Verketten von Funktionen

Du hast zwei Funktionen $f(x)=3x$ und $g(x)=x^3$.

Diese Funktionen kannst Du hintereinander ausführen.

Im Prinzip hast Du jetzt schon die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ verknüpft. Das Verknüpfen ist also eine Art von zwei Funktionen hintereinander am gleichen x-Wert ausführen.

Wie Du siehst, macht es aber auch einen Unterschied, in welcher Reihenfolge die Funktionen miteinander verknüpft werden.

Aufgabe 1

Verkette die Funktionen $f(x)=2x+3$ und $g(x)=5x^3$ auf zwei verschiedene Art und Weisen.

Lösung

1. Möglichkeit:

Als Erstes kannst Du Dir aufschreiben, wie Du f und g verketten willst.$$f(x)\circ g(x)=f(g(x))$$

Als Nächstes weißt Du schon, welche die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ sind. An diesem Punkt geht es nur noch darum, die Funktion $g(x)$ als x-Wert in die Funktion $f(x)$ einzusetzen.$$h_1(x)=2\cdot 5x^3+3$$

Diese Gleichung kannst Du jetzt noch weiter vereinfachen.$$h_1(x)=10x^3+3$$

Abbildung 1: Verkettete Funktion

2. Möglichkeit:

Als Erstes schreibst Du Dir erst wieder auf, wie Du f und g verketten willst. In diesem Fall andersherum als im ersten Fall.$$g(x)\circ f(x)=g(f(x))$$

Dann kannst Du die Funktion $f(x)$ als Argument für $g(x))$ einsetzen.$$h_2(x)=5\cdot (2x+3{)}^3$$

Auch diese Gleichung kann noch vereinfacht werden.$$\begin{array}{rl}{h}_2(x)& =5\cdot ((2x+3{)}^2\cdot (2x+3))\\ & =5\cdot ((4x^2+12x+9)\cdot (2x+3))\\ & =5\cdot (8x^3+36x^2+54x+27)\\ & =40x^3+180x^2+270x+135\end{array}$$

Abbildung 2: Verkettete Funktion 2

Aufgabe

Kann eine verkettete Funktion $f(x)\circ g(x)$ aufgestellt werden?

a) $f(x)=\sqrt{6x}$ und $g(x)=3x-4$

b) $f(x)=\frac{1}{8}\cdot x$ und $g(x)=8x+2$

Lösung

a)

In diesem Fall ist $g(x)$ die innere Funktion und $f(x)$ die äußere Funktion. Die Wertemenge ${\mathbb{W}}_g$ muss also eine Teilmenge der Definitionsmenge ${\mathbb{D}}_f$ sein.

Für die Wertemenge von $g(x)$ gilt:$${\mathbb{W}}_g=\mathbb{R}$$

Die Funktion $f(x)$ kann die Werte aller reeller Zahlen annehmen.

Für die Definitionsmenge von $f(x)$ gilt:$${\mathbb{D}}_f={\mathbb{R}}_0^{+}$$

Jetzt siehst Du, dass die Wertemenge von $g(x)$ keine Teilmenge der Definitionsmenge von $f(x)$ ist. Das bedeutet, die Funktionen können nicht verkettet werden, ohne die Definitionsmenge von $g(x)$ einzuschränken.

b)

Auch für diese Aufgabe ist $g(x)$ die innere Funktion und $f(x)$ die äußere Funktion.

Die Wertemenge von $g(x)$ lautet:

${\mathbb{D}}_g=\mathbb{R}$

Die Definitionsmenge von $f(x)$ lautet:

${\mathbb{D}}_f=\mathbb{R}$

In diesem Fall ist die Wertemenge der inneren Funktion ein Element der äußeren Funktion, was bedeutet, dass hier eine bedingungslose Verkettung stattfinden kann.

Aufgabe

Leite die Funktion $h(x)=\sin (3x^2)$ ab.

Lösung

Diese Funktion ist eine trigonometrische Funktion. Du weißt also, dass sie eine verkettete Funktion ist und Du deshalb bei der Ableitung die Kettenregel verwenden musst.

1. Schritt: Identifizieren der zwei Einzelgleichungen.

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sin (x)\\ g(x)& =3x^2\end{array}$$

2. Schritt: Ableiten der einzelnen Funktionen.

3. Schritt: Einsetzten der Gleichungen in die Kettenregel.

$$\begin{array}{rl}{h}^{\prime }(x)& =f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\\ & =\cos (3x^2)\cdot 6x\end{array}$$

Die Ableitung der Funktion $h(x)$ lautet $\cos (3x^2)\cdot 6x$.

Aufgabe

Verkette folgenden Funktionen in dieser Reihenfolge: $f(x)\circ g(x)\circ k(x)$.

a) $f(x)=\cos (x)$ und $g(x)=6x^3+4x-2x^2+3$

b) $f(x)=\frac{6x}{9x^5-3}$ und $g(x)=\sqrt{x}$

c) $f(x)=8x-5$ und $g(x)=e^x$ und $k(x)=\frac{5}{3x}$

Lösung

a)

Bei der 1. Aufgabe kannst Du die Gleichung $g(x)$ für den x-Wert in $f(x)$ ersetzen.

$g(x)=\cos (6x^3+4x-2x^2+3)$

b)

Bei der 2. Aufgabe kannst Du beide x-Werte mit $\sqrt{x}$ ersetzen.

$h(x)=\frac{6\cdot \sqrt{x}}{9\cdot (\sqrt{x}{)}^5-3}$

c)

Bei der 3. Aufgabe musst Du als Erstes $k(x)$ für den x-Wert in $g(x)$ einsetzen.

$$g(k(x))=e^{\frac{5}{3x}}$$

Im nächsten Schritt kannst Du diese Gleichung dann noch für x in $f(x)$ einsetzen.

$$h(x)=8\cdot e^{\frac{5}{3x}}-5$$