Geometrie

Wie lautet die Definition der Geometrie? Welche Geometrie Begriffe solltest Du kennen? Welche geometrischen Formeln sind wichtig? In der folgenden Erklärung wird Dir die Geometrie einfach erklärt.

Geometrie

Der Begriff „Geometrie“ stammt aus dem antiken Griechenland und bedeutet so viel wie Erdmaße, Erdmessung oder Landmessung.

In der Mathematik ist die Geometrie ein Teilbereich, der sich mit dem Messen, Berechnen und Konstruieren von Winkeln, Abständen und Figuren beschäftigt.

In der Mathematik wird der gesamte Bereich der Geometrie in etwa so definiert:

Die Geometrie, die Du in der Schule lernst, wird meist als Elementargeometrie oder euklidische Geometrie bezeichnet, benannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid (3. Jh. v. Chr.).

Geometrie Grundlagen

In der Geometrie gibt es einige wichtige Grundlagen wie zum Beispiel die wichtigsten Geometrie-Begriffe, die verschiedenen Formen und Figuren in der Ebene und im Raum sowie die Konstruktion dieser. Alle wichtigen Grundlagen findest Du in dieser Erklärung kurz zusammengefasst. Ausführlicher kannst Du sie in den Erklärungen der einzelnen Themen nachlesen.

Geometrie Begriffe

In der Geometrie gibt es einige Begriffe, die grundlegend für das Verständnis der gesamten Geometrie sind: die geometrischen Grundbegriffe. Das sind die Begriffe Koordinatensystem, Punkt und Linie.

Geometrie Koordinatensystem

Das sogenannte „kartesische Koordinatensystem“ kann in der zweidimensionalen Ebene und im dreidimensionalen Raum liegen. Es besitzt dementsprechend zwei oder drei Koordinatenachsen. Das sind zwei bzw. drei Geraden, die sich schneiden, gleich lang sind und den gleichen Abstand zueinander haben. Die Koordinatenachsen in der Ebene heißen \(x\)-Achse und \(y\)-Achse (zweidimensional), die zusätzliche dritte Achse im Raum ist die \(z\)-Achse (dreidimensional).

Abb. 1 – Zweidimensionales Koordinatensystem.

Abb. 2 – dreidimensionales Koordinatensystem.

Im Koordinatensystem können Punkte an bestimmten Koordinaten eingezeichnet werden, die auch miteinander zu Linien oder Figuren verbunden werden können.

Geometrie Punkt

Einen Punkt hast Du vielleicht schon mal mit einem Stift gesetzt. Allerdings ist ein Punkt in der Mathematik etwas genauer definiert:

Ein Punkt ist die Stelle, an der zwei gerade Linien sich kreuzen. Er wird geschrieben als \(P(x|y)\), wobei \(x\) die Koordinate auf der \(x\)-Achse ist und \(y\) die Koordinate auf der \(y\)-Achse.

Ein Punkt hat keine Ausdehnung, was genauer bedeutet, dass er keine Länge, Breite oder Höhe besitzt. Die Hauptaufgabe eines Punktes ist es, eine genaue Position auf einer Ebene oder im Raum zu definieren.

Geometrie Linie

Eine Linie ist ein Strich, der gekrümmt oder gerade verlaufen kann. Sie kann unendlich, aber auch endlich lang sein und verschiedene Formen bilden. Aus der Linie können Geraden, Strecken, Kurven, Kreise und andere Figuren entstehen.

Abb. 4 – Linien.

Eine Möglichkeit, einen geometrischen Körper darzustellen, ist das Schrägbild. Dieses kannst Du auch auf den Abbildungen in der obigen Tabelle für die verschiedenen Körper erkennen. Dies ist eine dreidimensional wirkende Darstellung des Körpers auf einer ebenen, zweidimensionalen Fläche.

Geometrie Trigonometrie

Die Trigonometrie, abgeleitet vom griechischen Wort für „Dreieck“, beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen Seiten und Winkeln eines Dreiecks.

Besonders an rechtwinkligen Dreiecken können viele Beobachtungen und Berechnungen gemacht werden. Dafür werden die Seiten nach ihrer Lage und ihrer Länge benannt:

Mithilfe dieser Bezeichnungen und dem Sinus, Kosinus und Tangens lassen sich nun verschiedene Aussagen treffen.

Der Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben die Verhältnisse von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck:

• \(\sin{(\alpha})=\dfrac{{\text{Gegenkathete}}}{{\text{Hyp}\text{otenuse}}}\)

• \(\cos({\alpha})= \dfrac{{\text{Ankathete}}}{{\text{Hyp}\text{otenuse}}}\)

• \(\tan({\alpha})= \dfrac{{\text{Gegenkathete}}} {{\text{Ankathete}}}\)

Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, in dem Hilfsmittel aus der Algebra genutzt werden, um geometrische Probleme zu lösen. Oft wird diese Art der Geometrie auch Vektorgeometrie genannt, da sie sich mit Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem befasst.

Ein Vektor ist eine Strecke in der Ebene (zweidimensional) oder im Raum (dreidimensional), welche auf eine bestimmte Länge begrenzt ist und einen Pfeil am Ende besitzt. Bezeichnet wird er meist als Kleinbuchstabe mit einem horizontalen Pfeil darüber, z. B. \(\vec{a}\).

Mit Vektoren können Geraden beschrieben oder Ebenen aufgespannt werden, Lagebeziehungen und Abstände bestimmt oder auch Figuren dargestellt werden. Alles wissenswerte zur Vektorgeometrie findest Du in der Erklärung Analytische Geometrie.

Geometrie Formeln

Hier findest Du eine kleine Formelsammlung mit den wichtigsten Geometrie Formeln für die Umfangs- und Flächenberechnung sowie die Volumenberechnung von Figuren.

Geometrie Aufgaben

Hier kannst Du direkt testen, was Du schon alles über die Geometrie weißt.

Aufgabe 1

Ordne die Bezeichnungen den passenden Bildern und Schreibweisen zu!

Bezeichnung	Bild bzw. Schreibweise
Punkt Vektor Linien Hypotenuse \(c\) Ecken, Kanten, Flächen \(x\)-Achse Schrägbild	\(\vec{v}\) \(A(3|7)\)

Lösung

Die folgende Tabelle besitzt die richtige Zuordnung:

Bezeichnung	Bild bzw. Schreibweise
a. Punkt	6. \(A(3|7)\)
b. Vektor	3. \(\vec{v}\)
c. Linien	5.
d. Hypotenuse \(c\)	2.
e. Ecken, Kanten, Flächen	1.
f. \(x\)-Achse	7.
g. Schrägbild	4.