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Du möchtest wissen, wie Du den Betrag eines Vektors berechnen kannst, wie dieser definiert ist und welche Formel genutzt wird, um die Länge eines Vektors zu bestimmen? Lies weiter und sieh Dir zum Betrag eines Vektors Beispiele an, die die Anwendung der Formel zeigen, um die Länge eines Vektors zu berechnen.
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Leg kostenfrei losBerechne die Länge des Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \\-2 \end{array}\right)\).
Entscheide, welche der Aussagen wahr ist.
Gegeben ist der Vektor \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 2t\\ t \end{array}\right)\).Berechne die Länge des Vektors in Abhängigkeit von \(t\).
Wähle aus, wie der Betrag eines dreidimensionalen Vektors \(\vec{a}\) berechnet werden kann.
Berechne den Betrag des Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} -1\\ 1 \\0 \end{array}\right)\).
Entscheide, ob es sich bei dem Vektor \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)\) um einen Einheitsvektor handelt.
Entscheide, welche Angabe nicht korrekt ist.
Gegeben ist der Vektor \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \end{array}\right)\).Bestimme den Betrag des Vektors.
Bestimme den Parameter \(a\) so, dass die Länge des Vektors \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c} a\\ a \end{array}\right)\) genau \(\sqrt{2}\) ist.
Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr sind.
Berechne die Länge des Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \\-2 \end{array}\right)\).
Entscheide, welche der Aussagen wahr ist.
Gegeben ist der Vektor \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 2t\\ t \end{array}\right)\).Berechne die Länge des Vektors in Abhängigkeit von \(t\).
Wähle aus, wie der Betrag eines dreidimensionalen Vektors \(\vec{a}\) berechnet werden kann.
Berechne den Betrag des Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} -1\\ 1 \\0 \end{array}\right)\).
Entscheide, ob es sich bei dem Vektor \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)\) um einen Einheitsvektor handelt.
Entscheide, welche Angabe nicht korrekt ist.
Gegeben ist der Vektor \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \end{array}\right)\).Bestimme den Betrag des Vektors.
Bestimme den Parameter \(a\) so, dass die Länge des Vektors \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c} a\\ a \end{array}\right)\) genau \(\sqrt{2}\) ist.
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Team Betrag eines Vektors Lehrer
Über den Betrag \(|\vec{a}|\) kannst Du also die Länge eines Vektors \(\vec{a}\) angeben. Die nachfolgende Grafik zeigt Dir dabei einen Vektor \(\vec{a}\) im zweidimensionalen Koordinatensystem und dessen Betrag \(|\vec{a}|\).
Abb. 1 - Vektor und Betrag.
Wie kannst Du nun den Betrag eines Vektors, wie etwa in der Abbildung \(1\), berechnen?
Der Betrag \(|\vec{a}|\) eines Vektors \(\vec{a}\) wird berechnet, indem jede Vektorkoordinate des Vektors quadriert, alle Ergebnisse addiert und anschließend die Wurzel gezogen wird.
Besitzen Vektoren einen Betrag von \(|\vec{a}|=1\), dann handelt es sich um sogenannte Einheitsvektoren. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Einheitsvektor“.
Zusammengefasst ergeben sich die folgenden Formeln zur Berechnung des Betrags von zwei- und dreidimensionalen Vektoren.
Der Betrag \(|\vec{a}|\) eines zweidimensionalen Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array}\right)\) wird über die Formel
\[|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\]
berechnet.
Diese Formel zur Berechnung des Betrags eines zweidimensionalen Vektors kann auf die Berechnung eines dreidimensionalen Vektors ausgeweitet werden.
Der Betrag \(|\vec{a}|\) eines dreidimensionalen Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z\end{array}\right)\) wird über die Formel
\[|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\]
berechnet.
Sieh Dir zur Anwendung der Formeln direkt einige Beispiele an!
Zur Berechnung des Betrags eines Vektors werden in einem Beispiel die konkreten Zahlenwerte der Vektorkoordinaten in die Formel eingesetzt. Das Ergebnis der Berechnung entspricht der Länge des Vektors.
Um den Betrag eines zweidimensionalen Vektors \(\vec{a}\) in der Ebene zu bestimmen, musst Du diesen über die Formel \(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\) berechnen.
Berechne den Betrag \(|\vec{a}|\) des Vektors \(\vec{a}\).
\[\vec{a}=\left(\begin{array}{c} {\color{#1478C8}-2} \\ {\color{#00DCB4}1} \end{array}\right)\]
Lösung
Setze zur Berechnung des Betrags \(|\vec{a}|\) die Vektorkoordinaten \(a_x\) und \(a_y\) des Vektors \(\vec{a}\) in die Formel ein.
\[|\vec{a}|=\sqrt{{\color{#1478C8}a_x^2}+{\color{#00DCB4}a_y^2}}=\sqrt{{\color{#1478C8}(-2)^2}+{\color{#00DCB4}1^2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx2{,}24\]
Damit hat der Vektor \(\vec{a}\) eine Länge von \(|\vec{a}|\approx2{,}24\,LE\).
Mit der gleichen Vorgehensweise kannst Du so auch Beträge von Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem berechnen.
Um die Länge eines dreidimensionalen Vektors \(\vec{a}\) im Raum zu bestimmen, musst Du diesen über die Formel \(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\) berechnen.
Berechne den Betrag \(|\vec{a}|\) des Vektors \(\vec{a}\).
\[\vec{a}=\left(\begin{array}{c} {\color{#1478C8}1} \\ {\color{#00DCB4}0} \\ {\color{#FA3273}-3}\end{array}\right)\]
Lösung
Setze zur Berechnung des Betrags \(|\vec{a}|\) die Vektorkoordinaten \(a_x\), \(a_y\) und \(a_z\) des Vektors \(\vec{a}\) in die Formel ein.
\[|\vec{a}|=\sqrt{{\color{#1478C8}a_x^2}+{\color{#00DCB4}a_y^2}+{\color{#FA3273}a_z^2}}=\sqrt{{\color{#1478C8}1^2}+{\color{#00DCB4}0^2}+{\color{#FA3273}(-3)^2}}=\sqrt{1+0+9}=\sqrt{10}\approx3{,}16\]
Damit hat der Vektor \(\vec{a}\) eine Länge von \(|\vec{a}|\approx3{,}16\,LE\).
Hast Du Lust, direkt noch ein paar Übungsaufgaben zum Betrag eines Vektors zu rechnen? Dann sieh Dir gleich die zugehörigen Karteikarten an!
\[|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\]
Der Betrag \(|\vec{a}|\) eines dreidimensionalen Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z\end{array}\right)\) wird bestimmt über die Formel:
\[|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\]
Ein Vektor mit dem Betrag \(|\vec{a}|=1\) ist ein Einheitsvektor.
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Was ist der Betrag eines Vektors?
Der Betrag eines Vektors ist definiert als Skalar (reeller Zahlenwert) und entspricht der Länge des Vektors.
Wie berechne ich den Betrag eines Vektors?
Der Betrag eines Vektors wird berechnet, indem jede Vektorkoordinate des Vektors quadriert, alle Ergebnisse addiert und anschließend die Wurzel gezogen wird.
Ist der Betrag eines Vektors die Länge?
Ja, der Betrag eines Vektors entspricht der Länge des Vektors.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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