Zuordnung: proportional & antiproportional

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Dann bist du bei diesem Artikel genau richtig. Du wirst erfahren, was eine Zuordnung ist, aber auch spezielle Zuordnungen wie die proportionale, die antiproportionale und die eindeutige Zuordnung kennenlernen.

Zuordnung Definition

In diesem Kapitel wird dir anhand von Beispielen erklärt, was eine Zuordnung ist und wie sie definiert werden kann. Fangen wir mit einem Beispiel an. Einer Person können ihre Haustiere zugeordnet werden.

Beispiel 1 – Zuordnung

Einige Kinder wurden gefragt, welche Haustiere sie besitzen:

Laila hat einen Hund.
Julia hat eine Katze.
Leon hat einen Hund und einen Hasen.
Alex hat Fische.

Die Zuordnung weist jeder Person die entsprechenden Haustiere zu.

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Abbildung 1: Zuordnung Person und Haustiere

In der Abbildung siehst du jeweils links vom Pfeil die Person und rechts das zugeordnete Tier. Beispielsweise wird Laila das Haustier Hund zugeordnet und Julia wird Katze zugeordnet. Leon werden das Haustier Hund und das Haustier Hase zugeordnet. Alex wird Fische zugeordnet.

Das Diagramm in Abbildung 1 wird auch Pfeildiagramm genannt. Mit einem Pfeildiagramm können Zuordnungen abgebildet werden. Bei den Zuordnungspfeilen ( $\mapsto$ ) ist es immer so, dass am Pfeilfuß der Ausgangswert steht und an der Pfeilspitze der zugeordnete Wert.

Eine Zuordnung weist einem Wert (mindestens) einen anderen Wert zu.

Einer Größe wird also eine andere zugeordnet.

Die Größe, die zugeordnet wird, wird auch als abhängige Größe bezeichnet. Die andere Größe wird entsprechend als unabhängige Größe bezeichnet.

Manchmal ist es aber auch möglich, eine mathematische Vorschrift zu finden, mit der sich der zweite Wert aus dem ersten Wert berechnen lässt. Mithilfe der Zuordnungsvorschrift kann die abhängige Größe aus der unabhängigen Größe berechnet werden.

Die Zuordnungsvorschrift ordnet der unabhängigen Größe x die mathematische Vorschrift, mit der die abhängige Größe berechnet werden kann, in Form eines Terms zu:

$f : x \mapsto f (x)$ .

Damit du dir das besser vorstellen kannst, kannst du dir folgendes Beispiel ansehen.

Beispiel 2 – Zuordnungsvorschrift

Betrachte die Zuordnung, die der Seitenlänge des Quadrats a den Flächeninhalt $A_{Q u a d r a t} = a \cdot a = a^{2}$ zuordnet.

Wenn die Seitenlänge des Quadrats 1 ist, dann ist der zugeordnete Flächeninhalt $A_{Q u a d r a t} = 1 \cdot 1 = 1$ .
Wenn die Seitenlänge des Quadrats 2 ist, dann ist der zugeordnete Flächeninhalt $A_{Q u a d r a t} = 2 \cdot 2 = 4$ .
Wenn die Seitenlänge des Quadrats 3 ist, dann ist der zugeordnete Flächeninhalt $A_{Q u a d r a t} = 3 \cdot 3 = 9$ .

Dies kann man mithilfe des Zuordnungspfeils aufschreiben:

$1 \mapsto 1 \cdot 1 2 \mapsto 2 \cdot 2 3 \mapsto 3 \cdot 3$

Die allgemeine Zuordnungsvorschrift lautet dann:

$a \mapsto a \cdot a$

Eindeutige Zuordnung

Bei einer Funktion handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung. Doch was ist das?

Eindeutige Zuordnung Definition

Beginnen wir zunächst mit einer kurzen Definition des Begriffs.

Eine eindeutige Zuordnung ist eine Zuordnung, bei der jedem Wert einer Größe genau ein Wert einer zweiten Größe zugeordnet wird.

Wenn du nochmal zurückblickst, zum Beispiel 1 mit den Personen und Haustieren, fällt dir vielleicht etwas auf. Leon werden zwei verschiedene Haustiere (Hund und Hase) zugeordnet. Diese Zuordnung ist also nicht eindeutig.

Damit du dir besser vorstellen kannst, wie eine eindeutige Zuordnung aussieht, schaue dir folgendes Beispiel an.

Beispiel 3 – eindeutige Zuordnung

Eine Klasse schreibt in Englisch einen Vokabeltest, bei dem insgesamt 8 Punkte erreicht werden können. Die Note hängt von den erreichten Punkten ab.

Zuordnung, eindeutige Zuordnung, StudySmarter Abbildung 2: Eindeutige Zuordnung Punktzahl und Note

Auch bei diesem Beispiel handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung.

8 Punkten können beispielsweise eindeutig die Note 1 zugeordnet werden.
7 Punkten wird eindeutig die Note 2 zugewiesen.
Auch 6 Punkten wird eindeutig die Note 2 zugewiesen.

Obwohl zwei Punktzahlen dieselbe Note zugeordnet wird, handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung.

Eine eindeutige Zuordnung kann man in dieser Darstellung daran erkennen, dass an jedem Element links genau ein Pfeil ansetzt. Von wie vielen Pfeilen ein Element rechts getroffen wird, ist für die Eindeutigkeit der Zuordnung nicht entscheidend.

Definition Zuordnung Funktion

Durch Funktionen beziehungsweise eindeutige Zuordnungen können Zusammenhänge zwischen Größen beschrieben werden. Wir können eine Funktion folgendermaßen definieren:

Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem Wert einer Größe genau ein Wert einer zweiten Größe zugeordnet wird.

Eine Funktion kann mit einem Pfeildiagramm, einer Wertetabelle, der Zuordnungsvorschrift oder einem Funktionsgraphen dargestellt werden. Wenn du mehr über Funktionen und ihre Darstellungen lernen möchtest, dann wirf einen Blick in den Artikel Funktion.

Es gibt zwei besondere eindeutige Zuordnungen. Sie heißen proportionale und antiproportionale Zuordnung. Was du dir darunter vorstellen kannst, erfährst du im nächsten Abschnitt.

Direkt proportionale und antiproportionale Zuordnung

Zuordnung direkt proportionale Zuordnung

Wenn zwei Größen proportional zueinander sind, dann führt die Veränderung der ersten Größe

zu einer bestimmten Veränderung der zweiten Größe.

Proportionale Zuordnung

Eine direkt proportionale Zuordnung hat folgende Eigenschaft:

Eine Zuordnung ist direkt proportional, wenn gilt: dem n-fachen der einen Größe entspricht das n-fache der anderen Größe.

Bei zueinander direkt proportionalen Größen

führt das Verdoppeln, Verdreifachen, ... der einen Größe zum Verdoppeln, Verdreifachen der anderen Größe und
das Halbieren, Dritteln, ... der einen Größe führt zum Halbieren, Dritteln, ... der anderen Größe.

Ein Beispiel für eine direkt proportionale Zuordnung ist der Preis von Äpfeln in Abhängigkeit des Gewichts der Äpfel.

Beispiel 5 – direkt proportionale Zuordnung

Möchte man im Supermarkt Äpfel kaufen, so kostet ein Kilogramm lose Äpfel 2 €. Kauft man doppelt so viele Äpfel, also 2 kg, so verdoppelt sich auch der Preis, der bezahlt werden muss. Man muss dann 4 € zahlen.

$1 k g \mapsto 2 € 2 k g \mapsto 4 € 3 k g \mapsto 6 €$

Andersherum halbiert sich der Preis der Äpfel, wenn statt einem Kilogramm (1000 g) nur die Hälfte, also 500 g Äpfel gekauft werden.

$1 k g \mapsto 2 € 0, 5 k g \mapsto 1 €$

Wird der Graph einer direkt proportionalen Zuordnung in ein Koordinatensystem eingetragen, so ergibt sich immer eine Ursprungsgerade.

Wenn der Preis der Äpfel und das Gewicht der Äpfel in ein Koordinatensystem eingetragen werden, dann ergibt sich der typische lineare Verlauf einer direkt proportionalen Zuordnung. Die Masse der Äpfel entspricht den x-Werten und die zugeordneten Preise entsprechen den y-Werten.

Zuordung und Zuordnungsvorschrift, direkt proportionale Zuordnung, StudySmarter Abbildung 3: Abhängigkeit des Preises von der gekauften Masse Äpfel im Koordinatensystem

Eine direkt proportionale Zuordnung ist ein Spezialfall der linearen Funktion beziehungsweise der linearen Zuordnung $y = m x + t$ , bei der der y-Achsenabschnitt 0 ist ( $t = 0$ ) und die Steigung dem Proportionalitätsfaktor entspricht ( $m = k$ ).

Proportionale Zuordnungen haben aber noch weitere Eigenschaften. Beispielsweise sind sie quotientengleich und es gibt einen Proportionalitätsfaktor. Wenn du mehr über direkt proportionale Größen und direkt proportionale Zusammenhänge erfahren möchtest, dann schaue in den Artikel Direkte Proportionalität.

Antiproportionale Zuordnung

Eine antiproportionale Zuordnung hat folgende Eigenschaft:

Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn gilt: dem n-fachen der einen Größe entspricht der n-te Teil der anderen Größe.

Bei zueinander indirekt proportionalen Größen wird bei Verdoppeln, Verdreifachen, ... der einen Größe die andere Größe halbiert, gedrittelt, .... Das heißt, die eine Größe steigt um denselben Faktor, durch den die andere geteilt wird.

Manchmal werden zueinander antiproportionale Größen auch als indirekt proportional oder umgekehrt proportional bezeichnet.

Ein Beispiel für eine direkt proportionale Zuordnung ist das Befüllen eines Schwimmbeckens und die Anzahl der verwendeten Pumpen.

Beispiel 6 – antiproportionale Zuordnung

In einem Freibad soll das Schwimmerbecken vor der Eröffnung im Sommer befüllt werden. Werden zwei Pumpen verwendet, dauert das Befüllen 30 Stunden. Wird hingegen nur eine Pumpe verwendet, verlängert sich die Zeit, die benötigt wird, um das Becken zu befüllen. Es dauert dann doppelt so lange – 60 Stunden.

$1 P u m p e \mapsto 60 h 2 P u m p e n \mapsto 30 h$

Werden 4 Pumpen verwendet dauert das Befüllen nur halb so lange wie mit 2 Pumpen.

$2 P u m p e n \mapsto 30 h 4 P u m p e n \mapsto 15 h$

Wird der Graph einer antiproportionalen Zuordnung in ein Koordinatensystem eingetragen, so ergibt sich immer eine Hyperbel.

Wenn die Befülldauer und die Anzahl der Pumpen in ein Koordinatensystem eingetragen werden, dann ergibt sich eine Hyperbel. Die Anzahl der Pumpen entspricht den x-Werten und die zugeordnete Befülldauer entspricht den y-Werten.

Zuordnung und Zuordnungsvorschrift, antiproportionale Zuordnung, StudySmarter Abbildung 4: Abhängigkeit der Befülldauer von der Anzahl der verwendeten Pumpen

Antiproportionale Zuordnungen haben aber noch weitere Eigenschaften. Beispielsweise sind sie produktgleich und es gibt einen Antiproportionalitätsfaktor. Wenn du mehr über indirekt proportionale Größen und indirekt proportionale Zusammenhänge erfahren möchtest, dann schaue in den Artikel Indirekte Proportionalität / Antiproportionalität und Antiproportionalitätsfaktor.

Dreisatz

Sind zwei Größen zueinander direkt oder indirekt proportional und ein fehlender Wert soll berechnet werden, so kannst du den Dreisatz verwenden.

In der ersten Zeile schreibst du das Verhältnis auf, das du kennst.
In der zweiten Zeile rechnest du aus, was einer Anzahl/Einheit entspricht.
In der dritten Zeile rechnest du dann die gesuchte Größe aus.

Dreisatz bei einer direkt proportionalen Zuordnung

Um eine Aufgabe mit direkt proportionalen Größen zu lösen, musst du stets darauf achten, beim ver-n-fachen der einen Größe auch die andere Größe zu vervielfachen. Wie der Dreisatz bei direkt proportionalen Größen angewandt werden kann, wird dir anhand folgendem Beispiel erläutert.

Aufgabe 1

In einem Rezept für Kekse wird für 3 Personen 600 g Mehl benötigt. Möchte man nun Kekse für 8 Personen backen, wie viel Mehl braucht man dann?

Lösung

$3 P e r s o n e n ≙ 600 g 1 P e r s o n ≙ 200 g 8 P e r s o n e n ≙ 1600 g$

Um Kekse für 8 Personen zu backen, werden 1600 g Mehl benötigt.

Dreisatz bei einer antiproportionalen Zuordnung

Auch bei einer antiproportionalen Zuordnung kann der Dreisatz verwendet werden, um einen fehlenden Wert zu berechnen. Du musst jetzt aber darauf achten, dass du nicht dasselbe auf beiden Seiten machst, sondern auf der einen Seite teilst, wenn du auf der anderen multiplizierst.

Im Beispiel wird dir gezeigt, wie es funktioniert.

Aufgabe 2

4 Arbeiter brauchen zur Fertigstellung eines Gerüsts 20 Stunden. Wie lange brauchen 6 Arbeiter?

Lösung

$4 A r b e i t e r ≙ 24 h 2 A r b e i t e r ≙ 48 h 6 A r b e i t e r ≙ 16 h$

6 Arbeiter benötigen 16 h, um das Gerüst fertig zu stellen.

Wenn du genauer wissen möchtest, wie und warum der Dreisatz funktioniert, dann wirf einen Blick in den Artikel Dreisatz.

Zuordnung - Das Wichtigste

Eine Zuordnung weist einem Wert (mindestens) einen anderen Wert zu.
Die Zuordnungsvorschrift ist die mathematische Vorschrift, mit der die abhängige Größe aus der unabhängigen Größe berechnet werden kann. Der unabhängigen Größe x wird die mathematische Vorschrift in Form eines Terms zugeordnet: $f : x \mapsto f (x)$
Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem Wert einer Größe genau ein Wert einer zweiten Größe zugeordnet wird.
(Eindeutige) Zuordnungen können mithilfe von Pfeildiagrammen, Wertetabellen, Zuordnungsvorschriften oder Graphen dargestellt werden.
Direkte proportionale Zuordnung:
- Dem Doppelten, Dreifachen, ... der einen Größe wird das Doppelte, Dreifache, ... der anderen Größe zugeordnet.
- Quotientengleichheit
- Ursprungsgerade
Indirekte proportionale Zuordnung:
- Dem Doppelten, Dreifachen, ... der einen Größe wird die Hälfte, das Drittel, ... der anderen Größe zugeordnet.
- Produktgleichheit
- Hyperbel
Der Dreisatz dient bei direkt proportionalen oder antiproportionalen Größen zur Berechnung gesuchter Werte.

Karteikarten in Zuordnung 2

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Eigenschaften einer direkt proportionalen Zuordnung:

Dem n-fachen der einen Größe entspricht das n-fache der anderen Größe.

Eigenschaften einer antiproportionalen Zuordnung:

Dem n-fachen der einen Größe entspricht das n-fache der anderen Größe.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Zuordnung

Wie rechnet man einen Dreisatz?

Mit dem Dreisatz rechnet man, indem man in der ersten Zeile das bekannte Verhältnis aufschreibt, in der zweiten Zeile ausrechnet, was einer Anzahl/Einheit entspricht und schließlich in der dritten Zeile die gesuchte Größe ausrechnet.

Wie lautet der Dreisatz?

fehlt noch

Wie kann ich erkennen, ob es proportional oder antiproportional ist?

Bei direkt proportionalen Größen entspricht dem Doppelten, Dreifachen, ... der einen Größe das Doppelte, Dreifache, ... der anderen Größe. Bei antiproportionalen Größen hingegen ist es umgekehrt: Dem Doppelten, Dreifachen, ... der einen Größe wird die Hälfte, das Drittel, ... der anderen Größe zugeordnet.

Was ist eine antiproportionale Zuordnung?

Eine antiproportionale Zuordnung ist eine eindeutige Zuordnung, bei der das n-fache der einen Größe dem n-ten Teil der anderen Größe entspricht.

Wie lautet der Dreisatz?

Der Dreisatz wird verwendet, wenn bei zwei zueinander direkt oder indirekt proportionalen Größen ein fehlender Wert berechnet werden soll.
In drei Schritten kann der fehlende Wert berechnet werden.

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