Ankreise Dreieck: Erklärung, Beweis & Konstruieren

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Ankreise Dreieck – Grundlagenwissen

Um die Ankreise eines Dreiecks zu berechnen und zu konstruieren, benötigst Du allgemeines Wissen über zwei wichtige Figuren der Geometrie: den Kreis und das Dreieck.

Mehr zu diesen geometrischen Figuren erfährst Du in den Erklärungen „Dreieck“ und „Kreis“.

Aus Deinem Alltag und der Mathematik kennst Du die verschiedensten Dreiecke und ihren jeweiligen Eigenschaften. Für sie gilt im Allgemeinen jedoch dasselbe.

Das Dreieck ABC ist eine geometrische Figur, bei welcher drei Punkte verbunden werden. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen. Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten heißen Dreiecksseiten a, b und c.

Ankreise Dreieck Definition Dreieck StudySmarter Abbildung 1: Definition Dreieck

Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.

Eckige und runde Dinge definieren die Gegenstände Deines Alltags.

Runde Dinge sind häufig kreisförmig. Diese findest Du unzählig in Deinem Alltag und auch diese unterschiedlichen Kreise haben im Allgemeinen Eigenschaften, die allen Kreisen zuzuschreiben sind.

Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.

Ankreise Dreieck Definition Kreis StudySmarter Abbildung 2: Definition Kreis

Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.

Ankreise Dreieck – Erklärung und Definition

Der Ankreis ist ein Kreis, welcher das Dreieck von außen in einer Seite berührt.

Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis A, welcher außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet. Ein Dreieck besitzt 3 Ankreise.

Der Mittelpunkt M des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkel.

Die Winkelhalbierenden teilen einen Winkel in zwei gleich große Winkel und haben zu jedem Punkt auf den beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand.

Mehr zu den Winkelhalbierenden erfährst Du in der Erklärung „Winkelhalbierende“.

Der Ankreis A an der Seite a des Dreiecks hat seinen Mittelpunkt M im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden $w_{α}$ , $w_{β'}$ und $w_{γ'}$ . Dieser Ankreis ist ein Ankreis von drei möglichen Ankreises des Dreiecks. Die Seiten des Dreiecks verlängerst Du einerseits, um die Außenwinkelhalbierende zu konstruieren. Andererseits verlängerst Du sie, um auch an den Verlängerungen die Berührpunkte zu konstruieren.

Ankreise Dreieck Ankreis Dreieck StudySmarter Abbildung 3: Ankreis Dreieck

Zeichnest du alle drei Ankreise mit den zugehörigen Winkelhalbierenden ein ergibt sich Folgendes.

Um alle drei Ankreise an ein Dreieck zu zeichnen, benötigst Du sechs Winkelhalbierende. Dabei sind drei Außenwinkelhalbierende.

Ankreise Dreieck Ankreise Dreieck StudySmarter Abbildung 4: Ankreise Dreieck

Die drei Außenwinkelhalbierenden bilden ein neues Dreieck mit den Ankreismittelpunkten als Eckpunkte. Dieses Dreieck hat den Inkreismittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks als Höhenschnittpunkt, wobei die Innenwinkelhalbierenden die Höhen des neuen Dreiecks sind.

Ankreise Dreieck Ankreismittelpunktdreieck StudySmarter Abbildung 5: Ankreismittelpunktdreieck

Ankreise Dreieck Beweis

Für die Ankreise eines Dreiecks gilt:

$\bar{A Y_{1}} = \bar{A Y_{3}} \bar{B X_{1}} = \bar{B X_{3}} \bar{C Z_{1}} = \bar{C Z_{3}}$

Dabei sind A, B und C die Ecken des Dreiecks und X, Y und Z die Berührpunkte der Ankreise mit den Dreiecksseiten und deren Verlängerungen.

Genauer gesagt sind diese Strecken genau s lang. Bewiesen werden muss nun, dass 2s der Umfang des Dreiecks ist. Der Umfang eines Dreiecks berechnet sich mit

$U = a + b + c$

Ankreise Dreieck Ankreise Dreieck Beweis StudySmarter Abbildung 6: Ankreise Dreieck Beweis

Der Ausgangspunkt ist, dass

$\bar{A Y_{1}} = \bar{A Y_{3}} = s$

seien soll.

Außerdem gilt

$\bar{B Y_{2}} = \bar{B Y_{3}}$ und $\bar{C Y_{1}} = \bar{C Y_{2}}$ .

Dies gilt, weil eine Winkelhalbierende immer den gleichen Abstand zu beiden Schenkeln des Winkels hat.

Daraus kann abgeleitet werden, dass

$\bar{A Y_{1}} + \bar{A Y_{3}} = (c + \bar{B Y_{3}}) + (b + \bar{C Y_{1}})$

gilt.

Es gilt des Weiteren

$\bar{A Y_{1}} + \bar{A Y_{3}} = 2 s$ .

Daraus kann geschlussfolgert werden, dass

$\bar{A Y_{1}} + \bar{A Y_{3}} = c + B Y_{2} + b + C Y_{2}$

ist. Außerdem ist

$\bar{B Y_{2}} + \bar{C Y_{2}} = a$ .

Dies bedeutet, dass

$\bar{A Y_{1}} + \bar{A Y_{3}} = a + b + c$

ist und somit für das Dreieck

$a + b + c = 2 s$

gilt.

Analog lässt sich dieser Beweis auch für die Strecken $\bar{B X_{1}} = \bar{B X_{3}}$ und $\bar{C Z_{1}} = \bar{C Z_{3}}$ durchführen.

Ankreise Dreieck Ankreise Dreieck Beweis StudySmarter Abbildung 7: Ankreise Dreieck Beweis

Nagel-Punkt

Wenn Du die Berührpunkte der Ankreise der Dreieckseiten mit den gegenüberliegenden Ecken verbindest, schneiden sich die Geraden in einem Punkt. Dieser Schnittpunkt heißt Nagel-Punkt.

Ankreise Dreieck Nagel-Punkt StudySmarter Abbildung 8: Nagel-Punkt

Ankreise Dreieck berechnen

Den Radius eines Kreises kannst Du auf dem Papier messen. Dafür musst Du vorher das Dreieck und den Ankreis konstruiert haben. Eine andere Methode ist das Berechnen des Radius.

Den Ankreisradius kannst Du mit der folgenden Formel berechnen:

$r_{a} = \frac{2 \cdot A_{△}}{b + c - a}$

Dabei berührt der Ankreis die Seite a.

Die Formel lässt sich für die anderen Ankreise anpassen.

$r_{b} = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + c - b}$

Dabei berührt der Ankreis die Seite b.

$r_{c} = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + b - c}$

Dabei berührt der Ankreis die Seite c.

In allen Formeln ist $A_{△}$ der Flächeninhalt des Dreiecks und a, b und c die Seiten des Dreiecks.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich mit $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ , wobei g die Grundseite und h die Höhe des Dreiecks ist.

Du musst Dir nicht alle drei Formeln merken. Es reicht, wenn Du Dir eine merkst und weißt, wie Du sie ändern musst, um sie für die anderen Kreisradien zu nutzen. Die Seite, an welcher der Ankreis liegt, subtrahierst Du immer von der Summe der beiden anderen Seiten.

Aufgabe 1

Berechne alle Ankreisradien des Dreiecks $a = 4 c m$ , $b = 3 c m$ und $c = 6 c m$ . Die Höhe beträgt $h = 1, 78 c m$ .

Lösung

Als Erstes berechnest Du den Flächeninhalt des Dreiecks.

$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1, 78 A_{△} = 5, 34 c m^{2}$

Jetzt setzt Du für jeden Ankreis die Werte in die Formeln ein und berechnest diese.

$r_{a} = \frac{2 \cdot A_{△}}{b + c - a} r_{a} = \frac{2 \cdot 5, 34}{3 + 6 - 4} r_{a} = 2, 136 c m$

Der Ankreis an der Seite a hat einen Radius von 2,136 cm.

$r_{b} = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + c - b} r_{b} = \frac{2 \cdot 5, 34}{4 + 6 - 3} r_{b} = 1, 526 c m$

Der Ankreis an der Seite b hat einen Radius von 1,526 cm.

$r_{a} = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + b - c} r_{a} = \frac{2 \cdot 5, 34}{4 + 3 - 6} r_{a} = 10, 68 c m$

Der Ankreis an der Seite c hat einen Radius von 10,68 cm.

Ankreise Dreieck konstruieren

Alle drei Ankreise lassen sich auf dieselbe Art und Weise konstruieren.

Zur Konstruktion der Ankreise eines Dreiecks benötigst Du einen Zirkel und ein Lineal oder Geodreieck.

Beschreibung	Konstruktionsschritte
Zuerst benötigst Du ein Dreieck. Wenn Du keins vorgegeben hast, dann zeichne Dir ein beliebiges Dreieck und beschrifte es. Dann verlängere Dir die Dreiecksseiten so weit wie möglich.	Abbildung 8: Ankreise Dreieck konstruieren
1. SchrittKonstruiere als Nächstes die Winkelhalbierende von dem Winkel, der der Seite, an der Du den Ankreis konstruierst, gegenüberliegt. Wie Du eine Winkelhalbierende konstruierst, erfährst Du in der Erklärung „Winkelhalbierende konstruieren“.	Abbildung 9: Ankreise Dreieck konstruieren
2. SchrittDanach konstruiere die beiden Außenwinkelhalbierenden der anderen beiden Winkel.	Abbildung 10: Ankreise Dreieck konstruieren
3. SchrittJetzt bestimmst Du den Schnittpunkt M der Winkelhalbierenden mit den Außenwinkelhalbierenden.	Abbildung 11: Ankreise Dreieck konstruieren
4. SchrittFälle nun vom Schnittpunkt M ein Lot auf die Dreiecksseite.	Abbildung 12: Ankreise Dreieck konstruieren
5. SchrittDer Mittelpunkt des Ankreises A ist der Schnittpunkt M der Winkelhalbierenden mit der Außenwinkelhalbierenden. Der Radius des Ankreises ist der Abstand vom Ankreismittelpunkt und dem Schnittpunkt des Lotes mit der Dreiecksseite. Mit diesen Angaben kannst Du den Ankreis A konstruieren.	Abbildung 1: Ankreise Dreieck konstruieren

Ankreise Dreieck – Übungsaufgaben

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 2

Bestimmte den richtigen Ankreis für das Dreieck an der Seite c und begründe anschließend Deine Wahl.

Ankreise Dreieck Ankreise erkennen StudySmarter Abbildung 14: Ankreise erkennen

Lösung

Es handelt sich bei dem Kreis k₂ um den Ankreis von dem Dreieck an der Seite c. Er ist der einzige Kreis, welcher die Seite c und die beiden Seitenverlängerungen von a und b berührt. Der Kreis k₁ berührt zwar die Seite c, aber schneidet die beiden Seitenverlängerungen. Der Kreis k₃ berührt die Seite c, aber berührt oder schneidet die beiden Seitenverlängerungen nicht.

Aufgabe 3

Berechne die Ankreisradien der drei Ankreise des Dreiecks $a = 10 c m, b = 8, 54 c m$ und $c = 9 c m$ . Die Höhe des Dreiecks beträgt $h = 7, 2 c m$ .

Lösung

Als Erstes berechnest Du den Flächeninhalt.

Beachte, dass in diesem Dreieck die Seite a die längste Seite ist und somit die Grundseite.

$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7, 2 A_{△} = 36 c m^{2}$

Jetzt berechnest Du für jeden Ankreis den Radius. Setze dafür die Werte in die jeweilige Formel ein.

$r_{a} = \frac{2 \cdot A_{△}}{b + c - a} r_{a} = \frac{2 \cdot 36}{8, 54 + 9 - 10} r_{a} = 9, 55 c m$

Der Radius des Ankreises an der Seite a beträgt 9,55 cm.

$r_{b} = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + c - b} r_{b} = \frac{2 \cdot 36}{10 + 9 - 8, 54} r_{b} = 6, 88 c m$

Der Radius des Ankreises an der Seite b beträgt 6,88 cm.

$r_{c} = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + b - c} r_{c} = \frac{2 \cdot 36}{10 + 8, 54 - 9} r_{c} = 7, 55 c m$

Der Radius des Ankreises an der Seite c beträgt 7,55 cm.

Ankreise Dreieck – Das Wichtigste

Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis A, welcher außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet. Ein Dreieck besitzt 3 Ankreise. Der Mittelpunkt $M$ des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkel.
Den Radius eines Ankreises kannst Du mit den folgenden Formeln berechnen:
$r_{a} = \frac{2 \cdot A_{△}}{b + c - a}$ $r_{b} = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + c - b}$ $r_{c} = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + b - c}$
Dabei ist $r_{a}$ der Radius des Ankreises an der Seite a, $r_{b}$ der Radius des Ankreises an der Seite b und $r_{c}$ der Radius des Ankreises an der Seite c.
In allen Formeln ist $A_{△}$ der Flächeninhalt des Dreiecks und a, b und c die Seiten des Dreiecks.
Die Strecken von einem Eckpunkt zu den Berührpunkten des gegenüberliegenden Ankreises sind gleich dem Umfang des Dreiecks. Diese Strecken werden mit s bezeichnet. Es gilt:

$U = a + b + c = 2 s$

Konstruktionsschritte für die Ankreise:
1. Konstruiere die Winkelhalbierende von dem Winkel, der der Seite, an der Du den Ankreis konstruierst, gegenüberliegt.
2. Konstruiere die beiden Außenwinkelhalbierenden der anderen beiden Winkel.
3. Bestimme den Schnittpunkt M der beiden Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden.
4. Fälle ein Lot von M auf die Seite, an der Du den Ankreis konstruierst.
5. Der Mittelpunkt des Ankreises A ist der Schnittpunkt M der Winkelhalbierenden mit den Außenwinkelhalbierenden. Der Radius des Ankreises ist der Abstand vom Ankreismittelpunkt und dem Schnittpunkt des Lotes mit der Dreiecksseite. Mit diesen Angaben kannst Du den Ankreis A konstruieren.

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Wenn Du die Ankreismittelpunkte verbindest, entsteht ein neues Dreieck. Der Höhenschnittpunkt dieses Dreiecks ist gleichzeitig...

der Inkreismittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks.

Wie heißt der Punkt, in dem sich die Strecken zwischen Ankreisberührpunkt und gegenüberliegender Ecke schneiden?

Nagel-Punkt

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Ankreise Dreieck

Wie konstruiert man einen Ankreis?

Als Erstes konstruierst Du die Winkelhalbierende von dem Winkel, der der Seite, an der Du den Ankreis konstruierst, gegenüberliegt. Dann konstruierst Du die beiden Außenwinkelhalbierenden der anderen beiden Winkel und bestimmst den Mittelpunkt als Schnittpunkt der Außenwinkelhalbierenden mit der Winkelhalbierenden. Nun fällst Du ein Lot vom Mittelpunkt auf die Dreiecksseite. Zum Schluss zeichnest Du einen Kreis mit dem Radius Mittelpunkt und Schnittpunkt Lot, mit der Dreiecksseite, um den Mittelpunkt.

Wie ermittelt man den Ankreismittelpunkt?

Du konstruierst die Winkelhalbierende des Winkels, der der Seite, an der Du den Ankreis konstruierst, gegenüberliegt. Anschließend konstruierst Du die Außenwinkelhalbierenden der anderen beiden Winkel. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und den Außenwinkelhalbierenden ist der Ankreismittelpunkt.

Wie kann man Ankreise am Dreieck beweisen?

Die Strecken von einem Eckpunkt zu den Berührpunkten des gegenüberliegenden Ankreises sind gleich dem Umfang des Dreiecks. Diese Strecken werden mit s bezeichnet. Es gilt: U=a+b+c=2s.

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