\end{array}$

Die zweite Nullstelle $x_1$ innerhalb einer Periode $p$ sieht dann wie folgt aus:

$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{\mathrm{\pi }}{2b}+c+\frac{p}{2}\\ & =& \frac{\mathrm{\pi }}{2b}+c+\frac{\mathrm{\pi }}{\left|b\right|}\\ & =& \frac{\mathrm{\pi }}{2b}+\frac{\mathrm{\pi }}{\left|b\right|}+c\end{array}$

Zum Abschluss zu den Nullstellen findest du in der folgenden Tabelle eine Zusammenfassung:

Das folgende Beispiel veranschaulicht dies nochmal: