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Die Vielfachheit einer Nullstelle klärt die Frage, wie oft diese Nullstelle in der Funktion vorkommt. Was das genau, vor allem in Bezug auf ganzrationale Funktionen, bedeutet, wirst du in diesem Artikel lernen.
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Team Vielfachheit von Nullstellen Lehrer
Damit du die Vielfachheit von Nullstellen einer ganzrationalen Funktion bestimmen kannst, musst du zunächst wissen, was eine Nullstelle und was eine ganzrationale Funktion ist.
Schaue Dir die lineare Funktion an und überlege, wo sie ihre Nullstellen hat:
Abbildung 1: Nullstelle der Funktion y = 2x + 3
Eine Nullstelle ist ein Punkt des Funktionsgraphen, der einem Punkt der x-Achse entspricht. Wie du in Abbildung 1 sehen kannst, ist der Schnittpunkt mit der x-Achse bei . Damit ist bei eine Nullstelle.
Nullstellen kann man aber nicht nur graphisch finden, sondern auch indem man sie berechnet. Dazu musst du den Funktionsterm mit 0 gleichsetzen. Natürlich können nur x-Werte der Definitionsmenge Nullstellen der Funktion sein. Im Beispiel würde das bedeuten, diese Gleichung aufzulösen: .
Mathematisch formuliert heißt das:
Ein Wert der Definitionsmenge der Funktion heißt Nullstelle der Funktion , wenn eingesetzt in die Funktion 0 ergibt: .
Um Nullstellen zu berechnen, musst du also die Gleichung lösen. Verschiedene Methoden, wie du Nullstellen findest, lernst du im Artikel Nullstellen berechnen kennen.
Damit du die Nullstellen ganzrationaler Funktionen finden kannst, musst du zunächst wissen, was ganzrationale Funktionen sind.
Eine Funktion der Form ist eine ganzrationale Funktion vom Grad n.
Oft wird diese Art von Funktion auch als Polynom (vom Grad n) bezeichnet. Ganzrationale Funktionen entstehen, indem Potenzfunktionen addiert werden. Beispiele für ganzrationale Funktionen sind:
| Ganzrationale Funktion | Grad der Funktion |
| Grad 0 | |
| Grad 1 | |
| Grad 2 | |
| Grad 3 | |
| Grad 4 |
Die blau markierten Zahlen der ganzrationalen Funktionen haben eine besondere Bedeutung. Sie werden als der Grad der ganzrationalen Funktion bezeichnet.
Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x.
Nullstellen von Polynomen kann man besonders leicht in der Linearfaktordarstellung des Polynoms erkennen. Doch was ist überhaupt ein Linearfaktor und eine Linearfaktordarstellung?
Die lineare Funktion ist bereits in Linearfaktordarstellung und hat eine Nullstelle bei .
Die Funktion ist noch nicht in Linearfaktordarstellung. Diese kann aber mit Hilfe der dritten binomischen Formel gefunden werden:
.
Das Besondere an Linearfaktoren ist, dass man sehr einfach die Nullstellen erkennen kann.
Die zweite Funktion beispielsweise ergibt 0, wenn 1 oder -1 in die Funktion eingesetzt wird:
Ein Linearfaktor hat also die Form , wobei eine Nullstelle des Polynoms ist.
Eine ganzrationale Funktion ist dann in Linearfaktordarstellung, wenn die Funktion nur noch als Produkt von Linearfaktoren und einem Vorfaktor geschrieben wird.
Die Linearfaktordarstellung eines Polynoms vom Grad n hat die Form: . Dabei sind Nullstellen des Polynoms.
Wenn eine Nullstelle öfter vorkommt, muss man diese auch besonders behandeln und definieren.
Wenn derselbe Linearfaktor öfter in der Linearfaktordarstellung des Polynoms vorkommt, so spricht man von einer mehrfachen Nullstelle. In der Linearfaktordarstellung werden gleiche Linearfaktoren durch Potenzen zusammengefasst.
Schau dir direkt mal das folgende Beispiel dazu an!
Die Funktion beispielsweise hat die Linearfaktordarstellung:
.
Der Linearfaktor kommt also zweimal vor. In so einem Fall handelt es sich bei um eine Nullstelle der Vielfachheit zwei oder einfach gesagt um eine doppelte Nullstelle.
Die Linearfaktorzerlegung wird geschrieben als:
.
| Funktion | Linearfaktordarstellung | Vielfachheit der Nullstelle |
| einfache Nullstelle | ||
| doppelte Nullstelle | ||
| dreifache Nullstelle | ||
| vierfache Nullstelle |
Natürlich können Polynome auch verschiedene Nullstellen mit unterschiedlicher Vielfachheit besitzen.
| Funktion | Linearfaktordarstellung | Vielfachheit von Nullstellen | Grad = Summe der Vielfachheiten |
| : einfache Nullstelle | 1 = 1 | ||
| : einfache Nullstelle: einfache Nullstelle | 2 = 1 + 1 | ||
| : doppelte Nullstelle | 2 = 2 | ||
| : doppelte Nullstelle: einfache Nullstelle | 3 = 2 + 1 |
Interessanterweise ist es immer so, dass die Vielfachheiten der Nullstellen addiert dem Grad der Funktion entsprechen. So kann eine Funktion dritten Grades beispielsweise drei einfache Nullstellen, eine doppelte und eine einfache Nullstelle oder eine dreifache Nullstelle haben. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat also höchstens n verschiedene Linearfaktoren und somit höchstens n verschiedene Nullstellen.
Wie du gesehen hast, kann man die Vielfachheit einer Nullstelle in der Linearfaktorzerlegung des Polynoms einfach erkennen, indem man den Exponenten des Linearfaktors abliest. Die Vielfachheit von Nullstellen beantwortet sozusagen die Frage: "Wie oft kann der Linearfaktor der Nullstelle ausgeklammert werden?".
Die Vielfachheit einer Nullstelle 
einer ganzrationalen Funktion 
entspricht dem Exponent k, mit dem diese Nullstelle in der Linearfaktorzerlegung auftaucht: 
.
Die folgenden Beispiele sollen dir helfen, das bisher Gelernte besser zu verstehen und anwenden zu können.
Wenn bereits die Linearfaktorzerlegung des Polynoms gegeben ist, können die Vielfachheiten der Nullstellen einfach abgelesen werden.
Aufgabe 1
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen des Polynoms
.
Lösung
Die Funktion f(x) hat zwei Nullstellen: 
und 
.
den Exponenten 2 hat, handelt es sich bei 
um eine Nullstelle mit der Vielfachheit zwei oder einfach gesagt um eine doppelte Nullstelle. 
kommt nur einmal vor, deshalb handelt es sich bei 
um eine Nullstelle mit der Vielfachheit eins oder einfach gesagt um eine einfache Nullstelle.Aufgabe 2
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen des Polynoms 
.
Lösung
Die Funktion f(x) hat drei Nullstellen: , und .
Liegt die ganzrationale Funktion in Normalform vor, müssen die Nullstellen erst berechnet werden. Dann kann die Linearfaktordarstellung der Funktion gefunden werden und damit die Vielfachheiten der Nullstellen bestimmt werden. Dazu stehen verschiedene Methoden zur Verfügung wie beispielsweise das Ausklammern, das Anwenden von binomischen Formeln oder die Polynomdivision.
Aufgabe 3
Bestimme die Linearfaktordarstellung und die Vielfachheiten der Nullstellen des Polynoms .
Lösung
Mit Hilfe der dritten binomischen Formel folgt für die Linearfaktordarstellung:
.
Damit hat die Funktion zwei unterschiedliche Nullstellen: und . Bei beiden Nullstellen ist der jeweilige Exponent des Linearfaktors eins. Sie sind also einfache Nullstellen.
Aufgabe 4
Bestimme die Linearfaktordarstellung und die Vielfachheiten der Nullstellen des Polynoms .
Lösung
Durch Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (auch Mitternachtsformel genannt) erhält man die beiden Nullstellen des Polynoms:
.
Damit lässt sich die Funktion in Linearfaktordarstellung bringen: .
Die Nullstellen und sind einfache Nullstellen.
Aufgabe 5
Bestimme die Linearfaktordarstellung und die Vielfachheiten der Nullstellen des Polynoms 
.
Lösung
Zunächst kannst du den Vorfaktor vor 
, also die 2, ausklammern:
| 2 Ausklammern
Um die Nullstellen einer Funktion dritten Grades zu berechnen, kannst du die Polynomdivision verwenden.
Dazu wird eine Nullstelle geraten, hier z.B. 
, denn . Der Linearfaktor 
kann dann durch Polynomdivision abgespalten werden:
Somit erhält man:
Die Linearfaktorzerlegung von f(x) kann mit Hilfe der dritten binomischen Formel berechnet werden. Vergiss nicht, auch den vorher ausgeklammerten Vorfaktor mit in die Linearfaktorzerlegung aufzunehmen!
Das betrachtete Polynom dritten Grades hat also zwei verschiedene Nullstellen. Die doppelte Nullstelle 
und die einfache Nullstelle 
.
Nachdem du nun weißt, wie du die Vielfachheiten von Nullstellen bestimmen kannst, fragst du dich vielleicht, warum man das überhaupt machen sollte. Möchte man den Verlauf eines Graphen beispielsweise besser verstehen, so erlangst du über die Vielfachheiten von Nullstellen wertvolle Informationen darüber.
Wie du gesehen hast, können ganzrationale Funktionen einfache und mehrfache Nullstellen haben. Es werden Nullstellen mit ungerader Ordnung und Nullstellen mit gerader Ordnung unterschieden.
Beschäftigen wir uns zunächst mit den Nullstellen ungerader Ordnung.
Eine Nullstelle 
einer Funktion 
ist eine Nullstelle ungerader Ordnung, wenn der Exponent des zugehörigen Linearfaktors 
in der Linearfaktorzerlegung ungerade ist.
Es handelt sich also um Nullstellen mit Vielfachheit 1, 3, 5, 7, ...
Der Graph der entsprechenden Funktion 
weist bei 
einen Vorzeichenwechsel auf. Das heißt, dass die Funktion die x-Achse schneidet oder durch die x-Achse verläuft.
Abbildung 2 zeigt zwei Funktionen, die jeweils eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzen. Dabei hat die Funktion 
eine einfache Nullstelle bei 
und die Funktion 
eine dreifache Nullstelle bei 
.
Abbildung 2: Zwei Funktionen mit Nullstellen ungerader Ordnung. f(x) schneidet die x-Achse und g(x) durchläuft die x-Achse
Für die Kurvendiskussion sind Nullstellen ungerader Ordnung zusätzlich interessant. Bei jeder Nullstelle, die eine ungerade Ordnung von drei oder größer hat, liegt ein Sattelpunkt vor. Das siehst du z.B. auch bei der Funktion g(x) in Abbildung 2.
Genauere Informationen über Sattelpunkte kannst du im entsprechenden Artikel Sattelpunkt nachlesen.
Und nun zu den Nullstellen mit gerader Ordnung:
Eine Nullstelle 
einer Funktion f(x) ist eine Nullstelle gerader Ordnung, wenn der Exponent des zugehörigen Linearfaktors 
in der Linearfaktorzerlegung gerade ist.
Dementsprechend sind Nullstellen mit gerader Ordnung die Nullstellen mit Vielfachheit 2, 4, 6, ...
Der Graph der Funktion 
weist bei einer Nullstelle gerader Ordnungkeinen Vorzeichenwechsel auf. Das heißt, dass die Funktion an der Stelle 
einen Berührpunkt mit der x-Achse besitzt.
Abbildung 3 zeigt zwei Funktionen, die jeweils eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel besitzen. Dabei hat die Funktion eine doppelte Nullstelle bei und die Funktion eine vierfache Nullstelle bei .
Abbildung 3: Zwei Funktonen mit Nullstellen gerader Ordnung. f(x) und g(x) berühren die x-Achse.
Für die Kurvendiskussion ist interessant, dass bei einer Nullstelle mit gerader Vielfachheit ein Extremum liegt. Ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, kann beispielsweise mit der zweiten Ableitung oder der Monotonie Tabelle nachgewiesen werden.
VORSICHT: Die zweite Ableitung als Nachweis für einen Hoch- oder Tiefpunkt ist nur bei doppelten Nullstellen anwendbar. Bei vierfachen (sechsfachen, usw.) Nullstellen ist die zweite Ableitung stets 0, obwohl dort ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt. Deshalb muss dann die Monotonie Tabelle verwendet werden.
Auch bei gebrochen-rationalen Funktionen der Form 
mit dem Zählerpolynom 
und dem Nennerpolynom 
sind die Vielfachheiten der Nenner- und Zählernullstellen relevant.
Nullstellen des Zählerpolynoms stellen mögliche Nullstellen der Funktion 
dar. Eine Nullstelle des Zählerpolynoms ist genau dann eine Nullstelle der gebrochen rationalen Funktion , wenn sie nicht gleichzeitig Nullstelle des Nennerpolynoms ist.
Die gebrochen rationale Funktion hat bei eine Nullstelle.
Nullstellen des Nennerpolynoms stellen dabei Definitionslücken und mögliche Polstellen der Funktion 
dar. Eine Nullstelle des Nennerpolynoms ist eine Polstelle, wenn
sie keine Nullstelle des Zählerpolynoms ist oder
die Vielfachheit der Nullstelle im Nennerpolynom größer als im Zählerpolynom ist.
Eine Nullstelle des Nennenpolynoms ist eine (be-)hebbare Definitionslücke, wenn die Definitionslücke durch Kürzen des Funktionsterms behoben werden kann. Das heißt, eine Nenner-Nullstelle heißt (be-)hebbare Definitionslücke, falls sie außerdem Zählernullstelle ist, und die Vielfachheit der Nullstelle im Zählerpolynom größer oder gleich der Vielfachheit im Nennerpolynom ist.
Wenn du Genaueres über die Definitionslücken gebrochen rationaler Funktionen erfahren möchtest, dann schaue gerne in den Artikel Arten von Definitionslücken.
Aufgabe 6
Bestimme alle Nullstellen, (be-)hebbaren Definitionslücken und Polstellen der Funktion
.
Lösung
:
Das Zählerpolynom hat bei x = 1 eine dreifache Nullstelle. Das Nennerpolynom hat bei x = 1 eine einfache Nullstelle.Da die Vielfachheit des Zählerpolynoms größer ist als die des Nennerpolynoms handelt es sich um eine (be-)hebbare Definitionslücke der Funktion g(x).
:
Das Zähler- und Nennerpolynom haben bei eine vierfache Nullstelle.
Die Vielfachheit der Nullstelle des Zählerpolynoms ist also gleich der des Nennerpolynoms. Die Funktion g(x) hat demnach eine (be-)hebbare Definitionslücke bei .
:
Das Zählerpolynom hat bei eine einfache Nullstelle.
Das Nennerpolynom hat bei keine Nullstelle.
Damit hat g(x) bei eine Nullstelle.
:
Das Zählerpolynom hat bei x = 3 keine Nullstelle.
Das Nennerpolynom hat bei x = 3 eine einfache Nullstelle.
Deshalb hat die Funktion g(x) bei x = 3 eine Polstelle.
:
Das Zählerpolynom hat bei x = 2 eine doppelte Nullstelle.
Das Nennerpolynom hat bei x = 2 eine dreifache Nullstelle.
Die Vielfachheit der Nullstelle des Zählerpolynoms ist also kleiner als die des Nennerpolynoms und die Funktion g(x) hat bei x = 2 eine Polstelle.
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Was ist die Vielfachheit einer Nullstelle?
Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, wie oft die Nullstelle vorkommt. Bei ganzrationalen Funktionen kann die Vielfachheit einer Nullstelle in der Linearfaktordarstellung am Exponenten des ensprechenden Linearfaktors abgelesen werden.
Was ist eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel?
Eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel ist eine Nullstelle ungerader Ordnung. Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sind also einfache, dreifache, fünffache, ... Nullstellen.
Woher weiß ich, ob es sich um eine doppelte Nullstelle handelt?
Eine Nullstelle ist eine doppelte Nullstelle, wenn der Linearfaktor zweimal in der Linearfaktorzerlegung der ganzrationalen Funktion vorkommt.
Was ist eine doppelte Nullstelle?
Eine doppele Nullstelle ist eine Nullstelle, die zweimal vorkommt. Bei Polynomen heißt das, dass der Linearfaktor der Nullstelle zweimal vorkommt bzw. den Exponenten 2 hat.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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