Archimedes Pi

Archimedes Pi – Näherungsverfahren

Der griechische Mathematiker Archimedes gilt als der Entdecker der Zahl \(\pi\). Im Jahr 250 v. Chr. konnte er mit einem Näherungsverfahren die Kreiszahl auf 2 Nachkommastellen genau bestimmen. Wie ist er dabei vorgegangen?

Archimedes zeichnete dafür einen Einheitskreis, also einen Kreis mit einem Radius von \(r=1\) bzw. einem Durchmesser von \(d=2\).

Innerhalb und außerhalb dieses Kreises zeichnete Archimedes nun jeweils ein regelmäßiges Sechseck, dessen Umfang er berechnen konnte.

Abb. 1 - Näherungsverfahren von Pi über Sechsecke.

Der Umfang \(U\) des Kreises ist damit größer als der Umfang des inneren Sechsecks, aber kleiner als der des äußeren Sechsecks. Dadurch, dass im Einheitskreis \(\pi=\frac{U}{2}\) gilt, konnte Archimedes diesen Zusammenhang entsprechend auch auf die Sechsecke anwenden und damit eine Unter- und Obergrenze von \(\pi\) ermitteln.

\begin{align}\frac {U_\text{inneres Sechseck}}{2} < \, &\pi < \frac {U_\text{äußeres Sechseck}}{2}\\[0.15cm]3 < \, &\pi < 3.464101615\end{align}

Um sich der Zahl \(\pi\) weiter anzunähern, teilte Archimedes nun die Seiten der Sechsecke zu einem Zwölfeck, dann zu einem 24-Eck, bis hin zu einem 96-Eck.

Auf diese Weise konnte er folgende Grenzen von \(\pi\) bestimmen:

\[3{,}1408450 < \pi <3{,}1428571\]

Aber wie hat Archimedes den Umfang der Vielecke jetzt konkret berechnet?

Archimedes Pi – Berechnung

Für die konkrete Herleitung von der Kreiszahl Pi nach Archimedes wird zunächst der Umfang des Vieleckes, welches im Einheitskreis eingeschlossen ist, für die untere Grenze von Pi berechnet. Anschließend wird damit dann der Umfang des umschließenden Vieleckes für die obere Grenze von Pi bestimmt.

Kreiszahl Pi Herleitung Archimedes – untere Grenze

Um eine erste untere Grenze von Pi zu bestimmen, kannst Du zunächst das im Einheitskreis eingeschlossene, regelmäßige Sechseck betrachten. Das Sechseck kannst Du dabei in sechs gleichseitige Dreiecke mit einer jeweiligen Seitenlänge von 1 unterteilen.

Abb. 2 - Regelmäßiges Sechseck im Einheitskreis.

Der Umfang des Sechsecks ergibt sich aus der Addition der Seiten, welche jeweils eine Länge von 1 haben:

\[U_{Sechseck} = 6\cdot 1 = 6 \]

Da Pi im Einheitskreis dem halben Umfang des Kreises entspricht, ergibt sich daraus der folgende Term für die erste Annäherung von Pi:

\begin{align}\pi&\approx\frac{U_{Sechseck}}{2}\\[0.2cm]\pi&\approx\frac{6}{2} \approx3\end{align}

Um eine genauere Untergrenze von Pi zu bestimmen, werden die Seiten des Sechsecks jetzt halbiert, sodass ein 12-Eck entsteht.

Abb. 3 - Regelmäßiges 12-Eck im Einheitskreis.

Wie Du siehst, ist die freie Fläche zwischen der Kreislinie und dem 12-Eck schon deutlich geringer als die Fläche zwischen Kreislinie und Sechseck. Der Umfang der Vielecke nähert sich also mit jeder weiteren Ecke dem Umfang des Kreises an.

Da alle Seiten des 12-Ecks gleich lang sind, genügt es, die Länge \(x\) von nur einer Seite zu bestimmen. Archimedes betrachtete dazu also folgendes Dreieck aus dem 12-Eck.

Abb. 4 - Ausschnitt aus dem 12-Eck im Einheitskreis.

Um die Seitenlänge \(x\) zu bestimmen, teilst Du das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke, von denen jeweils der Radius \(1\) und die halbe Seitenlänge des Sechsecks mit \(0{,}5\) bekannt sind.

Abb. 5 - Rechtwinklige Dreiecke aus dem 12-Eck.

Die Länge der Kathete \(y\) kannst Du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

\begin{align}\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 200} {\color{gr}y}^2+{\color{gr}0{,}5}^2&={\color{bl}1}^2 &&|-0{,}5^2\\y^2&=1^2-0{,}5^2&&|\sqrt{\,}\\y&=\sqrt{1^2-0{,}5^2}\\y&\approx0{,}866025\end{align}

Die Kathete \(z\) entspricht der Differenz aus dem Radius und der Kathete \(y\).

\begin{align}\color{r}z&={\color{bl}1}-{\color{gr}y}\\z&={\color{bl}1}-{\color{gr}0{,}866025} \\z&\approx 0{,}133975 \end{align}

Zusammen mit der Länge \(z\) und der bekannten Länge \(0{,}5\) der anderen Kathete kannst Du nun die Seitenlänge \(x\) von dem 12-Eck mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

\begin{align}{\color{r}z}^2+{\color{gr}0{,}5}^2&={\color{r}x}^2\\{\color{r}0{,}133975}^2+{\color{gr}0{,}5}^2&={\color{r}x}^2 &&|\sqrt{\,}\\\sqrt{0{,}133975^2+0{,}5^2}&=x\\0{,}517638&\approx x\end{align}

Um den Umfang des 12-Ecks zu bestimmen, muss die Seitenlänge \(x\) jetzt nur noch verzwölffacht werden.

\begin{align}U_{12-Eck}&=12\cdot 0{,}517638\\&=6{,}211656\end{align}

Mit diesem Umfang kannst Du \(\pi\) jetzt wieder weiter annähern.

\begin{align}\pi&\approx\frac{U_{12-Eck}}{2}\\[0.2cm]\pi&\approx\frac{6{,}211656}{2}\\[0.2cm]&\approx3{,}105828\end{align}

Um die untere Grenze von Pi genauer zu bestimmen, wiederholst Du dieses Verfahren jetzt wieder. Das heißt, Du teilst das 12-Eck regelmäßig in ein 24-Eck auf und kannst dann mit dem Satz des Pythagoras die Seitenlänge und damit auch den Umfang des 24-Ecks berechnen.

Kreiszahl Pi Herleitung Archimedes – obere Grenze

Die obere Grenze von Pi wird nach Archimedes über den Umfang der Vielecke hergeleitet, welche den Einheitskreis umschließen. Zusammen mit dem bereits berechneten Umfang des innenliegenden Vieleckes und dem Strahlensatz wird der Umfang des äußeren Vieleckes berechnet.

Betrachte dazu den Einheitskreis mit dem eingeschlossenen und dem umliegenden Sechseck. Das äußere Sechseck lässt sich gleichmäßig in sechs Dreiecke unterteilen.

Abb. 6 - Einheitskreis, mit eingeschlossenem und umschließendem Sechseck.

Um den Umfang des äußeren Sechsecks zu ermitteln, genügt es, eine Seitenlänge \(x\) zu bestimmen und diese anschließend zu versechsfachen. Da der Umfang bzw. die entsprechende Seite des inneren Sechsecks bereits bekannt ist, kannst Du hierbei den 2. Strahlensatz anwenden.

Abb. 7 - Berechnung einer Seitenlänge x im äußeren Sechseck mit Strahlensatz.

Nach dem zweiten Strahlensatz ergibt sich folgende Gleichung:

\[\frac{{\color{r}x}}{{\color{gr}1}}=\frac{{\color{li}1}}{{\color{bl}y}}\]

Die noch unbekannte Länge \(y\) kannst Du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

\begin{align}{\color{bl}y}^2+{\color{gr}0{,}5}^2&={\color{r}1}^2 &&|-0{,}5^2\\y^2&=1^2-0{,}5^2&&|\sqrt{\,}\\y&=\sqrt{1^2-0{,}5^2}\\y&\approx0{,}866025\end{align}

Somit gilt für die Seitenlänge \(x\) Folgendes:

\begin{align}\frac{{\color{r}x}}{{\color{gr}1}}&=\frac{{\color{li}1}}{{\color{bl}y}}\\{\color{r}x}&=\frac{{\color{li}1}}{{\color{bl}0{,}866025}}\\[0.2cm]& \approx 1{,}15470107 \end{align}

Um den Umfang des äußeren Sechsecks zu berechnen, muss die Seitenlänge \(x\) jetzt noch versechsfacht werden.

\begin{align}U_{Sechseck}&\approx 6\cdot 1{,}15470107 \\U_{Sechseck}&\approx 6{,}928\end{align}

Da Pi im Einheitskreis dem halben Umfang des Kreises entspricht, ergibt sich daraus der folgende Term für die erste Annäherung der oberen Grenze für Pi:

\begin{align}\pi&\approx\frac{U_{Sechseck}}{2}\\[0.2cm]\pi&\approx\frac{6{,}928}{2}\\[0.2cm]&\approx3{,}4641\end{align}

Um die Obergrenze von Pi weiter anzunähern, kannst Du jetzt den Umfang vom äußeren 12-Eck mithilfe des inneren 12-Ecks auf gleiche Weise bestimmen. Selbiges gilt entsprechend auch für das Vieleck mit 24, 48 und letztlich 96 Ecken.