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Wachstumsprozesse – Wachstum und Zerfall
Je nachdem, welche Art von Wachstum oder Zerfall Du betrachtest, hast Du unterschiedliche Formeln. Im Folgenden werden Dir die gängigsten Arten und ihre Formeln gezeigt. Generell teilen sich Wachstum und Zerfall derselben Art die gleiche Formel.
Lineares Wachstum & Linearer Zerfall
Lineares Wachstum und linearer Zerfall beschreiben eine gleichmäßige Art von etwas zu wachsen oder zu zerfallen. Das heißt, dass z.B. ein See jeden Tag die gleiche Menge an Wasser verliert oder gewinnt.
Die Formel für lineares Wachstum ist die Geradengleichung, weswegen der Graph auch eine Gerade ist.
\[f(x) = {\color{#1478c8}m} \cdot {\color{#00dcb4}t} + {\color{#fa3273}b}\]
Das kleine \({\color{#1478c8}m}\) beschreibt hier den Wachstumsfaktor, \({\color{#00dcb4}t}\) ist die Zeitangabe, in der der betrachtete Bestand wächst und \({\color{#fa3273}b}\) ist der Anfangswert, bei dem der Bestand anfängt, zu wachsen oder zu zerfallen.
Der Graph linearen Wachstums ist, wie erwähnt, eine Gerade.
Abb 1 - Graph für lineares Wachstum.
Exponentielles Wachstum & exponentieller Zerfall
Im Gegensatz zum gleichmäßigen Wachstum vom linearen Wachstum verläuft exponentielles Wachstum viel schneller. Hier werden nach teilweise schon wenig verstrichener Zeit große Werte erreicht. Beispiele für exponentielles Wachstum sind das Wachstum einer Bakterienkultur oder die Ausbreitung einer Krankheit. Für exponentiellen Zerfall sind die Halbwertszeit von radioaktiven Materialien oder die Absorption von Licht durch dickes Glas gute Beispiele.
Die Formel für exponentielles Wachstum sieht wie folgt aus:
\[f(x) = {\color{#1478c8}a} \cdot {\color{#00dcb4}b}^{\color{#fa3273}x}\]
Manchmal wird die Formel auch auf andere Art geschrieben, die getauschten Variablen stehen trotzdem für die gleichen Werte:
\[f(t) = {\color{#1478c8}a} \cdot {\color{#00dcb4}b}^{\color{#fa3273}t}\]
Der Grund für das rapide Wachstum einer Exponentialfunktion ist, dass die Variable im Exponenten steht und somit die Basis \(b\) schnell vergrößert.
Das kleine \({\color{#1478c8}a}\) steht in dieser Formel für den Anfangswert des betrachteten Gegenstands. Außerdem gibt es den y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen an. Das \({\color{#00dcb4}b}\) ist der Wachstumsfaktor der Funktion und das \({\color{#fa3273}x}\) oder \({\color{#fa3273}t}\) ist die Variable für die Zeit, die seit Beobachtungsbeginn verstrichen ist.
Der Verlauf jedes Funktionsgraphen einer Exponentialfunktion stellt eine Hyperbel dar.
Abb. 2 - Graph für exponentielles Wachstum.
Beschränktes Wachstum
Das beschränkte Wachstum beschreibt eine Art von Wachstum, welches sich einem Maximalwert, auch natürliche Schranke S genannt, immer weiter annähert. Beispiele für beschränktes Wachstum sind das Austragen von Zeitung, da Du nur eine Maximalanzahl an Zeitungen pro Tag austrägst oder, als Beispiel der heutigen Zeit, das Impfen gegen eine Viruskrankheit. Hier können auch nur alle Bürger eines Landes geimpft werden, was die Maximalanzahl darstellt.
Beschränktes Wachstum hat folgende Formel:
\[B({\color{#8363e2}t}) = {\color{#1478c8}S} - ({\color{#1478c8}S} - {\color{#00dcb4}B(0)}) \cdot e^{-{\color{#fa3273}k} \cdot {\color{#8363e2}t}}\]
Anstatt t kannst Du auch x als Variable in die Gleichung einsetzen. Dadurch ändert sich nichts.
Wie in der kurzen Erklärung schon erwähnt, ist \({\color{#1478c8}S}\) die natürliche Schranke oder auch der Maximalwert der Funktion. \({\color{#00dcb4}B(0)}\) ist der Anfangswert der Funktion, \({\color{#fa3273}k}\) ist der Wachstumsfaktor, welcher durch ein vorgestelltes Minus immer negativ ist, und \({\color{#8363e2}t}\) ist die Zeit, die seit Beobachtungsbeginn vergangen ist.
Der Graph des beschränkten Wachstums hat, genauso wie der des exponentiellen Wachstums, die Form einer Hyperbel.
Abb. 3 - Graph für beschränktes Wachstum.
Logistisches Wachstum
Logistisches Wachstum nähert sich, genauso wie das beschränkte Wachstum, einem Maximalwert, der sogenannten Sättigungsgrenze G, an. Beispiele für logistisches Wachstum sind die steigende Menge an Hefe in einem Glas oder das Wachstum eines Tumors.
Der Unterschied zum beschränkten Wachstum ist, dass logistisches Wachstum nicht bei 0 anfängt, sondern schon vor dem Anwachsen der Probe ein Grundwert vorhanden ist. Deutlich wird das vor allem in den Graphen der beiden Wachstumsprozesse. Das beschränkte Wachstum beginnt im Ursprung; das logistische Wachstum hat schon vor dem Ursprung einen Funktionswert.
Die Formel für logistisches Wachstum sieht auf den ersten Blick zwar kompliziert aus, ist aber im Grunde genommen nur ein Bruch mit 2 Zahlen, wobei sich der Nenner mit der Zeit ändert.
\[f({\color{#fa3273}t}) = \frac{{\color{#1478c8}G}}{1+e^{-{\color{#00dcb4}k}\cdot{\color{#1478c8}G}\cdot{\color{#fa3273}t}}\cdot\left(\frac{{\color{#1478c8}G}}{{\color{#8363e2}f(0)}}-1\right)}\]
Anstelle der Variable t kannst Du hier auch x einsetzen.
Das \({\color{#1478c8}G}\) ist, wie oben erwähnt, die sogenannte Sättigungsgrenze, also der Maximalwert der Funktion. Das kleine \({\color{#00dcb4}k}\) ist, genauso wie beim beschränkten Wachstum, der Wachstumsfaktor und durch ein vorangestelltes Minus immer negativ; \({\color{#fa3273}t}\) ist die Zeit, die seit Beobachtungsbeginn vergangen ist und \({\color{#8363e2}f(0)}\) ist der Bestand zum Zeitpunkt 0, also der Anfangswert und gleichzeitig auch der y-Achsenabschnitt.
Der Graph logistischen Wachstums hat die Form eines lang gezogenen S und immer einen y-Achsenabschnitt.
Abb. 4 - Graph für logistisches Wachstum.
Verdopplungs- und Halbwertszeit
Ein Begriff, der Dir besonders in Aufgaben zu exponentiellem Wachstum auffallen wird, ist die Verdopplungs- oder die Halbwertszeit. Die Halbwertszeit beschreibt, wann genau die halbe Menge eines Stoffes zerfallen ist, wobei die Verdopplungszeit besagt, wann sich eine bestimmte Menge eines Stoffes oder einer Probe verdoppelt hat.
Vor allem radioaktive Elemente, wie Uran-\(237\), Plutonium-\(239\) oder Kobalt-60, haben Halbwertszeiten, da diese mit fortlaufender Zeit an Radioaktivität, also der Fähigkeit Strahlung abzugeben, verlieren. Manche Stoffe haben dabei Halbwertszeiten von wenigen Tagen, wie Radon-\(222\); andere haben dafür eine extrem hohe Halbwertszeit von einigen Millionen Jahren, wie Uran-\(235\).
Die Verdopplungszeit findest Du vor allem in der Biologie, wenn Du die Menge von Bakterien nach einer bestimmten Zeit berechnen sollst.
Wachstumsfaktor und Zerfallsfaktor berechnen
Nicht jede Aufgabenstellung wird Dir den Wachstums-, bzw. Zerfallsfaktor geben. Oftmals berechnest Du Dir diesen Faktor selbst.
Aufgabe 1 – Zerfallsfaktor berechnen
Kobalt-\(60\) hat eine Halbwertszeit von ca. \(5\) Jahren. Beobachtet wird eine Probe mit einem Gewicht von \(10 \, \text{kg}\). Berechne, wie viel Gramm noch nach \(8\) Jahren übrig sind.
Lösung
Der Begriff Halbwertszeit heißt, dass sich die Menge an Kobalt-\(60\) nach \(5\) Jahren halbiert hat. Mit diesen Informationen kannst Du die nötigen Werte aus der Angabe herauslesen und eine Formel zum exponentiellen Zerfall aufstellen.
\[a = 10\,\text{kg} = 10\,000 \,\text{g}~; \, b = ?~; \, x = 8\]
Die gesuchte Zeitangabe der Aufgabestellung ist zwar \(8\) Jahre, trotzdem brauchst Du für die Berechnung des Zerfallsfaktors die Zeitangabe der Halbwertszeit, also \(5\) Jahre.
\[\begin{align} f(5) &= 5\,000 \,\text{g}\\5\,000 \,\text{g} &= 10\,000 \,\text{g} \cdot b^5 ~~~~| : 10\,000 \,\text{g}\\\frac{5\,000 \,\text{g}}{10\,000 \,\text{g}} &= b^5 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~| \sqrt[5]{}\\\sqrt[5]{\frac{1}{2}} &= b\\b &\approx 0{,}871\end{align}\]
Mit diesem berechneten Zerfallsfaktor kannst Du richtige Zerfallsformel aufstellen und die Aufgabe für den gesuchten Zeitraum von \(8\) Jahren berechnen.
\[f(x) = 10\,000 \,\text{g} \cdot 0{,}871^x\]\[f(8) = 10\,000 \,\text{g} \cdot 0{,}871^8 = 3312{,}42 \,\text{g}\]
Somit hast Du berechnet, dass nach \(8\) Jahren von den ursprünglichen \(10\,\text{kg}\) Kobalt-\(60\) noch ca. \(3{,}31\,\text{kg}\) übrig sind.
Aufgabe 2 – Wachstumsfaktor berechnen
In ein neu gebautes Schwimmbecken passen insgesamt \(55\,000\, \text{l}\). Am Anfang ist das Becken leer. Nach einer Stunde auffüllen sind \(1\,200\, \text{l}\) im Becken. Berechne auf dieser Grundlagen, wann das Schwimmbecken voll ist.
Lösung
Da hier immer gleichmäßig viel Wasser pro Stunde in das Schwimmbecken läuft, hast Du ein lineares Wachstum gegeben. In der Aufgabenstellung findest Du die Informationen, mit denen Du den Wachstumsfaktor \(m\) berechnen kannst.
\[t = 1 \,\text{h} = 60 \,\text{min};~a = 0;~f(1) = 1\,200\]
\[\begin{align} 1\,200\,\text{l} &= m \cdot 60\,\text{min} + 0~~~~~~~~~~| : 60\\[0.2 cm]\frac{1\,200\,\text{l}}{60\,\text{min}} &= m \\m &= 20\,\frac{\text{l}}{\text{min}} \end{align}\]
Mit diesem b kannst Du nun die Aufgabe lösen.
\[\begin{align} 55\,000\,\text{l} &= 20\,\frac{\text{l}}{\text{min}} \cdot t + 0~~~~~~~~~~| : 20\\[0.2 cm]\frac{55\,000\,\text{l}}{20\,\text{min}} &= t\\[0.2 cm]2\,750\,\text{min} &= t \\[0.2 cm]t &= 45\,\text{h}~ 50\,\text{min} \end{align}\]
Somit dauert es \(45\, \text{h}\) und \(50 \, \text{min}\), bis das Becken voll ist.
Wachstum und Zerfall – Aufgaben mit Lösung
Nachdem Du in der Theorie alles zu Zerfall und Wachstum gelesen hast, kommt nun ein praktischer Teil, bei dem Du ein paar Aufgaben zu einem beliebigen Wachstumsprozess lösen kannst.
Aufgabe 3 – Wachstumsprozesse
Nenne für die folgenden Wachstums- oder Zerfallsformeln die richtigen dazugehörigen Wachstumsprozesse und begründe Deine Wahl.
1) \(7\,000 = \dfrac{50\,000}{1+e^{-k \cdot 50\,000 \cdot \frac{1}{2}}\cdot \left(\frac{50\,000}{2\,000}-1\right)}\)
2) \(100 = 150 - (150 - 0) \cdot e^{-5 \cdot 20}\)
3) \(-5 \cdot 0,6^{9}\)
Lösung
1) Die vorliegende Formel ist die Formel zu logistischem Wachstum oder Zerfall. Dies ist daran zu begründen, da diese die einzige Formel ist, die einen Bruch enthält.
2) Die zweite Formel ist die Formel zu beschränktem Wachstum. Zu erkennen ist das am Wert für die Schranke \(S\), hier \(150\), der zweimal in die Formel eingesetzt wird.
3) Die letzte Formel ist die Formel zu exponentiellem Zerfall. Dies erkennst Du vor allem daran, dass sie einen einfachen Exponenten enthält, der Wachstumsfaktor, die Basis des Exponenten, kleiner als \(1\) ist.
Aufgabe 4 – Wachstum berechnen
Die Population einer bedrohten Tierart wird in einem bestimmten Bereich überwacht. Am Anfang der Beobachtung wurden \(200\) Tiere gezählt. Nach einem Jahr ist die Population auf \(220\) angewachsen. Stelle eine Formel auf, mit der Du das Wachstum der Population berechnen kannst und berechne, wie viele Tiere nach \(5\) Jahren im beobachteten Bereich leben.
Lösung
Der Tierbestand verändert sich jedes Jahr im Durchschnitt um dieselbe Anzahl an Jungtieren. Deshalb solltest Du hier eine Gleichung für lineares Wachstum aufstellen.
\[t = 5;~ b = 200;~ f(1) = 220\]
Auch, wenn der gefragte Zeitraum für \(5\) Jahre angegeben ist, solltest Du die Berechnung des Steigungsfaktors mit einem Jahr berechnen, da Du hierfür die veränderte Menge an Tieren weist.
\[\begin{align}220 &= m \cdot 1 + 200~~~~~~| - 200\\20 &= m \cdot 1\\m &= 20\end{align}\]
Mit dem berechneten Wachstumsfaktor kannst Du die Formel zur Berechnung des Bestandes aufstellen.
\[f(x) = 20 \cdot 5 + 200 = 300\]
Nach \(5\) Jahren ist der Bestand der bedrohten Tierart auf \(300\) Tiere angestiegen.
Wachstum und Zerfall – Das Wichtigste
- Es gibt 4 gängige Wachstumsprozesse: lineares Wachstum, exponentielles Wachstum, logistisches und beschränktes Wachstum.
- Die Formeln für diese Wachstumsprozesse sind:Lineares Wachstum: \(f(x) = m \cdot t + b\)Exponentielles Wachstum: \(f(x) =a \cdot b^x\)Beschränktes Wachstum: \(B(t) = S - (S - B(0)) \cdot e^{-k \cdot t}\)Logistisches Wachstum: \(f(t) = \dfrac{G}{1+e^{-k \cdot G \cdot t} \cdot \left(\frac{G}{f(0)}-1\right)}\)
- Lineares Wachstum beschreibt ein Wachstum, was immer gleichmäßig anwächst.
- Exponentielles Wachstum wächst rasant an und hat nach kurzer Zeit große Werte.
- Beschränktes und logistisches Wachstum haben beide einen Maximalwert, beim beschränkten Wachstum heißt er Schranke, beim logistischem Sättigungsgrenze.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Wachstum und Zerfall
Wann Zerfall und Wachstum?
Wachstum hast Du in einer Aufgabe vorliegen, wenn ein Stoff oder eine Probe nach einer bestimmten Zeit anwächst. Zerfall kommt dann vor, wenn ein Stoff oder Ähnliches nach einer bestimmten Zeit zerfällt.
Was ist Wachstum und Zerfall?
Wachstum beschreibt den Prozess, wenn nach einer bestimmten Zeit mehr von einem Stoff oder einer Probe vorhanden ist, als zu Beobachtungsbeginn.
Zerfall liegt vor, wenn nach einer bestimmten Zeit der Stoff oder die Probe zerfällt und somit die Menge davon weniger wird.
Wie rechnet man die Wachstumsrate?
Die Wachstumsrate, auch Wachstumsfaktor genannt, berechnest Du, indem Du die Formel des vorliegenden Wachstumsprozesses nach diesem umstellst, sodass er alleine ist.
Wie berechnet man Zerfall?
Zerfall berechnest Du, indem Du oftmals erst den Zerfallsfaktor berechnest und anschließend diesen und die restlichen Angaben der Aufgabe in die Formel einsetzt. Damit hast Du die noch vorhandene Menge des zerfallenden Stoffes nach einer bestimmten Zeit berechnet.
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