Raute Diagonale

Raute Diagonale – Symmetrieachsen, Winkel & Diagonalenschnittpunkt

Folgende Definition der Raute wird Dir einen klaren Überblick geben, welche individuellen Eigenschaften diese aufweist.

Eine Raute sieht demnach wie folgt aus:

Abbildung 2: Die Raute

Wird nun die Raute aus Abbildung 2 bzw. dessen Eigenschaften mit jenen eines Quadrats verglichen, haben diese sehr viele Gemeinsamkeiten, jedoch gibt es einen konkreten Unterschied. Nämlich dass beim Quadrat im Gegensatz zur Raute alle Winkel immer zwingend 90° groß sind.

Raute Diagonale – Eigenschaften & Definition

Du musst in einer Hausaufgabe die Diagonale einer Raute berechnen, jedoch kannst Dich nicht erinnern, wie genau? Keine Sorge, nach dem Lesen des folgenden Abschnitts wirst Du zukünftige Hausaufgaben zur Berechnung der Diagonalen der Raute meistern.

Um genau verstehen zu können, welche Linien der Raute die Diagonalen darstellen, werden folgende drei Ausprägungsformen der Raute zum Vergleich gezogen.

Abbildung 3: Ausprägungsformen - Raute

Wie Du in der Abbildung siehst, stehen die Diagonalen der Raute immer senkrecht zueinander, unabhängig von der Ausprägungsform der Figur. Die Diagonalen der Raute müssen zwingend senkrecht zueinander stehen, denn ansonsten wären nicht alle Seiten gleich lang, was bedeutet es würde sich nicht um eine Raute handeln, sondern um ein unregelmäßiges Viereck wie folgende Abbildung aufzeigt:

Abbildung 4: Beweis Diagonalen senkrecht

Der folgende Abschnitt zeigt, wie mithilfe der Diagonalen eine Raute gezeichnet werden kann.

Raute zeichnen mit Diagonale

Um Eine Raute bei gegebenen Diagonalen zeichnen zu können, verwendest Du am besten ein kariertes Rechenblatt und zeichnest die Diagonale e mit dem jeweiligen Wert auf die vorgegeben Linien des Rechenblattes. Im Anschluss daran zeichnest Du von der Mitte der Diagonale e einen vertikale Linie mit der Länge der Diagonale f. Nun Können die nebeneinander anliegenden Eckpunkte miteinander verbunden werden.

Zur besseren Veranschaulichung folgendes Beispiel:

Raute Diagonale – Länge ablesen

Nun wird geklärt, wie genau zum einen die Seitenlängen der Raute abgelesen werden kann und im Anschluss daran, wie diese auf verschiedene Arten und Weisen berechnet wird.

Wie genau eine Diagonale bei einer Raute abgelesen werden kann, soll folgendes Beispiel klären.

Natürlich können die Diagonalen auch berechnet werden, da zum einen das Abmessen nicht immer genau ist und zum anderen dies bei größeren Werten sehr schwierig werden kann.

Raute Diagonalen gleich lang

Sind beide Diagonalen einer Raute gleich lang, so können diese entweder aus der Fläche heraus oder mithilfe der Seite a unter Anwendung des Lehrsatzes nach Pythagoras ermittelt werden.

Raute Diagonalen berechnen mit Flächeninhalt

Da bei dieser speziellen Ausprägungsform der Raute beide Diagonalen gleich lang sind, können diese auch mit demselben Buchstaben bezeichnet werden. Um nun die Vorgehensweise dieser Berechnungsmethode sich besser vorstellen zu können, wird folgende Skizze verwendet.

Abbildung 10: Beschriftung Diagonalen - Raute

Als Basis Wissen für diese Berechnungsmethode muss verstanden werden, wie die Fläche einer Raute berechnet werden kann.

Als Nächstes wird diese Formel nach unserer angefertigten Skizze angepasst, indem anstelle von f ebenfalls e eingesetzt wird, da beide Diagonalen gleich lang sind und somit denselben Wert aufweisen.

$A=\frac{\hspace{0.17em}e·f}{2}\to A=\frac{e·e}{2}=\hspace{0.17em}\frac{e^2}{2}$

Wird nun die angepasste Formel nach der Seite e freigestellt, sieht die Berechnungsformel der Diagonalen wie folgt aus:

$\begin{array}{rcl}A& =& \frac{e^2}{2}|MultiplizieremitZwei\\ & & \\ 2\cdot A& =& e^2|ZiehedieWurzel\\ & & \\ \sqrt{2\cdot A}& =& \hspace{0.17em}e\end{array}$

Anhand folgendem Beispiel wird diese Formel verdeutlicht.

Raute Diagonale berechnen mit Satz des Pythagoras

Folgende Abbildung einer Raute mit gleich langen Diagonalen zeigt auf, dass die beiden Diagonalen die Raute in vier gleich große rechtwinklige Dreiecke unterteilen.

Abbildung 11: Rechtwinklige Dreiecke

Jedes der Dreiecke hat dabei zwei Seiten mit der Länge $\frac{e}{2}$ und eine dritte Seite mit der Länge a.

Abbildung 12: Satz des Pythagoras

Nun kann mithilfe des Satzes nach Pythagoras die Berechnungsformel für die Diagonale e aufgestellt werden. Dies sieht wie folgt aus:

$\begin{array}{rcl}K{1}^2+K{2}^2& =& \hspace{0.17em}{H}^2|setzedieBuchstabenanstellevonK1,K2undHein\\ & & \\ {\left(\frac{e}{2}\right)}^2+{\left(\frac{e}{2}\right)}^2& =& \hspace{0.17em}{a}^2|da{\left(\frac{e}{2}\right)}^{2}zweiMalvorkommt,kanndiesvereinfachtwerden\\ & & \\ 2·{\left(\frac{e}{2}\right)}^2& =& a^2|dividieredieGleichungdurch2\\ & & \\ {\left(\frac{e}{2}\right)}^2& =& \frac{a^2}{2}|ziehedieWurzelaus\frac{a}{2}\\ & & \\ \frac{e}{2}& =& \sqrt{\frac{a^2}{2}}|multiplizieredasErgebnisderWurzelmit2\\ & & \\ e& =& \sqrt{\frac{a^2}{2}}·2\end{array}$

Anhand des praktischen Beispiels soll verdeutlicht werden, wie mithilfe der Seite a, die Diagonalen in der Raute berechnet werden können, falls die Diagonalen gleich lang sind.

Raute Diagonale berechnen – unterschiedliche Längen

Wenn die Diagonalen der Raute unterschiedlich lang sind, kann jeweils eine der Diagonalen entweder bei gegebenem Flächeninhalt und einer Diagonale oder einer Diagonalen und der Seite a berechnet werden. Wie dabei vorgegangen wird soll der nächste Abschnitt klären.

Berechnung mit dem Flächeninhalt

Für diese Berechnungsmethode wird lediglich die Flächenformel der Raute hingeschrieben, hierbei die Gleichung nach der fehlenden Variable freigestellt, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst. Auf ein Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus:

Dieses Beispiel hat nun bewiesen und aufgezeigt, wie die Diagonalen einer Raute mithilfe der Fläche und der anderen Diagonale berechnet werden können.

Berechnung mit dem Satz des Pythagoras

Für diese Berechnungsmethode kommt der Satz des Pythagoras zur Anwendung, wobei die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks nun a, $\frac{f}{2}$ und $\frac{e}{2}$ lauten. Hierbei wird der allgemeine Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der gesuchten Variable freigestellt und im Anschluss daran die Gleichung gelöst. Nun folgt ein Beispiel hierzu zur besseren Veranschaulichung.

Dieses Beispiel hat nun bewiesen und aufgezeigt, wie die Diagonalen einer Raute mithilfe der Seite a und der anderen Diagonale berechnet werden können.

Nun auf zu Übungsaufgaben zum Thema Diagonale der Raute!

Raute Diagonale berechnen – Übungsaufgaben

Los geht's mit einer Aufgabe zum Thema Diagonale der Raute berechnen.

Als nächstes ein kurzes Beispiel zur Berechnung der Diagonale f der Raute bei gegebener Diagonale f und Seite a.

Auf zur nächsten Aufgabe!

Die abschließende Aufgabe lautet wie folgt: