Uneigentliche Integrale

Das Integral der Funktion \(f(x)=\frac{1}{x^2}\) von \(1\) bis unendlich hat einen Wert kleiner unendlich, da die Funktion gegen \(0\) konvergiert.

Abb. 1 - Beispiel für eine Uneigentliches Integral mit begrenzter Fläche.

$$ \int_1^\infty{\frac{1}{x^2}} \,dx = \color{#00dcb4}1 $$

Obwohl die Funktion nie die x-Achse schneidet, also immer über null ist, hat das uneigentliche Integral einen endlichen Wert, da die Fläche zwischen dem Graphen und der Funktion für \(x \to \infty\) immer kleiner wird.

Betrachte dafür zum Beispiel den Graphen der Funktion

\[f(x)=\frac{1}{x^2}+1\]

Abb. 2 - Beispiel für ein Uneigentliches Integral mit unbegrenzter Fläche.

Wie Du siehst, nähert sich die Funktion für \(x \rightarrow \infty\) nicht \(0\), sondern \(1\) an. Dadurch nimmt die Fläche zwischen dem Funktionsgrafen und der x-Achse mit steigenden x-Werten immer weiter zu.

$$ \int_1^\infty{\frac{1}{x^2}+1} \,dx = \color{#00dcb4}\infty $$

Aufgabe 1

Bestimme den Wert des uneigentlichen Integrals

$$ \int _{-\infty}^{0} e^{2x} \, dx$$

Lösung

Schritt 1:

Zunächst beginnst Du damit, die uneigentliche Grenze, also hier \(-\infty\), mit einer Variable \(a\) zu ersetzen.

$$ \int _{{\color{#1478c8}-\infty}}^{0} e^{2x} \, dx = \int_{{\color{#1478c8}a}}^0 e^{2x} \, dx $$

Schritt 2:

Jetzt berechnest Du das Integral, indem Du die Stammfunktion ermittelst, die Grenzen darin einsetzt und den Term so weit es geht vereinfachst.

\begin{align} \int _{\color{#1478c8}a}^{\color{#1478c8}0} e^{2x} \, dx &= \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{\color{#1478c8}a}^{\color{#1478c8}0}\\[0.2cm] &= \frac{1}{2} \cdot e^{2\cdot {\color{#1478c8}0}} - \frac{1}{2} \cdot e^{2\cdot {\color{#1478c8}a}} \\[0.2cm] &= \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} e^{2\cdot {\color{#1478c8}a}} \\[0.2cm] &=\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{2\cdot {\color{#1478c8}a}}\end{align}

Schritt 3:

Abschließend berechnest Du nun den Grenzwert des Terms für die substituierte Variable \(a\) gegen die uneigentliche Grenze. Also hier \(a \to -\infty\).

\begin{align} \lim \limits_{{\color{#1478c8}a} \rightarrow -\infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{2\cdot {\color{#1478c8}a}} \right) &= \frac{1}{2} - 0 \\&=\frac{1}{2}\end{align}

Setzt Du in den Term \(e^{2 \cdot {\color{#1478c8}a}}\) für die Variable \(\color{#1478c8}a\) hohe negative Zahlen ein, wirst Du merken, dass sich der Term immer mehr der \(0\) annähert. Dieser Term fällt also für \(a \to -\infty\) weg.

Das Integral \( \int _{-\infty}^{0} e^{2x} \, dx\) hat also einen Wert von \(\frac{1}{2}\).

Aufgabe 2

Prüfe, ob das folgende uneigentliche Integral einen endlichen Wert hat und bestimme diesen ggf.

$$ \int_0^\infty \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1} \,dx $$

Lösung

Schritt 1:

Beginne damit, die uneigentliche Grenze \(\infty\) im Integral durch eine Variable \(a\) zu ersetzen.

$$ \int_0^{\color{#1478c8}\infty} \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}\,dx = \int_0^{\color{#1478c8}a} \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}\, dx$$

Schritt 2:

Jetzt berechnest Du das Integral. Bilde also zunächst die Stammfunktion und löse den Term nach den gegebenen Grenzen auf.

\begin{align} \int_{\color{#1478c8}0}^{\color{#1478c8}a} \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1} &= \left[ \ln(x^3+2x+1) \right]_{\color{#1478c8}0}^{\color{#1478c8}a}\\ &= \ln({\color{#1478c8}a}^3+2 \cdot {\color{#1478c8}a}+1)-\ln({\color{#1478c8}0}^3+2 \cdot {\color{#1478c8}0} +1)\\&= \ln({\color{#1478c8}a}^3+2 \cdot {\color{#1478c8}a}+1)-\underbrace{\ln(1)}_{=0}\\&= \ln({\color{#1478c8}a}^3+2\cdot {\color{#1478c8}a}+1)\end{align}

Schritt 3:

Zu guter Letzt bestimmst Du den Grenzwert des vereinfachten Terms für \({\color{#1478c8}a} \to \infty\).

\[\lim \limits_{{\color{#1478c8}a} \to \infty} \ln({\color{#1478c8}a}^3+2\cdot {\color{#1478c8}a}+1) = \infty \]

Der natürliche Logarithmus nähert sich für \({\color{#1478c8}a} \to \infty\) keinem Wert an, sondern steigt langsam immer weiter und wird unendlich groß.

Das Integral \( \int_0^\infty \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1} \,dx \) hat somit keinen Grenzwert und ist demnach divergent.

Aufgabe 3

Prüfe, ob das folgende uneigentliche Integral einen endlichen Wert hat und bestimme diesen ggf.

$$ \int_1^\infty{\frac{1}{x^2}} \,dx $$

Lösung

Schritt 1: Unbestimmte Grenze \(\infty\) durch eine Variable \(a\) ersetzen

$$ \int_1^{\color{#1478c8}\infty}{\frac{1}{x^2}} \,dx = \int_1^{\color{#1478c8}a}{\frac{1}{x^2}} \, dx$$

Schritt 2: Integral in Abhängigkeit der Variablen \(a\) berechnen

\begin{align} \int_{\color{#1478c8}1}^{\color{#1478c8}a}\frac{1}{x^2} \, dx &= \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\color{#1478c8}1}^{\color{#1478c8}a}\\[0.2cm]&=-\frac{1}{{\color{#1478c8}a}}-\left(- \frac{1}{{\color{#1478c8}1}} \right) \\[0.2cm]&=-\frac{1}{{\color{#1478c8}a}}+1 \end{align}

Schritt 3: Grenzwert für das berechnete Integral bestimmen für \({\color{#1478c8}a} \to \infty\)

\[\lim \limits_{{\color{#1478c8}a} \to \infty} \left(-\frac{1}{{\color{#1478c8}a}}+1 \right) =0+ 1 \]

Läuft \(a\) gegen Unendlich, wird der Nenner des Bruches \(\frac{1}{a}\) unendlich groß. Je größer ein Nenner wird, desto kleiner wird der gesamte Bruch. Bei einem unendlich großen Nenner läuft der Bruch also gegen \(0\).

Das Integral \(\int_1^\infty{\frac{1}{x^2}} \,dx \) hat damit einen Wert von \(1\).

Aufgabe 4

Prüfe, ob das folgende uneigentliche Integral einen endlichen Wert hat und bestimme diesen ggf.

\[ \int_{-\infty}^{3} e^{x-2} \, dx \]

Lösung

Schritt 1: Unbestimmte Grenze \(-\infty\) durch eine Variable \(a\) ersetzen

$$ \int_{{\color{#1478c8}-\infty}}^3 e^{x-2} \,dx = \int_{\color{#1478c8}a}^3 e^{x-2} \,dx $$

Schritt 2: Integral in Abhängigkeit der Variablen \(a\) berechnen

\begin{align}\int_{\color{#1478c8}a}^{\color{#1478c8}3} e^{x-2} \,dx &= \left[e^{x-2}\right] ^ {\color{#1478c8}3}_{\color{#1478c8}a} \\&=e^{{\color{#1478c8}3}-2}-e^{{\color{#1478c8}a}-2}\\&=e^1-e^{{\color{#1478c8}a}-2}\end{align}

Schritt 3: Grenzwert für das berechnete Integral bestimmen für \({\color{#1478c8}a} \to -\infty\)

\[\lim \limits_{{\color{#1478c8}a} \to - \infty} \left( e^1-e^{{\color{#1478c8}a}-2} \right) = e^1-0\]

Für \({\color{#1478c8}a} \to -\infty\) nähert sich \(e^{{\color{#1478c8}a}-2}\) dem Wert \(0\) an. Übrig bleibt also nur noch der Term \(e^1\).

Das Integral \(\int_{-\infty}^{3} e^{x-2} \, dx \) hat somit einen Grenzwert von \(e^1\).