Außenwinkelsumme Dreieck: Berechnen & Beweis

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Vermutlich drei Winkel, oder?

Das ist auch vollkommen richtig, zumindest für die Innenwinkel. Ein Dreieck hat drei Innenwinkel. Aber wusstest Du, dass es noch mehr Winkel am Dreieck gibt? Außerhalb des Dreiecks entstehen Außenwinkel. Jedes Dreieck hat sechs Außenwinkel. Was genau Außenwinkel sind, welche Winkelsumme sie stets haben und was sie mit Innenwinkeln zu tun haben, erfährst Du in dieser Erklärung.

Außenwinkelsumme Dreieck – Grundlagen

Überall dort, wo sich in der Geometrie zwei Geraden schneiden bzw. sich die Enden zweier Strahlen treffen, entstehen Winkel.

Schneiden sich zwei Geraden g und h in einem Punkt S oder berühren sich zwei Strahlen g und h in diesem Punkt, so spannen sie dabei an ihrem Schnittpunkt den Winkel α auf. Der Schnittpunkt S der Geraden ist der Scheitelpunkt des Winkels. Die Geradenabschnitte werden als Schenkel bezeichnet.

Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel, von denen je zwei gleich groß sind. Berühren sich zwei Strahlen, entstehen zwei Winkel.

Außenwinkelsumme Dreieck Winkel StudySmarter Abbildung 1: Winkel am Schnittpunkt zwei Geraden bzw. am Berührpunkt zwei Strahlen

Im Inneren eines Dreiecks existieren drei Winkel, da es drei Ecken als Scheitelpunkte gibt. Sie werden Innenwinkel genannt.

Innenwinkelsumme im Dreieck

Die Winkel in einem Dreieck können ganz unterschiedlich groß sein. Je nach Größe des größten Innenwinkels im Dreieck wird zwischen spitzwinkligen, rechtwinkligen und stumpfwinkligen Dreiecken unterschieden.

Für die Summe aller drei Innenwinkel in einem Dreieck gibt es eine Besonderheit.

Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck ABC beträgt immer 180°.

Seien $α, β, γ$ die Winkel in den Ecken des Dreiecks. Dann gilt der Innenwinkelsatz:

$α + β + γ = 180 °$

Außenwinkelsumme Dreieck Dreieck ABC StudySmarter Abbildung 2: Dreieck ABC mit eingezeichneten Winkeln

Der Innenwinkelsatz in Dreiecken wird häufig verwendet, um einen fehlenden Winkel zu berechnen.

Im Dreieck aus Abbildung 3 sind die Größen der Winkel $α$ und $β$ gegeben.

Außenwinkelsumme Dreieck Innenwinkelsumme Winkel berechnen StudySmarter Abbildung 3: Winkel berechnen

Mithilfe des Innenwinkelsatzes kannst Du jetzt die Größe des Winkels $γ$ in der Ecke C bestimmen.

Es ist

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} α + β + γ = 180 ° \\ \Rightarrow & γ = 180 ° - α - β \\ γ = 180 ° - 68, 01 ° - 39, 09 ° = 72, 9 ° \end{matrix} \end{array}$

Der Winkel $γ$ ist 72,9° groß.

Nebenwinkel

Du kannst Winkelgrößen auch mithilfe des Nebenwinkelsatzes berechnen.

Schneiden sich zwei Geraden g und h, so entstehen dabei vier Winkel. Nebeneinanderliegende Winkel an dieser Geradenkreuzung heißen Nebenwinkel.

In Abbildung 4 sind $α und β$ Nebenwinkel.

Außenwinkelsumme Dreieck Nebenwinkel StudySmarter Abbildung 4: Nebenwinkel

Nebenwinkel bilden zusammen immer einen Halbkreis.

Für Nebenwinkel $α und β$ gilt der Nebenwinkelsatz:

$α + β = 180 °$

Die Winkelsumme von zwei Nebenwinkeln beträgt stets 180°.

Auch den Nebenwinkelsatz kannst Du verwenden, um einen fehlenden Winkel zu berechnen.

In Abbildung 5 ist die Winkelgröße von $β$ gegeben. Damit kannst Du $α$ berechnen.

Außenwinkelsumme Dreieck Nebenwinkel berechnen StudySmarter Abbildung 5: Nebenwinkel berechnen

Es ist

$\begin{matrix} α + β = 180 ° \\ \Rightarrow & α = 180 ° - β \\ \begin{array}{rcl} α & = & 180 ° - 70, 8 ° \\ = & 109, 2 ° \end{array} \end{matrix}$

Den Nebenwinkelsatz und den Innenwinkelsatz benötigst Du für das Verständnis des Außenwinkelsatzes.

Außenwinkel Dreieck – Definition, messen & berechnen

Aber was ist eigentlich ein Außenwinkel in einem Dreieck?

Außenwinkel Dreieck – Definition

Im Gegensatz zum Innenwinkel liegt der Außenwinkel, wie der Name es schon sagt, außerhalb des Dreiecks.

Wird in einem Dreieck eine Seite verlängert, so entsteht außerhalb des Dreiecks zwischen der verlängerten Außenseite und der benachbarten Dreiecksseite ein Außenwinkel.

Außenwinkelsumme Dreieck Außenwinkel StudySmarter Abbildung 6: ein Außenwinkel eines Dreiecks

An allen Ecken eines Dreiecks existieren je zwei Außenwinkel. Insgesamt gibt es daher an einem Dreieck stets sechs Außenwinkel. In Abbildung 7 kannst Du alle Außen- sowie Innenwinkel eines Dreiecks sehen.

Außenwinkelsumme Dreieck Außenwinkel Innenwinkel StudySmarter Abbildung 7: Außen- und Innenwinkel eines Dreiecks

Dreieck – Außenwinkel messen

Die Größe eines Außenwinkels misst Du wie jeden anderen Winkel auch.

Du legst das Geodreieck an einen Schenkel des Winkels an, sodass die Mitte des Geodreiecks genau auf dem Scheitelpunkt des Winkels liegt.
Auf dem anderen Schenkel liest Du die Größe des Winkels am Geodreieck ab. Achte dabei besonders darauf, dass Du die richtige Skala verwendest. Je nachdem auf welcher Seite Du Dein Geodreieck anlegst, wählst Du die Skala, die auf dieser Seite beginnt.

Um den Winkel $α_{1}$ in Abbildung 8 zu bestimmen, wählst Du die Skala mit der schwarzen Schrift auf durchsichtigen Hintergrund. Der Winkel $a_{1}$ in Abbildung 7 ist $136, 5 °$ groß.

Außenwinkelsumme Dreieck Außenwinkel messen Geodreieck StudySmarter Abbildung 8: Außenwinkel mit dem Geodreieck messen

Dreieck – Außenwinkel berechnen

In den meisten Aufgaben sollst Du den Außenwinkel aber vermutlich nicht messen, sondern berechnen.

Am einfachsten ist dies, wenn der zugehörige Innenwinkel gegeben ist.

Ist $α$ ein Innenwinkel in einem Dreieck ABC und $α_{1}$ ein danebenliegender Außenwinkel, so gilt:

$α + α_{1} = 180 °$

Ein Außenwinkel und der dazugehörige Innenwinkel ergänzen sich stets zu 180°.

Wenn der zugehörige Innenwinkel gegeben ist, kannst Du den Außenwinkel berechnen.

In Abbildung 9 ist der Winkel $α = 34, 5 °$ gegeben.

Außenwinkelsumme Dreieck Außenwinkel berechnen StudySmarter Abbildung 9: Außenwinkel berechnen

Da Du weißt, dass die Winkel $α und a_{1}$ eine Winkelsumme von 180° haben, kannst Du $α$ berechnen.

$\begin{matrix} α + α_{1} = 180 ° \\ \Rightarrow & α_{1} = 180 ° - α \\ \begin{array}{rcl} α_{1} & = & 180 ° - 34, 5 ° \\ = & 145, 5 ° \end{array} \end{matrix}$

Um einen Außenwinkel bei gegebenen Innenwinkel zu berechnen, subtrahierst Du immer die Größe des Innenwinkels von 180°. Das Ergebnis ist dann die Größe des Außenwinkels.

Außenwinkelsatz Dreieck

Du kannst einen Außenwinkel aber auch bestimmen, wenn die beiden nicht anliegenden Innenwinkel gegeben sind.

Für einen Außenwinkel $α_{1}$ gilt, dass er so groß ist wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel $β und γ$ .

$α_{1} = β + γ$

Außenwinkelsatz – Beweis

Dass ein Außenwinkel so groß ist, wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel, folgt bereits aus der Tatsache, dass der Innenwinkel $α$ nach dem Nebenwinkelsatz zusammen mit Außenwinkel $α_{1}$ genau 180° ergibt. Außerdem weißt Du, dass aufgrund der Summe der Innenwinkel, $α$ auch zusammen mit den beiden anderen Innenwinkeln $β und γ$ genau 180° ergibt.

$\begin{array}{rcl} α + α_{1} & = & 180 ° \\ α + β + γ & = & 180 ° \\ \Rightarrow & α_{1} = β + γ \end{array}$

Außenwinkelsumme Dreieck

Wie bei der Innenwinkelsumme von Dreiecken gibt es auch eine stets gleiche Außenwinkelsumme.

Die Außenwinkelsumme in einem Dreieck ABC beträgt immer 360°.

$α_{1} + β_{1} + γ_{1} = 360 °$

Außenwinkelsumme Dreieck Außenwinkel Summe StudySmarter Abbildung 10: Außenwinkelsumme im Dreieck

Auch für die Außenwinkel auf der anderen Seite gilt der Außenwinkelsatz. Denn die Außenwinkel $α_{1}$ und $α_{2}$ sind immer gleich groß.

Außenwinkelsatz – Beweis

Um den Außenwinkelsummensatz zu beweisen, verwendest Du den Nebenwinkelsatz und die Innenwinkelsumme. Du berechnest die Außenwinkel, indem Du von 180° den Innenwinkel abziehst.

$α_{1} = 180 ° - α β_{1} = 180 ° - β γ_{1} = 180 ° - γ$

Wenn Du jetzt die Außenwinkel addierst, ist das dasselbe, wie wenn Du stets 180° minus den Innenwinkel rechnest und die Differenzen addierst.

$α_{1} + β_{1} + γ_{1} = (180 ° - α) + (180 ° - β) + (180 ° - γ)$

Die rechte Seite der Gleichung kannst Du umformen:

$\begin{array}{rcl} α_{1} + β_{1} + γ_{1} & = & (180 ° - α) + (180 ° - β) + (180 ° - γ) \\ = & 180 ° - α + 180 ° - β + 180 ° - γ \\ = & 3 \cdot 180 - α - β - γ \\ = & 540 ° - (α + β + γ) \end{array}$

Jetzt weißt Du, dass die Winkelsumme $α_{1} + β_{1} + γ_{1}$ so groß ist wie 540° minus $α + β + y$ . Der Satz für die Innenwinkelsumme besagt aber, dass die Summe der Innenwinkel genau 180° beträgt. Deswegen ist:

$\begin{array}{rcl} α_{1} + β_{1} + γ_{1} & = & 540 ° - (α + β + γ +) \\ = & 540 ° - 180 ° \\ = & 360 ° \end{array}$

Außenwinkel gleichseitiges & gleichschenkliges Dreieck

Besondere Dreiecke sind zum Beispiel das gleichseitige Dreieck und das gleichschenklige Dreieck.

In einem gleichseitigen Dreieck ist jeder Winkel genau 60° groß. Daraus kannst Du die Außenwinkel berechnen.

In einem gleichseitigen Dreieck ist jeder Außenwinkel genau 120° groß.

Alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich zueinander. In jedem gleichseitigen Dreieck ist jeder Innenwinkel immer 60° groß. Jedes gleichseitige Dreieck kann daher über eine zentrische Streckung in jedes andere gleichseitige Dreieck überführt werden. Deswegen sind auch die Außenwinkel in jedem gleichseitigen Dreieck gleich groß.

Gleichseitige Dreiecke unterscheiden sich nur durch ihre Seitenlängen. Wobei auch hier in einem Dreieck die Seiten stets gleichlang sind.

Außenwinkelsumme Dreieck gleichseitige Dreiecke StudySmarter Abbildung 11: gleichseitige Dreiecke

Du möchtest mehr über ähnliche Dreiecke wissen? Dann sieh Dir die Erklärung "Ähnlichkeitssätze für Dreiecke" an.

Gleichschenklige Dreiecke hingegen sind meist nicht zueinander ähnlich. Das bedeutet, dass die Winkel des einen gleichschenkligen Dreiecks nicht identisch sind zu den Winkeln des anderen gleichschenkligen Dreiecks.

Deshalb kannst Du auch keine allgemeine Aussage über die Außenwinkel in gleichschenkligen Dreiecken treffen.

In gleichschenkligen Dreiecken sind zwei Außenwinkel an verschiedenen Ecken gleich groß. Die genaue Größe ist aber für jedes gleichschenklige Dreieck unterschiedlich.

Außenwinkelsumme Dreieck – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du das Rechnen mit Außenwinkeln üben.

Aufgabe 1

Bestimme für das Dreieck ABC aus Abbildung 12 die Größe der Außenwinkel $α_{1}, β_{1}, γ_{1}$ . Berechne auch die Winkelsumme $α_{1} + β_{1} + γ_{1}$ .

Außenwinkelsumme Dreieck Dreieck Winkel berechnen StudySmarter Abbildung 12: Dreieck ABC mit Innenwinkeln

Lösung

Die Innenwinkel sind in Abbildung 12 gegeben. Du kannst verwenden, dass Innenwinkel und Außenwinkel Nebenwinkel sind und die Winkelsumme stets 180° ist. Damit kannst Du $α_{1}, β_{1}, γ_{1}$ berechnen.

$\begin{array}{rcl} α_{1} & = & 180 ° - α = 180 ° - 41, 5 ° = 138, 5 ° \\ β_{1} & = & 180 ° - β = 180 ° - 40, 5 ° = 139, 5 ° \\ y_{1} & = & 180 ° - y = 180 ° - 98 ° = 82 ° \end{array}$

Die Außenwinkelsumme ist

$\begin{array}{rcl} α_{1} + β_{1} + γ_{1} & = & 138, 5 ° + 139, 5 ° + 82 ° \\ = & 360 ° \end{array}$

Mit der Berechnung der Außenwinkelsumme kannst Du Deine vorherige Rechnung überprüfen. Das Ergebnis muss $360 °$ sein, da es die Winkelsumme der Außenwinkel ist.

Aufgabe 2

Berechne die Größe des Außenwinkels $γ_{1}$ an der Ecke C in Abbildung 13 mit nur einem Rechenschritt.

Außenwinkelsumme Dreieck Außenwinkel berechnen StudySmarter Abbildung 13: Außenwinkel berechnen

Lösung

Die Größe eines Außenwinkels entspricht der Winkelsumme der nicht angrenzenden Innenwinkel.

Du kannst daher die Winkelgröße $γ_{1}$ bestimmen, indem Du $α$ und $β$ addierst.

$\begin{array}{rcl} γ_{1} & = & α + β \\ = & 66, 5 ° + 40, 5 ° \\ = & 107 ° \end{array}$

Außenwinkelsumme Dreieck – Das Wichtigste

Ein Außenwinkel eines Dreiecks liegt außerhalb des Dreiecks und wird von zwei verlängerten Dreiecksseiten gebildet.
Jeder Dreieck hat sechs Außenwinkel, von denen je zwei gleich groß sind.
Ein Außenwinkel $α_{1}$ und der angrenzende Innenwinkel $α$ haben eine Winkelsumme von 180°: $α + α_{1} = 180 °$
Die Größe eines Außenwinkels $α_{1}$ entspricht der Winkelsumme der nicht angrenzenden Innenwinkel $β und γ$ : $α_{1} = β + γ$
Die Außenwinkelsumme der drei verschiedenen Außenwinkel $α_{1}, β_{1}, γ_{1}$ beträgt 360°: $α_{1} + β_{1} + γ_{1} = 360 °$

Nachweise

Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
Böer et al. (2007). mathe live 7, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlagr GmbH.

Karteikarten in Außenwinkelsumme Dreieck 3

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Wo befindet sich ein Außenwinkel eines Dreiecks? Wähl aus.

zwischen einer verlängerten Dreiecksseiten und einer benachbarten Dreiecksseiten

Welche Aussagen über einen Außenwinkel und den benachbarten Innenwinkel eines Dreiecks ist richtig? Wähl aus.

Der Außenwinkel und der Innenwinkel ergänzen sich zu 180°.

Welche Größe hat die Winkelsumme der drei verschiedenen Außenwinkel eines Dreiecks? Wähl aus.

360°

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Außenwinkelsumme Dreieck

Was versteht man unter einem Außenwinkel eines Dreiecks?

Ein Außenwinkel eines Dreiecks entsteht, wenn Du eine Dreiecksseite verlängerst. Zwischen der verlängerten Dreiecksseite und der benachbarten Dreiecksseite befindet sich der Außenwinkel.

Jeder Dreieck hat sechs Außenwinkel.

Wie lautet der Außenwinkelsatz?

Der Außenwinkelsatz für Dreiecke besagt, die die Größe eines Außenwinkels genau der Summe der beiden nicht benachbarten Innenwinkel entspricht.

Was sind Innenwinkel und Außenwinkel?

Innenwinkel befinden sich innerhalb eines Dreiecks. Sie sind innerhalb zwischen den Dreiecksseiten eingeschlossen.

Außenwinkel befinden sich außerhalb des Dreiecks und entstehen durch verlängerte Dreiecksseiten.

Wie berechne ich die Außenwinkel?

Du hast verschiedene Möglichkeiten, um die Außenwinkel zu berechnen. Du kannst zum einen den Innenwinkel als Nebenwinkel betrachten. Dann ziehst Du von 180° den Innenwinkel ab und erhältst den Außenwinkel.

In Dreiecken hast Du auch die Möglichkeit, die Summe der beiden nicht angrenzenden Innenwinkel zu bilden. Dies entspricht auch dem Außenwinkel.

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