Abstandsberechnung

Aufgabe 1

Du läufst auf direktem Weg zu dem Haus eines Freundes. Anschließend möchtest Du wissen, wie viel Du gelaufen bist. Wenn Du diesen Sachverhalt nun in einem dreidimensionalen Koordinatensystem nachvollziehst, erhält das Haus deines Freundes die Koordinaten \(P_1(4|2|-3)\). Dein Haus hat die Koordinaten \(P_2(-1|6|2)\). Berechne den Abstand zwischen den Häusern.

Lösung

Du setzt die Punkte in die Formel ein und berechnest den Abstand.

\begin{align}d&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \\d&=\sqrt{(-1-4)^2+(6-2)^2+(2-(-3))^2} \\d&=\sqrt{(-5)^2+4^2+5^2} \\d&=\sqrt {25+16+25} \\d&=\sqrt{66}\,[LE]\approx 8,124\,[LE]\end{align}

Der Abstand zwischen den Häusern beträgt rund 8,124 [LE].

Aufgabe 2

Berechne den Abstand der Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\) zum Punkt \(P(-2|4|2)\).

Lösung

Zuerst setzt Du alle Dir gegeben Werte in die Formel ein. Beachte, dass Du Vektoren an der richtigen Stelle einsetzt.

\begin {align}d&=\frac{|(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}|}{|\vec{b}|} \\ \\d&=\frac{\left|\left(\left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 4\end{array}\right)\right) \times\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|} \\ \\d&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|}\end{align}

Jetzt musst Du das Kreuzprodukt berechnen.

\begin{align}(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}&= \left(\begin{array}{c}6⋅(-5)&-&(-2)⋅(-3)\\ -2⋅2&-&3⋅(-5) \\ 3⋅(-3)&-&6⋅2\end{array}\right) \\(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}&= \left(\begin{array}{c} -36 \\ 11 \\ -21\end{array}\right)\end{align}

Nun setzt Du das Kreuzprodukt ein und berechnest den Abstand.\begin{align}d&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c} -36 \\ 11 \\ -21\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|} \\ \\d&= \frac{\sqrt{(-36)^2+11^2+(-21)^2}}{\sqrt {2^2+(-3)^2+(-5)^2}} \\d&=\frac{\sqrt {1296+121+441}}{\sqrt{4+9+25}}\\d&=\frac{\sqrt{1858}}{\sqrt{38}}\,[LE]\approx6,992 \,[LE]\end{align}

Der Abstand des Punktes P zur Geraden g beträgt rund 6,992 [LE]

Aufgabe 3

Berechne den Abstand des Punktes \(P(4|-3|5)\) zur Ebene \(E:-3x-2y+5z=1\).

Lösung

Zunächst schreibst Du die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.

\begin{align}0&=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\0&=\frac{|-3x-2y+5z-1|}{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+5^2}} \\0&=\frac{|-3x-2y+5z-1|}{\sqrt{38}}\end {align}

Danach setzt Du den Punkt P ein und berechnest den Abstand.\begin{align}d&=\frac{|-3\cdot4-2\cdot(-3)+5\cdot5-1|}{\sqrt{38}} \\d&=\frac{|-12+6+25-1|}{\sqrt{38}} \\d&=\frac{18}{\sqrt{38}}\,[LE]\approx 2,92 \, [LE]\end{align}

Der Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebenen E beträgt rund 2,92 [LE]

Aufgabe 4

Berechne den Abstand der windschiefen Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -3\end{array}\right)\) und \(h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 1\end{array}\right)\).

Lösung

Zu Beginn berechnest Du das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Geraden g und h.

\begin{align}\vec{n}&= \left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -3\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 1\end{array}\right) \\\\\vec {n}&=\left(\begin{array}{c} 2\cdot1&-&(-3)\cdot6 \\ -3\cdot4&-&(-5)\cdot1 \\ -5\cdot6 &-&2\cdot4 \end{array}\right) \\\\\vec{n}&=\left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\end{align}

Danach setzt Du alle Werte in die Formel ein und berechnest den Abstand.

\begin{align}d&=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \\\\d&=\frac{\left|\left( \left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 1\end{array}\right)\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\right|} \\\\d&=\frac{\left| \left(\begin{array}{c} -9 \\ -4 \\ -4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\right|}{\sqrt {20^2+(-7)^2+(-38)^2}} \\ \\d&=\frac{\left| \left(\begin{array}{c} -180 \\ 28 \\ 152\end{array}\right)\right|}{\sqrt {400+49+1444}} \\\\d&=\frac{\sqrt{180^2+28^2+152^2}}{\sqrt{1893}} \\d&=\frac{\sqrt{56288}}{\sqrt{1893}}\,[LE]\approx5,453\,[LE]\end{align}

Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt rund 5,453 [LE].

Aufgabe 5

Berechne den Abstand der parallelen Ebenen \(E_1:\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)\) und \(E_2:-4x-2y+2z=8\).

Lösung

Wähle zunächst einen beliebigen Punkt P aus der Ebene E₁. Der Stützvektor der Ebene eignet sich dafür.

\[P(3|1|-4)\]

Anschließend stellst Du durch den Punkt P die Lotgerade l auf. Der Richtungsvektor der Lotgerade l ist der Normalenvektor der Ebene E₂.

\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right)\]

Nun setzt Du die Lotgerade l in die Ebene E₂ ein, um den Schnittpunkt S der Ebene mit der Lotgerade zu ermitteln.

\begin{align}-4x-2y+2z&=8 \\-4\cdot (3-4\lambda)-2\cdot(1-2\lambda)+2\cdot(-4+2\lambda)&=8 \\-12+16\lambda -2+4\lambda -8+4\lambda&=8 \\-22+24\lambda&=8&|&+22\\ 24\lambda&=30 &|&:24 \\\lambda&=1,25\end{align}

Jetzt setzt Du das eben errechnete \(\lambda\) in die Lotgerade l ein und berechnest den Punkt S.

\begin{align}l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+ 1,25 \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2\\ -1,5 \\ -1,5\end{array}\right) \rightarrow S(-2|-1,5|-1,5)\end{align}

Zum Schluss berechnest Du den Abstand der Punkte P und S.

\begin{align}d&=\sqrt{(x_S-x_P)^2+(y_S-y_P)^2+(z_S-z_P)^2} \\d&=\sqrt{(-2-3)^2+(-1,5-1)^2+(-1,5-(-4))^2} \\d&=\sqrt{(-5)^2+(-2,5)^2+2,5^2} \\d&= \sqrt {25+6,25+6,25} \\d&=\sqrt{37,5} \\d&=\frac{5\sqrt{6}}{2}\,[LE]\approx6,124\,[LE]\end{align}

Der Abstand der beiden Ebenen beträgt rund 6,124 [LE].

Aufgabe 6

Berechne den Abstand der Ebenen \(E:-5y+z=5\) zur parallelen Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\).

Lösung

Wähle zunächst einen Punkt P aus der Geraden g. Du kannst den Stützvektor der Geradengleichung als Punkt P nutzen.

\[P(3|1|4)\]

Jetzt stelle die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.\begin{align}\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0 \\\frac{-5y+z-5}{\sqrt{(-5)^2+1^2}}=0 \\\frac{-5y+z-5}{\sqrt{26}}=0\end{align}

Anschließend setzt Du den Punkt P ein und berechnest den Abstand.

\begin{align}d&= \frac{|-5y+z-5|}{\sqrt{26}} \\d&= \frac{|-5\cdot1+4-5|}{\sqrt{26}} \\d&=\frac{|-6|}{\sqrt{26}} \\d&=\frac{6}{\sqrt{26}}\,[LE]\approx1,177\,[LE]\end{align}

Der Abstand zwischen der Geraden g und der Ebenen E beträgt rund 1,177 [LE].

Aufgabe 7

Berechne mithilfe des Lotfußpunktverfahrens den Abstand zwischen der Ebene \(E:3x+y-4z=2\) und der parallelen Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -4 \\ 2\end{array}\right)\).

Lösung

Als Erstes wählst Du einen Punkt aus der Geraden g. Du kannst den Stützvektor der Geradengleichung verwenden.

\[P(2|-6|4)\]

Als Nächstes stellst Du die Lotgerade durch den Punkt P auf. Der Richtungsvektor ist der Normalenvektor der Ebene.

\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)\]

Jetzt setzt Du die Lotgerade l in die Ebenengleichung ein um den Schnittpunkt der Lotgeraden l mit der Ebene E zu erhalten. Zuerst berechnest Du \(\lambda\).

\begin{align}3x+y-4z&=2 \\3\cdot(2+3\lambda)-6+\lambda-4\cdot(4-4\lambda)&=2 \\6+9\lambda-6+\lambda-16+16\lambda&=2 \\-16+26\lambda&=2 &|&+16 \\26\lambda&=18 &|&:26 \\\lambda&=\frac{9}{13}\end{align}

Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Lotgerade ein und berechnest den Punkt S.

\begin{align}l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \frac{9}{13} \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} \frac{53}{13} \\ -\frac{69}{13} \\ \frac{16}{13} \end{array}\right) \rightarrow S\left(\begin{array}{c} \frac{53}{13} | -\frac{69}{13} | \frac{16}{13} \end{array}\right)\end{align}

Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den beiden Punkten P und S.

\begin{align}d&=\sqrt{(x_S-x_P)^2+(y_S-y_P)^2+(z_S-z_P)^2} \\d&=\sqrt{\left(\frac{53}{13}-2\right)^2+\left(-\frac{69}{13}+6\right)^2+\left(\frac{16}{13}-4\right)^2} \\d&=\sqrt{\left(\frac{27}{13}\right)^2+\left(\frac{9}{13}\right)^2+\left(-\frac{36}{13}\right)^2} \\ d&=\sqrt{\frac{729}{169}+\frac{81}{169}+\frac{1296}{169}}= \sqrt{\frac{162}{13}}\\d&=\frac{9\sqrt{26}}{13}\,[LE]\approx3,53\,[LE]\end{align}

Der Abstand zwischen der Ebene und der Geraden beträgt rund 3,53 [LE].