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Ein Mathematiker befindet sich in einem kalten Zimmer. Wo genau im Zimmer stellt er sich hin?
In eine Ecke. Da sind nämlich \(90^\circ\).
Zugegeben, so gut ist der Witz nun doch nicht. Die Ecke hat zwar \(90^\circ\) als Winkel, aber dort wird es vermutlich genauso kalt sein.
Eine Person, die sich genauer mit der Mathematik auskennt, wird den Witz aus einem weiteren Grund schlecht finden: Sie würde nicht von \(90^\circ\) reden, sondern von \(\frac{\pi}{2}\). Das ist derselbe Winkel, allerdings in einem anderen Maß angegeben.
Doch woher kommen diese Angaben „Grad“ und \(\pi\) und was haben sie miteinander zu tun?
Gradmaß und Bogenmaß – Wiederholung der Grundlagen
Das \(\pi\) taucht oft in der Verbindung mit Kreisen auf. Tatsächlich spielt ein besonderer Kreis hier eine Rolle. Der sogenannte Einheitskreis wird in der Mathematik gerade im Zusammenhang mit Winkeln genutzt. Wie er mit Pi zusammenhängt, erfährst Du jetzt.
Zunächst solltest Du Dir ansehen, was genau der Einheitskreis überhaupt ist.
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius \( r=1\).
Legst Du diesen Kreis mit einer Schnur und rollst sie aus, wirst Du sehen, dass sie genau \(2 \pi\) lang ist, also ungefähr \(\text{6,28}\). Der Einheitskreis hat also einen Umfang von \(2 \pi\).
Abbildung 1: Einheitskreis
Noch mehr Infos dazu bekommst Du in der Erklärung "Einheitskreis".
Gradmaß und Bogenmaß – Definition & Unterschied
Zurück zu den \(90^\circ\) und \(\pi\) – wofür genau stehen sie jetzt und welchen Zusammenhang haben sie?
Um einen Winkel zu beschreiben, gibt es zwei Möglichkeiten: das Gradmaß und das Bogenmaß. Beides sind Winkelmaße, mit denen die Größe eines Winkels dargestellt wird. Jeder Winkel besitzt einen Wert im Gradmaß und einen Wert im Bogenmaß.
Um den genauen Zusammenhang zu verstehen, sieh Dir die folgende Abbildung an.
Dargestellt ist ein Winkel im Einheitskreis. Das Gradmaß beschreibt hier den Winkel \(\alpha\) in Grad, das Bogenmaß \(x\) ist die entsprechende Länge des Bogens, die der Teil des Kreises hat, der zum entsprechenden Winkel gehört.
Wie Du siehst, hat der Winkel \(\alpha=90^\circ\) das Bogenmaß \(\frac{\pi}{2}\), da er genau ein Viertel des gesamten Kreises mit \(2\pi\) einnimmt. Auf gleiche Weise können andere Winkel sowohl im Gradmaß, als auch im Bogenmaß dargestellt werden.
Doch wie kannst Du vorgehen, wenn Du einen Winkel wie \(\frac{3\pi}{2}\) gegeben hast und ihn in Gradmaß umrechnen sollst, oder einen Winkel wie \(66^\circ\) ins Bogenmaß?
Gradmaß und Bogenmaß berechnen – Formel
Für die Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß und umgekehrt gibt es bestimmte Formeln, die Dir ersparen, alle Winkel in einen Einheitskreis einzeichnen zu müssen.
Gradmaß in Bogenmaß umrechnen
Hast Du einen Winkel im Gradmaß gegeben, sieht dieser stets so aus, dass ein Grad-Zeichen (\(^\circ\)) auf eine Zahl folgt. Das Gradmaß besitzt also die Einheit Grad.
Möchtest Du diesen Winkel ins Bogenmaß umrechnen, kann schnell eine Formel dafür hergeleitet werden.
Du weißt bereits, dass ein Kreis mit Vollwinkel \(360^\circ\) ein Bogenmaß von genau \(2\pi\) hat, also
\[360^\circ=2\pi.\]
Wenn Du nun auf beiden Seiten durch die
\(360^\circ\) teilst, weißt Du, welchem Bogenmaß genau \(1^\circ\) im Gradmaß entspricht:
\[1^\circ=\frac{2\pi}{360^\circ}=\frac{\pi}{180^\circ}.\] Um nun für jeden beliebigen Winkel im Gradmaß den entsprechenden Winkel im Bogenmaß zu erhalten, müssen also beide Seiten der Gleichung mit dem entsprechenden Winkel \(\alpha\) multipliziert werden. Als Formel für das Bogenmaß ergibt sich entsprechend Folgendes:
Die Formel für die Umrechnung von Gradmaß \(\alpha\) in Bogenmaß \(x\) lautet \[x=\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi.\]
Als Beispiel kannst Du direkt einmal versuchen, den Winkel \(\alpha=66^\circ\) in Bogenmaß umzurechnen.
Gegeben ist der Winkel \(\alpha=66^\circ\) im Gradmaß.
Um ihn in Bogenmaß umzurechnen, setzt Du \(\alpha\) in die entsprechende Formel ein:
\begin{align}x&=\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi \\ \\x&=\frac{66^\circ}{180^\circ} \cdot \pi \\[0.1cm]&=\frac{11}{30}\pi \\[0.1cm] &\approx \text{1,15}.\end{align}
Der Winkel im Bogenmaß lautet nun also genau \(\frac{11}{30}\pi\).
Bogenmaß in Gradmaß umrechnen
Umgekehrt kann ebenfalls eine Formel genutzt werden, um Winkel von Bogenmaß in Gradmaß umzurechnen. Dazu wird obige Formel nach \(x\) umgestellt.
Die Formel für die Umrechnung eines Winkels von Bogenmaß x ins Gradmaß \(\alpha\) lautet \[\alpha=\frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ.\]
Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad). Du kannst also hinter das Bogenmaß noch die Einheit schreiben, z. B. \(\frac{3\pi}{2}\) rad.
Auch hier folgt wieder ein Beispiel zur Berechnung bei gegebenem Bogenmaß.
Gegeben ist der Winkel \(x=\frac{3\pi}{2}\) im Bogenmaß.
Um ihn in Gradmaß umzurechnen, setzt Du \(x\) in die entsprechende Formel ein:
\begin{align}\alpha&=\frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ \\\\\alpha&=\frac{\frac{3\pi}{2}}{\pi} \cdot 180^\circ \\[0.1cm]&= \frac{3}{2} \cdot 180^\circ \\[0.1cm] &= 270^\circ. \end{align}
Du kannst nun also beide Winkelmaße mithilfe der Formeln ineinander umrechnen.
Gradmaß und Bogenmaß am Taschenrechner
Möchtest Du mit dem Taschenrechner etwas mit Winkeln im Gradmaß oder Bogenmaß ausrechnen, kann die falsche Taschenrechnereinstellung direkt zu einem falschen Ergebnis führen. Gerade bei Berechnungen, die mit trigonometrischen Gleichungen oder Funktionen wie Sinus oder Kosinus zu tun haben, ist es wichtig, auf die richtige Einstellung zu achten.
Die meisten Taschenrechner besitzen eine „Modus“-Taste (oft auch „mode“). Wichtig sind hier zwei Modi. Der Erste heißt meist „deg“, das steht für „degree“, das englische Wort für „Grad“. Dies ist also der Modus für das Gradmaß. Der Zweite ist „rad“, das steht für „Radiant“ und ist damit der Modus für das Bogenmaß.
Gradmaß und Bogenmaß – Tabelle
Damit Du nicht für jeden Winkel die Formeln für die Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß benutzen musst, findest Du hier eine Tabelle mit besonderen Winkelgrößen, die häufiger für Berechnungen benötigt werden.
| Winkel im Gradmaß | Winkel im Bogenmaß |
| \(0^\circ\) | \(0\) |
| \(30^\circ\) | \[\frac{\pi}{6}\] |
| \(45^\circ\) | \[\frac{\pi}{4}\] |
| \(60^\circ\) | \[\frac{\pi}{3}\] |
| \(90^\circ\) | \[\frac{\pi}{2}\] |
| \(180^\circ\) | \[\pi\] |
| \(270^\circ\) | \[\frac{3\pi}{2}\] |
| \(360^\circ\) | \[2\pi\] |
Gradmaß und Bogenmaß – Aufgaben
Hier hast Du die Möglichkeit, zu überprüfen, ob Du das Gelernte zum Gradmaß und Bogenmaß auch anwenden kannst.
Aufgabe 1
Gegeben ist der Winkel \(\alpha\) am Einheitskreis. Gib diesen Winkel ohne Messen im Gradmaß und Bogenmaß an.
Abbildung 3: Aufgabe 1
Lösung
Du weißt, dass ein voller Einheitskreis einen Winkel von \(360^\circ\) bzw. \(2\pi\) besitzt. Der Winkel \(\alpha\) nimmt genau ein Achtel des gegebenen Einheitskreises ein. Dementsprechend hat \(\alpha\) auch ein Achtel von \(360^\circ\) bzw. \(2\pi\).
Für das Gradmaß von \(\alpha\) gilt also \[\alpha=\frac{1}{8} \cdot 360^\circ=45^\circ.\]
Für das Bogenmaß von \(\alpha\) gilt \[x=\frac{1}{8} \cdot 2\pi=\frac{\pi}{4}.\]
Aufgabe 2
Rechne die folgenden Gradmaße in Bogenmaß um:
a) \(22^\circ\)
b) \(405^\circ\)
c) \(119^\circ\)
Lösung
Um die Winkel im Bogenmaß zu berechnen, setzt Du die gegebenen Gradmaße in die passende Formel \(x=\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi\) ein:
a) \begin{align} x &=\frac{22^\circ}{180^\circ} \cdot \pi \\[0.1cm]&=\frac{11}{90}\pi \\[0.2cm] &\approx \text{0,83}.\end{align}
b) \(405^\circ\) entsprechen im Kreis einem Winkel von \(45^\circ\). Das liegt daran, dass der Winkel \(\alpha\) um genau \(45^\circ\) größer als \(360^\circ\) ist.
Den Wert des Bogenmaßes für den Winkel \(45^\circ\) kannst Du in der Tabelle ablesen. Er ist \(x=\frac{\pi}{4}\).
c) \begin{align} x&=\frac{119^\circ}{180^\circ} \cdot \pi \\[0.2cm]&\approx \text{2,08}.\end{align}
Aufgabe 2
Rechne die folgenden Gradmaße in Bogenmaß um:
a) \[\frac{7 \pi}{9}\]
b) \[\frac{5 \pi}{36}\]
c) \[\frac{\pi}{10}\]
Lösung
Setze die gegebenen Werte in die entsprechende Formel \(\alpha=\frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ\) ein:
a) \begin{align}\alpha&=\frac{\frac{7 \pi}{9}}{\pi} \cdot 180^\circ \\[0.1cm]&= \frac{7}{9} \cdot 180^\circ \\[0.2cm] &= 140^\circ. \end{align}
b) \begin{align} \alpha&=\frac{\frac{5\pi}{36}}{\pi} \cdot 180^\circ \\[0.1cm]&= \frac{5}{36} \cdot 180^\circ \\[0.2cm] &= 25^\circ. \end{align}
c) \begin{align} \alpha&=\frac{\frac{ \pi}{10}}{\pi} \cdot 180^\circ \\[0.1cm]&= \frac{1}{10} \cdot 180^\circ \\[0.2cm] &= 18^\circ. \end{align}
Gradmaß und Bogenmaß – Das Wichtigste
- Um einen Winkel zu beschreiben, gibt es zwei Möglichkeiten: das Gradmaß und das Bogenmaß. Beides sind Winkelmaße, mit denen die Größe eines Winkels dargestellt wird. Jeder Winkel besitzt einen Wert im Gradmaß und einen Wert im Bogenmaß.
- Hast Du einen Winkel im Gradmaß gegeben, sieht dieser stets so aus, dass ein Grad-Zeichen (\(^\circ\)) auf eine Zahl folgt, z. B. \(45^\circ\).
- Die Formel für die Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß lautet \(x=\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi.\)
- Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad), z. B. kann ein Winkel im Bogenmaß so aussehen: \(\frac{3\pi}{2}\) rad.
- Die Formel für die Umrechnung von Bogenmaß ins Gradmaß lautet \(\alpha=\frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ.\)
Nachweise
- Richter (2008). Grundwissen Mathematik für Ingenieure. Vieweg+Teubner-Verlag.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Gradmaß und Bogenmaß
Was ist das Gradmaß und das Bogenmaß?
Um einen Winkel zu beschreiben, gibt es zwei Möglichkeiten: das Gradmaß und das Bogenmaß. Beides sind Winkelmaße, mit denen die Größe eines Winkels dargestellt wird. Jeder Winkel besitzt einen Wert im Gradmaß und einen Wert im Bogenmaß.
Wann benutzt man Bogenmaß und wann Gradmaß?
Um die Größe von Winkeln zu beschreiben, können sowohl das Bogenmaß als auch das Gradmaß verwendet werden. Rechnest Du mit trigonometrischen Gleichungen oder Funktionen wie z. B. dem Sinus oder Kosinus, wird meist das Bogenmaß verwendet.
Wie kann man das Bogenmaß berechnen?
Hast Du einen Winkel α im Gradmaß gegeben, kannst Du ihn im Bogenmaß ausrechnen, indem Du ihn durch 180° teilst und dann mit Pi multiplizierst: x = (α : 180°) · π
Was ist der Zusammenhang zwischen Bogenmaß und Gradmaß?
Das Gradmaß beschreibt die Größe eines bestimmten Winkels in Grad. Das Bogenmaß beschreibt die Länge des zugehörigen Kreisbogens zu diesem Winkel. Jeder Winkel kann im Gradmaß und im Bogenmaß beschrieben werden.
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