Umkehrfunktion

Umkehrfunktion bilden – Allgemeines

Um Umkehrfunktionen verstehen zu können, musst Du wissen, was Funktionen im Allgemeinen sind. Dafür kannst Du Dir die Erklärung Funktionsbegriff ansehen.

Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element $x$ aus ihrer Definitionsmenge ${\mathbb{D}}_{\mathbb{f}}$ genau ein Element $y$ aus ihrer Wertemenge ${\mathbb{W}}_{\mathbb{f}}$ zu. Die Umkehrfunktion kehrt dieses Prinzip um:

Das bedeutet, dass die x- und y-Werte der Funktion vertauscht werden.

Dabei besitzt nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion. Eine Funktion kann nur dann umgekehrt werden, wenn sie jeden y-Wert höchstens einmal annimmt, also streng monoton fallend oder steigend ist.

Umkehrfunktion bestimmen – Umkehrfunktion berechnen

Den x- und y-Wert einer Funktion zu vertauschen, ist nur dann möglich, wenn es für jeden Funktionswert $y$ nur einen x-Wert gibt. Die umkehrbare Funktion muss daher eindeutig sein. Es kann also sein, dass Du den Definitionsbereich einer Funktion einschränken musst, damit die Funktion umkehrbar wird. Was damit gemeint ist, siehst Du in den Beispielen der folgenden Kapitel.

Umkehrfunktion Lineare Funktion

Das genaue Verfahren, das verwendet wird, um die Umkehrfunktion linearer Funktionen zu ermitteln, kannst Du Dir hier anhand des Beispiels $f(x)=2x+3$ ansehen.

Zum Schluss kannst Du noch $f^{-1}(x)$ anstelle von y schreiben.

Wie die beiden Funktionen aussehen, kannst Du Dir in folgender Abbildung ansehen.

Abb. 1 – Umkehrfunktion einer linearen Funktion

Hier erkennst Du, dass sich beide Funktionen genau an der Winkelhalbierenden $w$ des Koordinatensystems spiegeln.

Umkehrfunktion quadratische Funktion

Das Bilden der Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion funktioniert genau wie bei linearen Funktionen. Allerdings taucht hier folgendes Problem auf: Für einen y-Wert kommen immer zwei x-Werte infrage.

Nun tritt der Fall ein, dass der Definitionsbereich eingeschränkt werden muss, damit jeder y-Wert nur einmal auftaucht. Konkret bedeutet das: Du betrachtest nur einen Teil der Funktion, für den Du dann die Umkehrfunktion bildest.

Sieh Dir am besten das folgende Beispiel für quadratische Funktionen einmal an.

Erinnerst Du Dich noch an den Glaser, der eine quadratische Scheibe mit $2{\text{ m}}^2$ Fläche anfertigen soll? Hierbei hilft ihm die Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion.

Umkehrfunktion Exponentialfunktion & log Funktion

Die Exponentialfunktion besitzt eine Besonderheit. Ihre Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion und umgekehrt.

Die Logarithmusfunktion zur Basis $a$ ist also die Umkehrung der Exponentialfunktion mit Basis $a$.

Eine spezielle Exponentialfunktion ist die e-Funktion. Diese besitzt auch eine spezielle Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion.

Achtung: Es kann auch sein, dass die Funktion eine Verknüpfung aus verschiedenen Funktionsarten ist, z. B. $f(x)=e^{2+x}$. Dann solltest Du immer wie oben in der Tabelle beschrieben vorgehen.

Umkehrfunktion Sinus Funktion

Die trigonometrische Funktion $f(x)=\sin (x)$ muss in ihrem Definitionsbereich eingeschränkt werden, um umkehrbar zu sein. Das liegt daran, dass sie periodisch ist und mehreren x-Werten die gleichen y-Werte zugeordnet werden. Sie sollte also auf das Intervall $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ eingeschränkt werden. Die Wertemenge ist dann das Intervall $[-1,1]$.

Abb. 5 – Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion

Ebenso besitzen auch der Kosinus und Tangens eine Umkehrfunktion: den Arkuskosinus (arccos) und Arkustangens (arctan).

Ableitung der Umkehrfunktion

Es kann vorkommen, dass Du die Umkehrfunktion ableiten sollst. Das Ganze wird einfacher, wenn Du bereits die Ableitung der ursprünglichen Funktion kennst.

Die Anwendung der Formel kannst Du Dir im folgenden Beispiel ansehen.

Umkehrfunktion zeichnen

Wie Du vielleicht auf den Abbildungen schon bemerkt hast, ist der Graph der Umkehrfunktion immer eine Spiegelung des Graphen der ursprünglichen Funktion an der Winkelhalbierenden $w(x)=x$ des ersten Quadraten im Koordinatensystem.

Umkehrfunktion Aufgaben

Da Du nun einiges über das Bilden der Umkehrfunktion lesen konntest, kannst Du Dich direkt an den folgenden Aufgaben probieren!