Stell Dir vor, Du bist in einem Baumarkt und lässt Dir eine grüne Wandfarbe für Dein Zimmer anmischen. Um die grüne Farbe zu erzeugen, müssen die Angestellten gelbe Farbe und blaue Farben zusammenmischen. Gelb und Blau sind dabei Grundfarben, die sich nicht aus anderen Farben mischen lassen.
Ähnlich ist das mit der Verkettung von Funktionen. Du hast zwei Gleichungen und mischt sie zu einer Gleichung zusammen oder Du hast bereits eine komplizierte Gleichung und zerlegst sie in Grundgleichungen, welche nicht weiter zerlegt werden können. Wie das funktioniert, erfährst Du im Folgenden.
Verketten von Funktionen – Eigenschaften
Es gibt vier Grundrechenarten: die Addition (+), die Subtraktion (-), die Multiplikation (·) und die Division (:). Mit diesen kannst Du zwei Funktionen miteinander verknüpfen. Das sieht dann zum Beispiel so aus:
Operation | mathematischer Ausdruck |
| \(f(x) + g(x)\) |
| \(f(x)-g(x)\) |
Multiplikation | \(f(x)\cdot g(x)\) |
Division | \(\frac{f(x)}{g(x)}\) |
In diesen Fällen nimmst Du jeweils die einzelnen Funktionen und verknüpfst sie miteinander. Die zwei Ursprungsfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) sind dabei meistens noch klar erkennbar.
Es gibt jedoch noch eine andere Art und Weise Funktionen zu verknüpfen: die Verkettung
Operation | mathematischer Ausdruck |
Verkettung | \(f(x)\circ g(x)\) |
Verketten von Funktionen – Definition
Durch das Verknüpfen von zwei Funktionen können zwei unterschiedliche Dinge passieren:
- Aus zwei einfachen Funktionen wird eine komplizierte Funktion
- Aus einer komplizierten Funktion werden zwei einfache Funktionen
Im folgenden Beispiel wirst Du an das Verketten von Funktionen langsam herangeführt.
Du hast zwei Funktionen \(f(x) =3x\) und \(g(x) = x^3\).
Diese Funktionen kannst Du hintereinander ausführen.
1. f(x) und 2. g(x) | 1. g(x) und 2. f(x) |
Am Anfang hast Du nur ein einfaches x. Wenn Du als Erstes die Funktion \(f(x)\) anwendest, dann verdreifachst Du das x in diesem Schritt. \(h_1(x) =3x\) | Als Erstes hast Du nur ein einfaches x. Danach wendest Du die Funktion \(g(x)\) an und potenzierst deshalb das x mit 3. \(h_2(x) =x^3\) |
Im zweiten Schritt kannst Du die Funktion \(g(x)\) anwenden und potenzierst dadurch den gesamten Ausdruck mit 3. \(h_1(x)=(3x)^3\) | Anschließend kannst Du dann die Funktion \(f(x)\) ausführen und deshalb den Ausdruck verdreifachen. \(h_2(x) = 3x^3\) |
Dadurch ergibt sich die Funktion \(h_1(x) = 27 x^3\). | Dadurch ergibt sich die Funktion \(h_2(x)=3x^3\). |
Im Prinzip hast Du jetzt schon die Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) verknüpft. Das Verknüpfen ist also eine Art von zwei Funktionen hintereinander am gleichen x-Wert ausführen.
Wie Du siehst, macht es aber auch einen Unterschied, in welcher Reihenfolge die Funktionen miteinander verknüpft werden.
Wenn in der Mathematik verknüpft wird, dann wird das nicht als hintereinander Ausführen zweier Funktionen beschrieben. Hier gibt es fachlich richtige Schreibweisen und Bezeichnungen.
Wenn zwei Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) verkettet sind, dann gibt es zwei mögliche Gesamtfunktionen \(h(x)\).
\(h_1(x)=f(x)\circ g(x)=f(g(x))\)
oder
\(h_2(x) = g(x) \circ f(x) = g(f(x))\)
Im ersten Fall wird \(f(x)\) als die äußere Funktion und \(g(x)\) als die innere Funktion bezeichnet. Im zweiten Fall wird \(g(x)\) als die äußere Funktion und \(f(x)\) als die innere Funktion bezeichnet.
Verkettete Funktionen werden mit einem Kreis-Symbol \(\circ\) verknüpft.
Dieser Kringel hat viele verschiedene Namen. So gibt es viele Möglichkeiten, die Formulierung \(f(x)\circ g(x)\) auszudrücken:
- f nach g von x
- f Kringel g von x
- f verkettet mit g von x
Achtung: dieser Kringel ist nicht der gleiche Kringel wie das beim Skalarprodukt! Vom Kontext erfährst Du meistens, wofür der Kringel steht.
Das sind die Hauptbezeichnungen. Es gibt noch einige andere, die jedoch eher selten verwendet werden.
Aufgabe 1
Verkette die Funktionen \(f(x) = 2x+3\) und \(g(x) = 5x^3\) auf zwei verschiedene Art und Weisen.
Lösung
1. Möglichkeit:
Als Erstes kannst Du Dir aufschreiben, wie Du f und g verketten willst.\[f(x)\circ g(x) = f(g(x))\]
\(f(g(x))\) wird als "f von g von x" gesprochen.
Als Nächstes weißt Du schon, welche die Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) sind. An diesem Punkt geht es nur noch darum, die Funktion \(g(x)\) als x-Wert in die Funktion \(f(x)\) einzusetzen.\[h_1(x)=2\cdot 5x^3+3\]
Diese Gleichung kannst Du jetzt noch weiter vereinfachen.\[h_1(x) = 10x^3+3\]
Abbildung 1: Verkettete Funktion
2. Möglichkeit:
Als Erstes schreibst Du Dir erst wieder auf, wie Du f und g verketten willst. In diesem Fall andersherum als im ersten Fall.\[g(x)\circ f(x) = g(f(x))\]
Dann kannst Du die Funktion \(f(x)\) als Argument für \(g(x))\) einsetzen.\[h_2(x)=5\cdot(2x+3)^3\]
Auch diese Gleichung kann noch vereinfacht werden.\begin{align}h_2(x)&=5\cdot\left((2x+3)^2\cdot (2x+3)\right)\\&= 5\cdot\left((4x^2+12x+9)\cdot (2x+3)\right)\\&=5\cdot(8x^3+36x^2+54x+27)\\&=40x^3+180x^2+270x+135\end{align}
Abbildung 2: Verkettete Funktion 2
Bisher wurde hier nur von zwei Funktionen gesprochen, die verkettet werden. Wie bei der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division können aber auch mehr als 2 Funktionen verkettet werden.
Verketten von Funktionen – Definitionsbereich
Zwei Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) können nur dann über \(f(x) \circ g(x)\) verkettet werden, wenn die Definitionsmenge \(\mathbb{D}_f\) der äußeren Funktion die Wertemenge \(\mathbb{W}_g\) der inneren Funktion enthält. Für eine mathematisch korrekte Verknüpfung muss \(\mathbb{W}_g\) also eine Teilmenge von \(\mathbb{D}_f\) sein.
Aufgabe
Kann eine verkettete Funktion \(f(x) \circ g(x)\) aufgestellt werden?
a) \(f(x) = \sqrt{6x}\) und \(g(x) = 3x-4\)
b) \(f(x) = \frac{1}{8}\cdot x\) und \(g(x) = 8x+2\)
Lösung
a)
In diesem Fall ist \(g(x)\) die innere Funktion und \(f(x)\) die äußere Funktion. Die Wertemenge \(\mathbb W_g\) muss also eine Teilmenge der Definitionsmenge \(\mathbb D_f\) sein.
Für die Wertemenge von \(g(x)\) gilt:\[\mathbb{W}_g=\mathbb{R}\]
Die Funktion \(f(x)\) kann die Werte aller reeller Zahlen annehmen.
Für die Definitionsmenge von \(f(x)\) gilt:\[\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+_0\]
Jetzt siehst Du, dass die Wertemenge von \(g(x)\) keine Teilmenge der Definitionsmenge von \(f(x)\) ist. Das bedeutet, die Funktionen können nicht verkettet werden, ohne die Definitionsmenge von \(g(x)\) einzuschränken.
b)
Auch für diese Aufgabe ist \(g(x)\) die innere Funktion und \(f(x)\) die äußere Funktion.
Die Wertemenge von \(g(x)\) lautet:
\(\mathbb{D}_g=\mathbb{R}\)
Die Definitionsmenge von \(f(x)\) lautet:
\(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\)
In diesem Fall ist die Wertemenge der inneren Funktion ein Element der äußeren Funktion, was bedeutet, dass hier eine bedingungslose Verkettung stattfinden kann.
Verkettung von Funktionen – Rechengesetze
Um verkettete Funktionen zu berechnen, stellt sich die Frage, welche Rechengesetze in diesem Zug verwendet werden dürfen und welche nicht.
Für verkettete Funktionen darf das Assoziativgesetz verwendet werden. Das bedeutet, es dürfen die Klammern beliebig verschoben oder gänzlich weggelassen werden.
\(f(x)\circ (g(x)\circ h(x)) = (f(x) \circ g(x))\circ h(x) = f(x) \circ g(x) \circ h(x)\)
Wenn das Assoziativgesetz verwendet werden darf, darf dann auch das Kommutativgesetz verwendet werden? Die Antwort lautet nein. Wie Du oben bereits gesehen hast, ist die Reihenfolge, in der Funktionen verkettet werden, wichtig und hat einen großen Einfluss auf das Ergebnis. Dementsprechend darf das Kommutativgesetz nicht angewendet werden.
Für verkettete Funktionen darf das Kommutativgesetz nicht angewendet werden, da die Reihenfolge der Verkettung eine maßgebliche Auswirkung auf das Ergebnis der Funktion hat.
\(f(x)\circ g(x) \neq g(x) \circ f(x)\)
Erkennen von verketteten Funktionen
Aber wie erkennst Du jetzt eigentlich, dass es sich um eine verkettete Funktion handelt?
Um verkettete Funktionen zu erkennen, musst Du prüfen, ob die Funktion eines dieser Merkmale hat.
Merkmal | Beispiel |
| Die Funktion hat Klammern mit einem Exponenten. | \begin{align}h(x) = f(g(x))=(5x-3)^2\\\Rightarrow f(x) = x^2\quad g(x) =5x-3\end{align} |
| Die Funktion ist eine e-Funktion. | \begin{align}h(x) = f(g(x))=e^{4x}\\\Rightarrow f(x) = e^x\quad g(x) =4x\end{align} |
| Die Funktion hat eine Wurzel. | \begin{align}h(x) = f(g(x))=\sqrt{7x^3+5x-1}\\\Rightarrow f(x) = \sqrt{x}\quad g(x) =7x^3+5x-1\end{align} |
| Die Funktion hat einen Logarithmus. | \begin{align}h(x) = f(g(x))=\ln(8x^4)\\\Rightarrow f(x) = \ln(x)\quad g(x) =8x^4\end{align} |
| Die Funktion ist eine trigonometrische Funktion. | \begin{align}h(x) = f(g(x))=\cos(3x^2+4x)\\\Rightarrow f(x) = \cos(x)\quad g(x) =3x^2+4x\end{align} |
Tritt eines dieser Merkmale nicht in seiner reinen Form, sondern in Verbindung mit anderen Zahlen und Variablen auf, so handelt es sich um eine verkettete Funktion.
Ableiten von verketteten Funktionen
Um verkette Funktionen abzuleiten, benötigst Du die Kettenregel.
Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung zwei verketteter Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) folgendermaßen lautet:
\begin{align}h(x)&=f(g(x))\\h'(x)&=f'(g(x))\cdot g'(x)\end{align}
\(f'(g(x))\) ist dabei die äußere Ableitung und \(g'(x)\) die innere Ableitung.
Konkret bedeutet das, dass die Ableitung zweier verketteter Funktion aus der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion besteht.
Ableitung = innere Ableitung · äußere Ableitung
Diese Regel kannst Du Dir gleich an einem Beispiel anschauen.
Aufgabe
Leite die Funktion \(h(x)= \sin(3x^2)\) ab.
Lösung
Diese Funktion ist eine trigonometrische Funktion. Du weißt also, dass sie eine verkettete Funktion ist und Du deshalb bei der Ableitung die Kettenregel verwenden musst.
1. Schritt: Identifizieren der zwei Einzelgleichungen.
\begin{align}f(x)&=\sin(x)\\g(x)&=3x^2\end{align}
2. Schritt: Ableiten der einzelnen Funktionen.
Funktion | Ableitung |
\(f(x)=\sin(x)\) | \(f'(x) = \cos(x)\) |
\(g(x)=3x^2\) | \(g'(x)=2\cdot 3x= 6x\) |
3. Schritt: Einsetzten der Gleichungen in die Kettenregel.
\begin{align} h'(x) &= f'(g(x))\cdot g'(x)\\&=\cos(3x^2)\cdot 6x\end{align}
Die Ableitung der Funktion \(h(x)\) lautet \(\cos(3x^2)\cdot 6x\).
Mehr zur Kettenregel findest Du im zugehörigen Artikel.
Verketten von verschiedenen Funktionen – Aufgaben
In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein erworbenes Wissen testen:
Aufgabe
Verkette folgenden Funktionen in dieser Reihenfolge: \(f(x)\circ g(x) \circ k(x)\).
a) \(f(x) = \cos(x)\) und \(g(x) = 6x^3+4x-2x^2+3\)
b) \(f(x)=\frac{6x}{9x^5-3}\) und \(g(x)=\sqrt{x}\)
c) \(f(x)=8x-5\) und \(g(x) = e^x\) und \(k(x) =\frac{5}{3x}\)
Lösung
a)
Bei der 1. Aufgabe kannst Du die Gleichung \(g(x)\) für den x-Wert in \(f(x)\) ersetzen.
\(g(x) = \cos(6x^3+4x-2x^2+3)\)
b)
Bei der 2. Aufgabe kannst Du beide x-Werte mit \(\sqrt{x}\) ersetzen.
\(h(x)=\frac{6\cdot \sqrt{x}}{9\cdot(\sqrt{x})^5-3}\)
c)
Bei der 3. Aufgabe musst Du als Erstes \(k(x)\) für den x-Wert in \(g(x)\) einsetzen.
\[g(k(x))=e^\frac{5}{3x}\]
Im nächsten Schritt kannst Du diese Gleichung dann noch für x in \(f(x)\) einsetzen.
\[h(x)=8\cdot e^{\frac{5}{3x}}-5 \]
Verketten von Funktionen – Das Wichtigste
- Zwei Funktionen \(g(x)\) und \(h(x)\) können auf zwei verschiedenen Wege verknüpft werden:\(h_1(x) = g\circ f = g(f(x))\) oder \(h_2=f\circ g=f(g(x))\)
- Es gibt eine äußere und eine innere Funktion.
- Die Wertemenge der inneren Funktion muss in der Definitionsmenge der äußeren Funktion enthalten sein.
- Auf verkettete Funktionen kann das Assoziativgesetz angewendet werden.
- Auf verkettete Funktionen kann das Kommutativgesetz nicht angewendet werden.
- Eine Funktion ist verkettet, wenn sie eine der folgenden Eigenschaften hat:
- Klammern mit einem Exponenten
- e-Funktion
- Wurzel
- Logarithmus
- trigonometrische Funktion.
- Bei der Ableitung von verketteten Funktion wird die Kettenregel verwendet: \(h(x)=f(g(x))\Rightarrow h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\).
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