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Figuren und Funktionen, die durch eine Spiegelung an einer Achse wieder auf sich selbst abgebildet werden, nennt man zu dieser Achse achsensymmetrisch. Wie Du Achsensymmetrie bei Figuren und Funktionen prüfst, erfährst Du hier anhand einiger Beispiele.
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Team Achsensymmetrie Lehrer
Achsensymmetrie beschreibt die Eigenschaft, dass eine Figur oder eine Funktion durch Spiegelung an einer sogenannten Symmetrieachse identisch auf sich selbst abgebildet werden kann.
Wenn Dich auch die Definition von Punktsymmetrie interessiert, dann klicke hier auf die Erklärung zu „Punktsymmetrie“
Wenn eine Figur eine Symmetrieachse besitzt, kannst Du die Figur an der Symmetrieachse entlang „falten“ und die Eckpunkte liegen übereinander. Manche Figuren besitzen auch mehrere Symmetrieachsen.
Damit eine Figur achsensymmetrisch ist, muss sie einige Bedingungen erfüllen.
Eine Funktion \(f(x)\) ist achsensymmetrisch, wenn die Funktion durch eine Spiegelung an der y-Achse, wieder \(f(x)\) ergibt. Mathematisch ist das der Fall, wenn gilt \[f(-x) = f(x)\]
Jedes Polynom, das ausschließlich gerade Exponenten enthält, ist automatisch achsensymmetrisch.
| Funktion | Beweis | Symmetrieachse |
| Funktion \(2.\) Grades\[f(x)=x^2\] | \[\begin{align}f(-x) &= (-x)^2 \\&= x^2\\&=f(x)\end{align}\] |
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| Funktion \(4.\) Grades\[f(x)=x^4\] | \[\begin{align}f(-x) &= (-x)^4 \\&= x^4\\&=f(x)\end{align}\] |
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| Funktion \(6.\) Grades\[f(x)=2x^6-2x^2\] | \[\begin{align}f(-x) &= 2(-x)^6-2(-x)^2 \\&= 2x^4-2x^2 \\&=f(x)\end{align}\] |
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Achsensymmetrie kommt in Funktionen und Figuren vor, aber auch in alltäglichen Dingen, wie dem StudySmarter Logo.
Abb - 4: StudySmarter Logo achsensymmetrisch
Im Folgenden findest Du eine Auflistung typischer mathematischer Figuren und ihrer Symmetrieachsen.
| Figuren | Symmetrieachsen |
| Quadrat | Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen.
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| Rechteck | Das Rechteck hat zwei Symmetrieachsen.
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| gleichschenkliges Trapez | Das gleichschenklige Trapez hat eine Symmetrieachse.
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| gleichschenkliges Dreieck | Das gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse.
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| Kreis | Der Kreis hat unendlich viel Symmetrieachsen. Alle Geraden, welche durch den Kreismittelpunkt gehen, sind Symmetrieachsen des Kreises.
|
Die Achsensymmetrie einer Funktion kann anhand einer Formel nachgewiesen werden. Die Formel lautet \(f(-x)=f(x)\). Wenn Du also vor jeden \(x\)-Wert ein Minus setzt und durch die Berechnung die Ausgangsfunktion rauskommt, dann ist die Funktion achsensymmetrisch.
Weise rechnerisch nach, dass die Funktion \(f(x)=2x^6-x^2\) achsensymmetrisch ist.
Lösung
Um rechnerisch nachzuweisen, dass eine Funktion achsensymmetrisch ist, setzt du in die Funktion \(-x\) ein.
\begin{align} f(-x)&=2\cdot (-x)^6-(-x)^2 \\[0.2cm] &=2\cdot (-x \cdot -x \cdot -x \cdot -x \cdot -x \cdot -x)^6 - (-x\cdot -x)^2 \\[0.2cm] &=2x^6-x^2 \end{align}
Hier siehst Du, dass die Aussage \(f(-x)=f(x)\) zutrifft und die Funktion f(x) ist achsensymmetrisch.
Nachdem Du nun vieles über Achsensymmetrie erfahren hast, kannst Du hier noch Dein Wissen anhand einiger Aufgaben mit Lösungen testen.
Zeichne in das regelmäßige Fünfeck alle möglichen Symmetrieachsen ein.
Lösung
Das regelmäßige Fünfeck hat \(5\) Symmetrieachsen. Die Symmetrieachsen sind die Mittelsenkrechten der Seiten und gleichzeitig die Winkelhalbierenden der Ecken.
Abb - 10: Regelmäßiges Fünfeck mit Symmetrieachsen
Weise rechnerisch nach, ob die Funktion \(f(x)=3x^4+x^2\) achsensymmetrisch ist.
Lösung
Um rechnerisch nachzuweisen, dass eine Funktion achsensymmetrisch ist, setzt du in die Funktion \(-x\) ein.
\begin{align} f(-x)&=3(-x)^4+(-x)^2\\[0.2cm] &=3 \cdot (-x \cdot -x \cdot -x \cdot -x)^4+ (-x \cdot -x)^2 \\[0.2cm] &= 3x^4+x^2\end{align}
Hier siehst Du, dass die Aussage \(f(-x)=f(x)\) zutrifft und die Funktion f(x) ist achsensymmetrisch.
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Was bedeutet Achsensymmetrie?
Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie sich an der Symmetrieachse (Spiegelachse) spiegeln lässt. Die Hälften der Figur oder Funktion sind deckungsgleich.
Welche Figuren sind Achsensymmetrisch?
Viele der geometrischen Figuren sind symmetrisch. Alle der folgenden Figuren symmetrisch: Quadrat, Rechteck, gleichschenkliges Trapez, symmetrischer Drachen, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck und der Kreis.
Wie kann man Achsensymmetrie nachweisen?
Bei Figuren kannst Du Achsensymmetrie nachweisen, indem Du die Figur entlang der Symmetrieachse faltest. Wenn alle Ecken auf einer anderen Ecke liegen ist die Figur achsensymmetrisch.
Was ist der Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie?
Bei der Achsensymmetrie spiegelst Du an einer Spiegelachse. Bei der Punktsymmetrie spiegelst oder drehst Du die Figur an einem Punkt. Dieser Punkt kann innerhalb und außerhalb der Figur liegen.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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