Uneigentliche Integrale

Das Integral der Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2}$ von $1$ bis unendlich hat einen Wert kleiner unendlich, da die Funktion gegen $0$ konvergiert.

Abb. 1 - Beispiel für eine Uneigentliches Integral mit begrenzter Fläche.

$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}dx=1$$

Obwohl die Funktion nie die x-Achse schneidet, also immer über null ist, hat das uneigentliche Integral einen endlichen Wert, da die Fläche zwischen dem Graphen und der Funktion für $x\to \mathrm{\infty }$ immer kleiner wird.

Betrachte dafür zum Beispiel den Graphen der Funktion

$$f(x)=\frac{1}{x^2}+1$$

Abb. 2 - Beispiel für ein Uneigentliches Integral mit unbegrenzter Fläche.

Wie Du siehst, nähert sich die Funktion für $x\to \mathrm{\infty }$ nicht $0$, sondern $1$ an. Dadurch nimmt die Fläche zwischen dem Funktionsgrafen und der x-Achse mit steigenden x-Werten immer weiter zu.

$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}+1dx=\mathrm{\infty }$$

Aufgabe 1

Bestimme den Wert des uneigentlichen Integrals

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{2x}dx$$

Lösung

Schritt 1:

Zunächst beginnst Du damit, die uneigentliche Grenze, also hier $-\mathrm{\infty }$, mit einer Variable $a$ zu ersetzen.

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{2x}dx={\int }_a^0{e}^{2x}dx$$

Schritt 2:

Jetzt berechnest Du das Integral, indem Du die Stammfunktion ermittelst, die Grenzen darin einsetzt und den Term so weit es geht vereinfachst.

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^0{e}^{2x}dx& ={\left[\frac{1}{2}{e}^{2x}\right]}_a^0\\ & =\frac{1}{2}\cdot e^{2\cdot 0}-\frac{1}{2}\cdot e^{2\cdot a}\\ & =\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot a}\\ & =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot e^{2\cdot a}\end{array}$$

Schritt 3:

Abschließend berechnest Du nun den Grenzwert des Terms für die substituierte Variable $a$ gegen die uneigentliche Grenze. Also hier $a\to -\mathrm{\infty }$.

$$\begin{array}{rl}\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot a})& =\frac{1}{2}-0\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

Setzt Du in den Term $e^{2\cdot a}$ für die Variable $a$ hohe negative Zahlen ein, wirst Du merken, dass sich der Term immer mehr der $0$ annähert. Dieser Term fällt also für $a\to -\mathrm{\infty }$ weg.

Das Integral ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{2x}dx$ hat also einen Wert von $\frac{1}{2}$.

Aufgabe 2

Prüfe, ob das folgende uneigentliche Integral einen endlichen Wert hat und bestimme diesen ggf.

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}dx$$

Lösung

Schritt 1:

Beginne damit, die uneigentliche Grenze $\mathrm{\infty }$ im Integral durch eine Variable $a$ zu ersetzen.

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}dx={\int }_0^a\frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}dx$$

Schritt 2:

Jetzt berechnest Du das Integral. Bilde also zunächst die Stammfunktion und löse den Term nach den gegebenen Grenzen auf.

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^a\frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}& ={[\ln (x^3+2x+1)]}_0^a\\ & =\ln (a^3+2\cdot a+1)-\ln (0^3+2\cdot 0+1)\\ & =\ln (a^3+2\cdot a+1)-\underset{=0}{\underbrace{\ln (1)}}\\ & =\ln (a^3+2\cdot a+1)\end{array}$$

Schritt 3:

Zu guter Letzt bestimmst Du den Grenzwert des vereinfachten Terms für $a\to \mathrm{\infty }$.

$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln (a^3+2\cdot a+1)=\mathrm{\infty }$$

Der natürliche Logarithmus nähert sich für $a\to \mathrm{\infty }$ keinem Wert an, sondern steigt langsam immer weiter und wird unendlich groß.

Das Integral ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}dx$ hat somit keinen Grenzwert und ist demnach divergent.

Aufgabe 3

Prüfe, ob das folgende uneigentliche Integral einen endlichen Wert hat und bestimme diesen ggf.

$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}dx$$

Lösung

Schritt 1: Unbestimmte Grenze $\mathrm{\infty }$ durch eine Variable $a$ ersetzen

$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}dx={\int }_1^a\frac{1}{x^2}dx$$

Schritt 2: Integral in Abhängigkeit der Variablen $a$ berechnen

$$\begin{array}{rl}{\int }_1^a\frac{1}{x^2}dx& ={[-\frac{1}{x}]}_1^a\\ & =-\frac{1}{a}-(-\frac{1}{1})\\ & =-\frac{1}{a}+1\end{array}$$

Schritt 3: Grenzwert für das berechnete Integral bestimmen für $a\to \mathrm{\infty }$

$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\frac{1}{a}+1)=0+1$$

Läuft $a$ gegen Unendlich, wird der Nenner des Bruches $\frac{1}{a}$ unendlich groß. Je größer ein Nenner wird, desto kleiner wird der gesamte Bruch. Bei einem unendlich großen Nenner läuft der Bruch also gegen $0$.

Das Integral ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}dx$ hat damit einen Wert von $1$.

Aufgabe 4

Prüfe, ob das folgende uneigentliche Integral einen endlichen Wert hat und bestimme diesen ggf.

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^3{e}^{x-2}dx$$

Lösung

Schritt 1: Unbestimmte Grenze $-\mathrm{\infty }$ durch eine Variable $a$ ersetzen

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^3{e}^{x-2}dx={\int }_a^3{e}^{x-2}dx$$

Schritt 2: Integral in Abhängigkeit der Variablen $a$ berechnen

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^3{e}^{x-2}dx& ={\left[e^{x-2}\right]}_a^3\\ & =e^{3-2}-e^{a-2}\\ & =e^1-e^{a-2}\end{array}$$

Schritt 3: Grenzwert für das berechnete Integral bestimmen für $a\to -\mathrm{\infty }$

$$\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{lim}(e^1-e^{a-2})=e^1-0$$

Für $a\to -\mathrm{\infty }$ nähert sich $e^{a-2}$ dem Wert $0$ an. Übrig bleibt also nur noch der Term $e^1$.

Das Integral ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^3{e}^{x-2}dx$ hat somit einen Grenzwert von $e^1$.