Abstand zweier Punkte: Übersicht, Berechnen & Aufgaben

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Ole und Felix haben sich zum Fußballspielen verabredet. Am Anfang passen sie den Ball ein paar Mal hin und her. Dabei versuchen sie sich den Ball möglichst flach zuzuspielen. Nach einer Zeit fragen die Beiden sich, wie weit sie den Ball eigentlich dabei immer kicken.

Um das zu ermitteln, brauchen sie die Formel zur Berechnung des Abstands zweier Punkte. Wenn Du wissen möchtest, wie diese Formel aussieht, und wie Du sie anwendest, dann bist Du hier genau richtig!

Mathe Abstand zweier Punkte

Wenn Du den Abstand zweier Punkte berechnen möchtest, dann brauchst Du dafür eine Formel. Der Abstand zweier Punkte entspricht dabei der Länge der Distanz zwischen den beiden Punkte.

Abstand zweier Punkte Mathe StudySmarter Abbildung 2: Abstand zwischen Felix und Ole

Um eine Formel aufzustellen, brauchst Du Werte und Zahlen. Deshalb kannst Du Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem

Ein Punkt hat in einem zweidimensionalen Koordinatensystem eine x - Koordinate und eine y - Koordinate die angeben, wo genau der Punkt liegt. Dafür kannst Du die zwei Punkte $A (x_{1} | x_{2})$ und $B (x_{2} | y_{2})$ betrachten.

Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 3: Punkte im Koordinatensystem

Die kürzeste Distanz zwischen zwei Punkten ist eine Strecke. Über diese Strecke kannst Du ebenfalls die Herleitung der Formel zur Berechnung des Abstands zweier Punkte sehen. Diese Strecke ist der minimale Abstand zwischen zwei Punkten. Wie das genau aussieht, erfährst Du im kommenden Abschnitt.

Minimaler Abstand zweier Punkte

Um die Formel aufzustellen, stellst Du den kleinstmöglichen Abstand der zwei Punkte mit einer Strecke dar, die durch den Punkt $A$ und den Punkt $B$ begrenzt wird. Diese Strecke $A B$ wird auch d genannt. d steht für das englische Wort für Abstand, nämlich distance. Dieser Abstand ist der minimale Abstand der zwei Punkte $A$ und $B$ .

Du möchtest Dein Wissen über Strecken auffrischen? Dann schau doch gerne in dem Artikel Strecke vorbei!

Abstand zweier Punkte Herleitung minimaler Abstand zweier Punkte StudySmarter Abbildung 4: Abstand d zwischen Punkt A und B

Den minimalen Abstand d benötigst Du zur Herleitung der Abstandsformel zwischen zwei Punkten. Denn wenn Du dann zwei weitere Strecken der Strecke d hinzufügst, kannst Du ein rechtwinkliges Dreieck erzeugen. Die Strecke $A B$ stellt in diesem rechtwinkligen Dreieck dann die Hypotenuse, also die längste Seite, dar.

Sagt Dir die Hypotenuse in einem Dreieck noch etwas? Wenn Du Dein Wissen darüber auffrischen möchtest, dann schau gerne in dem Artikel Hypotenuse vorbei!

Und was bringt dieses rechtwinklige Dreieck? Und wie sieht das genau aus? Das erfährst Du in dem folgenden Abschnitt.

Abstandsformel – Herleitung

Die angefügten Seiten stellen dann die sogenannten Katheten dar. Katheten sind in einem rechtwinkligen Dreieck die zwei kürzeren Seiten. Die Hypotenuse (hier: die Strecke $A B$ ) ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Die hinzugefügten Seiten haben dann jeweils eine Länge, die der Differenz der beiden x - Koordinaten und der beiden y - Koordinaten entspricht. Das heißt, die Länge der Kathete, die parallel zur x - Achse liegt (horizontal) wird folgendermaßen berechnet:

$x_{2} - x_{1}$

Die Kathete, die parallel zur y - Achse liegt (vertikal) berechnest Du mit der Differenz der y - Koordinaten:

$y_{2} - y_{1}$

So sieht dann das rechtwinklige Dreieck aus. Wie Du siehst wurden der Strecke $d = A B$ zwei weitere Strecken angefügt. Die beiden Strecken sind die Katheten.

Abstand zweier Punkte Herleitung Pythagoras StudySmarter Abbildung 5: rechtwinkliges Dreieck

Wie Du siehst stehen die zwei hinzugefügten Katheten senkrecht aufeinander. Stehen zwei Strecken senkrecht aufeinander, so beträgt der Winkel zwischen ihnen $90 °$ . Du hast also ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen. Und erinnert Dich dieser Begriff an etwas? Genau, an den Satz des Pythagoras!

In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b gilt der Satz des Pythagoras. Die Formel sieht so aus:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Und was bedeutet das jetzt für Dein Dreieck?

Du weißt, dass die Strecke d die Hypotenuse darstellt. Das heißt, du kannst d für c in den Satz des Pythagoras einsetzen.

$d^{2} = a^{2} + b^{2}$

Die zwei orangenen Strecken sind die Katheten. Also setzt Du die Werte für a und b in die Formel für den Satz des Pythagoras ein:

$d^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}$

Wie Du siehst haben alle Elemente der Gleichung den Exponent ². Was machst Du um diesen Exponent wegzubekommen? Du ziehst die Quadratwurzel!

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Wie sieht diese Herleitung im Raum aus? Das kannst Du Dir in der Vertiefung anschauen!

Die Herleitung im Raum sieht etwas anders aus, als die in der Ebene. Dafür erstellt Du ein Quader.

Abstand zweier Punkte Abstand zweier Punkte im Raum StudySmarter Abbildung 6: Herleitung Abstandsformel

Die Katheten der Dreiecke stellen die jeweilige Differenz der x - Koordinaten, y- Koordinaten und z - Koordinaten dar. Die Strecke d stellt den Abstand zwischen $P_{1}$ und $P_{2}$ dar. Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Mithilfe vom Satz des Pythagoras kannst Du die Länge der Strecke d berechnen.

Dafür schaust Du in das erste Dreieck, in dem die Strecke d die Hypotenuse darstellt und stellst die erste Gleichung auf:

$d^{2} = e^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}$

Um jetzt die Variable e in der Gleichung zu definieren, betrachtest Du das zweite rechtwinklige Dreieck, das auf der x - Ebene liegt. In diesem Dreieck ist die Strecke e die Hypotenuse. Auch hier wendest Du den Satz des Pythagoras an:

$e^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}$

Diese Gleichung für e kannst Du dann in die erste Gleichung einsetzen:

$d^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}$

Um den Exponent ² zu eliminieren, ziehst Du jetzt die Wurzel:

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Das sind die Herleitungen für die Abstandsformel in der Ebene und im Raum.

Möchtest Du Dir andere Abstandsformeln anschauen? Dann schau gerne in die Artikel Abstand Punkt Gerade und Abstand Gerade Gerade!

Im nächsten Abschnitt kannst Du Dir die allgemeine Abstandsformel anschauen!

Abstand zweier Punkte – Formel

Die Herleitung der Abstandsformel zweier Punkte hast Du jetzt gesehen. Die Formel kannst Du für jede Abstandsbestimmung zwischen zwei Punkten verwenden. Das geht sowohl in der Ebene, als auch im Raum.

Liegen zwei Punkte $P_{1} (x_{1} | y_{1})$ und $P_{2} (x_{2} | y_{2})$ in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, ist die Formel zur Berechnung des Abstands zwischen den zwei Punkten:

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(x_{2} - y_{2})}^{2}}$

Im Raum sieht die Formel zur Abstandsbestimmung zweier Punkte garnicht groß anders aus. Im dreidimensionalen Koordinatensystem hast Du noch eine dritte Koordinate bei den Punkten vorliegen, nämlich die z - Koordinate.

Liegen zwei Punkte $P_{1} (x_{1} | y_{1} | z_{1})$ und $P_{2} (x_{2} | y_{2} | z_{2})$ in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem, ist die Formel zur Berechnung des Abstands der zwei Punkte:

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Und wie sieht das Ganze in der Anwendung aus? Das erfährst Du im folgenden Artikel!

Abstand zweier Punkte berechnen

Die Anwendung von Formeln lassen sich am besten anhand von Beispielen zeigen. Bis jetzt hast Du nur die allgemeine Abstandsformel gesehen. Werden die Koordinaten der Punkte mit Zahlenwerten versehen, kannst Du sie in die Formel einsetzen. Hier findest Du sowohl Beispiele für die Ebene als auch für den Raum.

Abstand zweier Punkte in der Ebene

Dafür kannst Du Dir das Beispiel von Ole und Felix nochmal anschauen. Um den Abstand zwischen den Beiden zu berechnen, brauchst Du die Koordinaten ihrer Positionen auf dem Feld. Das hat Ole schon übernommen. Er trägt die Position der Beiden in ein Koordinatensystem ein.

Abstand zweier Punkte Mathe Abstand zweier Punkte StudySmarter Abbildung 7: Abstand Felix und Ole

Aufgabe 1

Berechne die Distanz d zwischen Felix und Ole.

Lösung

Du hast die beiden Koordinaten der Punkte, an denen Ole und Felix beim Ball passen stehen. Diese Koordinaten kannst Du in die in der Definition gegebene Formel einsetzen. Die Koordinate x₂ entspricht dabei der x - Koordinate von Ole. Die Koordinate x₁ entspricht der x - Koordinate von Felix Position. Bei den y - Koordinaten ist es genau so; die Koordinate y₂ entspricht der y - Koordinate von Ole's Standpunkt und die Koordinate y₁ entspricht der y - Koordinate von Felix Position:

$d = \sqrt{{(9 - 2)}^{2} + {(3 - 1)}^{2}}$

Um die Distanz zu berechnen, löst Du jetzt die Gleichung.

$\begin{array}{rcl} d & = & \sqrt{{(7)}^{2} + {(2)}^{2}} \\ d & = & \sqrt{49 + 4} \\ d & = & \sqrt{53} \end{array}$

Die Wurzel aus 53 kannst Du dann mithilfe des Taschenrechners berechnen:

$d \approx 7, 28$

Weil die Jungs in Einheiten rechnen, entspricht die Distanz zwischen den Beiden $7, 28$ Einheiten.

Mithilfe der Abstandsformel konnten Felix und Ole den Abstand zwischen ihnen beim Kicken herausfinden. Du kannst die Formel ebenfalls immer benutzen, wenn Du den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem herausfinden möchtest.

Abstand zweier Punkte im Raum

Auch für die Abstandsberechnung zweier Punkte im Raum kannst Du Dir das folgende Beispiel anschauen!

Abstand zweier Punkte Abstand zweier Punkte im Raum StudySmarter Abbildung 8: Abstand Etappe 1 und Tal

Aufgabe 2

Du bist im Skiurlaub. Bei der Abfahrt von der ersten Etappe $B (75 | 80 | 140)$ zum Tal $T (20 | 40 | 0)$ fragst Du Dich, wie weit die beiden Punkte eigentlich voneinander entfernt sind. Dafür zeichnest Du die Koordinaten der ersten Etappe B und des Tals T in ein Koordinatensystem ein. Berechne die Distanz d der beiden Punkte (in Einheiten).

Lösung

Wie im zweidimensionalen Koordinatensystem, hast du die x - Koordinaten und die y - Koordinaten gegeben. Hier hast Du jedoch dazu noch die Höhe des Bergs ( $140$ Einheiten) und des Tals ( $0$ Einheiten) gegeben. Diese Werte entsprechen den z - Koordinaten. Die Zahlenwerte für die Koordinaten kannst Du in die gegebene Abstandsformel für den Raum einsetzen.

$\begin{array}{rcl} d & = & \sqrt{{(75 - 20)}^{2} + {(80 - 40)}^{2} + (140 - 0)} \\ d & = & \sqrt{{(55)}^{2} + {(40)}^{2} + {(140)}^{2}} \\ d & = & \sqrt{3025 + 1600 + 19600} \\ d & = & \sqrt{24225} \\ d & \approx & 155, 64 \end{array}$

Die erste Etappe liegt auf einer Höhe von $140$ Einheiten. Die Abfahrt von der ersten Etappe ins Tal ist $155, 64$ Einheiten lang. Das heißt die Distanz zwischen dem Punkt B und dem Punkt T beträgt $155, 64$ Einheiten.

Auch im Raum kannst Du die Abstandsformel benutzen, um die Entfernung zweier Punkte zu berechnen. Im Raum gibt es jedoch auch Vektoren. Funktioniert das Berechnen des Abstands zweier Punkte auch mit Vektoren?

Abstand zweier Punkte – Vektoren

Hast du zwei Punkte in einem dreidimensionalen Raum gegeben, kannst Du den Verbindungsvektor zwischen den beiden Punkten aufstellen und die Koordinaten des Verbindungsvektors quadrieren.

Aufgabe 3

Gegeben sind die Punkte $Q (2 | - 5 | 7)$ und $W (4 | 9 | - 6)$ . Berechne den Abstand d der zwei Punkte Q und W.

Lösung

Berechne den Verbindungsvektor zwischen Q und W:

$\vec{Q W} = (\begin{matrix} 2 - 4 \\ - 5 - 9 \\ 7 - (- 6) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 14 \\ 13 \end{matrix})$

Diese Werte kannst Du jetzt in die Formel einsetzen und den Abstand d berechnen.

$d = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 14)}^{2} + {(13)}^{2}} d = \sqrt{4 + 196 + 169} d = \sqrt{369} d \approx 19, 2$

Der Abstand der zwei Punkte Q und W beträgt $19, 2$ Einheiten.

Wie Du siehst ist es prinzipiell die gleiche Vorgehensweise, nur dass Du die Differenz der Koordinaten mithilfe des Verbindungsvektors berechnest und sie dann quadrierst.

Abstand zweier Punkte – Aufgaben

Wie Du den Abstand zweier Punkte berechnest, hast Du in diesem Artikel erfahren. Jetzt kannst Du Dein Können beweisen!

Aufgabe 4

Abstand zweier Punkte Abstand zweier Punkte Aufgaben StudySmarter Abbildung 9: Abstand zweier Punkte

Du befindest Dich an dem Startpunkt $S (3 | 1)$ . Das Ziel liegt bei dem Punkt $Z (16 | 8)$ . Berechne die Länge des direkten Weg d.

Lösung

Die Länge des direkten Weg d entspricht dem Abstand der beiden Punkte S und Z:

$d = \sqrt{{(16 - 3)}^{2} + {(8 - 1)}^{2}} d = \sqrt{{(13)}^{2} + {(7)}^{2}} d = \sqrt{169 + 49} d = \sqrt{218} d \approx 14, 76$

Die Länge des Wegs d beträgt $14, 76$ Einheiten.

Aufgabe 5

Gegeben ist ein Punkt $E (- 6 | - 2 | 9)$ und $R (0 | 13 | - 5)$ . Berechne den Abstand d zwischen den beiden Punkten und zeichne sie in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

Lösung

Abstand zweier Punkte Abstand zweier Punkte Aufgaben StudySmarter Abbildung 10: Abstand zweier Punkte im Raum

Um den Abstand d zu berechnen, setzt Du die Koordinatenwerte der beiden Punkte in die Formel ein:

$d = \sqrt{{(- 6 - 0)}^{2} + {(- 2 - 13)}^{2} + (9 - {(- 5))}^{2}} d = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 15)}^{2} + {(14)}^{2}} d = \sqrt{36 + 225 + 196} d = \sqrt{457} d \approx 21, 38$

Der Abstand zwischen Punkt E und R beträgt $21, 38$ Einheiten.

Abstand zweier Punkte - Das Wichtigste

Der geringste Abstand zwischen zwei Punkten ist eine Strecke
Der Abstand wird als d bezeichnet (englisch: distance)
Den Abstand zweier Punkte kann bei diagonalen Strecken nicht direkt abgelesen werden, dafür wird eine Formel benötigt
Bei der Herleitung der Abstandsformel wird der Satz des Pythagoras benötigt
Die Abstandsformel in der Ebene sieht folgendermaßen aus: $d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$
Die Abstandsformel im Raum sieht so aus: $d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Nachweise

K. + R. Gieck (1989). Technische Formelsammlung. Gieck Verlag.
Ute Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Abstand zweier Punkte

Wie wird der Abstand zweier Punkte berechnet?

Der Abstand zweier Punkte wird mit der Abstandsformel berechnet. Die Abstandsformel kann mit dem Satz des Pythagoras hergeleitet werden.

Wie wird der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten genannt?

Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten entspricht einer Strecke. Diese Strecke wird meistens d genannt (englisch: distance).

Was ist der minimale Abstand zwischen zwei Punkten?

Der minimale Abstand zweier Punkte ist die kürzeste Strecke, die sie verbindet. Das ist eine gerade Strecke, die meistens d für distance genannt wird.

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