Raute Diagonale

Aufgabe 1

Zeichne eine Raute, dessen Diagonalen folgende Werte aufweisen, wobei zwei Kästchen im Rechenheft einen cm darstellen.

$$\begin{gathered} e=\hspace{0.17em}3cm \\ f=\hspace{0.17em}2cm \end{gathered}$$

Lösung

Als ersten Schritt wird eine 3 cm lange horizontale Strecke in das Rechenheft eingezeichnet. Im Anschluss daran wird eine 2 cm lange vertikale Linie, welche vom Mittelpunkt der Strecke e ausgeht, eingezeichnet und die Eckpunkte miteinander verbunden.

Abbildung 5: Raute zeichnenSchritt 1Abbildung 6: Raute zeichnenSchritt 2Abbildung 7: Raute zeichnenSchritt 3

Aufgabe 2

Du möchtest wissen wie lang die Diagonalen folgender Raute sind, wobei ein Kästchen eine Länge von $0,5cm$ aufweist.

Abbildung 8: Diagonalen - Raute

Lösung

Hierfür kannst Du entweder die Kästchen zählen und danach das Ergebnis mit 0,5 multiplizieren oder die Länge der Diagonalen direkt mit Deinem Geodreieck abmessen. In diesem Beispiel wird Ersteres herangezogen. Folgende Abbildung zeigt die Anzahl der Kästchen auf:

Abbildung 9: Händisches Zählen der Kästchen

Um nun die Länge der Strecke auszurechnen wird wie folgt vorgegangen:

$\begin{array}{rcl}e& =& \hspace{0.17em}6Kästchenf=4Kästchen\\ & & \\ e& =& \hspace{0.17em}6·0,5cmf=\hspace{0.17em}4·0,5cm\\ & & \\ e& =& 3cmf=\hspace{0.17em}2cm\end{array}$

Die Seite e ist demnach $3cm$und die Diagonale f $2cm$ lang.

Aufgabe 3

Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:

$A\hspace{0.17em}=100c{m}^2$

Lösung

Da die Diagonalen einer Raute aus der Fläche berechnet werden sollen, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden. Um dieses Beispiel zu lösen, gehen wir wie folgt vor:

$$\begin{gathered} e=\hspace{0.17em}\sqrt{2\cdot A}|setzedenWertfürdieFlächeAeinundmultiplizieremit2 \\ e=\sqrt{200}|BerechnedieWurzelaus100 \\ e=\hspace{0.17em}14,14 \end{gathered}$$

Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils $14,14cm$.

Aufgabe 4

Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgenden Wert auf:

$a=8cm$

Lösung

Da die Diagonalen aus der Seite a berechnet werden soll, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden.

$\begin{array}{rcl}e& =& \sqrt{\frac{a^2}{2}}·2|setzedenWertfüraein\\ & & \\ e& =& \hspace{0.17em}\sqrt{\frac{8^2}{2}}·2|Berechneachthoch2\\ & & \\ e& =& \hspace{0.17em}\sqrt{\frac{64}{2}}·2|LösedenBruchauf\\ & & \\ e& =& \hspace{0.17em}\sqrt{32}·2|ZiehedieWurzelaus32\\ & & \\ e& =& 5,66·2|Multipliziere5,66mit2\\ & & \\ e& =& \hspace{0.17em}11,32\end{array}$

Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils $11,32$ cm.

Aufgabe 5

Eine Raute weist folgende Werte auf:

$A=126m^2$

$e=7m$

Berechne die Diagonale f.

Lösung

Nun wird, wie beschrieben, die allgemeine Flächenformel der Raute aufgeschrieben, diese nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von A und f eingesetzt und die Gleichung gelöst.

$\begin{array}{rcl}A\hspace{0.17em}& =& \hspace{0.17em}\frac{e\cdot f}{2}|MultiplizieredieGleichungmitzwei\\ & & \\ A\cdot 2& =& \hspace{0.17em}e\cdot f|DividieredieGleichungdurche\\ & & \\ \frac{A\cdot 2}{e}& =& \hspace{0.17em}f|SetzedieWertefürAundeein\\ & & \\ \frac{126\cdot 2}{7}& =& \hspace{0.17em}f|Multipliziere126mitzwei\\ & & \\ \frac{252}{7}& =& f|LösedenBruchauf\\ & & \\ 36& =& \hspace{0.17em}f\\ & & \end{array}$

Somit beträgt die Diagonale f der Raute $36m$.

Aufgabe 6

Eine Raute weist folgende Werte auf:

$a=5m$

$e=7m$

Berechne die Diagonale f.

Lösung

Nun wird, wie beschrieben, der Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von a und f eingesetzt und die Gleichung gelöst. Verwende bei Aufgabenstellungen zum Themengebiet Satz des Pythagoras eine Skizze, welche den Sachverhalt visuell verdeutlicht.

Abbildung 13: Der Satz des Pythagoras

Wenn nun in den Satz nach Pythagoras die Werte $\frac{e}{2}$ und $\frac{f}{2}$ anstelle von K1 und K2 und die Seite a für H eingesetzt und nach der gesuchten Variable f freigestellt werden, sieht dies wie folgt aus:

$$\begin{gathered} K{1}^2+K{2}^2=\hspace{0.17em}{H}^2|SetzedieVariablenanstellevonK1,K2undHein \\ {\left(\frac{e}{2}\right)}^2+{\left(\frac{f}{2}\right)}^2=a^2|Subtrahiere{\left(\frac{e}{2}\right)}^2 \\ {\left(\frac{f}{2}\right)}^2=a^2-{\left(\frac{e}{2}\right)}^2|ZiehedieWurzelderGleichung \\ \frac{f}{2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{e}{2}\right)}^2}|MultiplizieredieGleichungmitzwei \\ f=\sqrt{a^2-{\left(\frac{e}{2}\right)}^2}\cdot 2 \end{gathered}$$

Als nächstes werden die Werte für a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.

$$\begin{gathered} f=\sqrt{5^2-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2}\cdot 2|LösedenBruchauf \\ f=\sqrt{5^2-3,5^2}\cdot 2|BerechnediePotenzvon5und3,5 \\ f=\sqrt{25-12,25}\cdot 2|Subtrahiere12,25von25 \\ f=\sqrt{12,75}\cdot 2|ZiehedieWurzelvon12,75 \\ f=3,57\cdot 2|Multipliziere3,57mitzwei \\ f=\hspace{0.17em}7,14 \end{gathered}$$

Somit beträgt die Diagonale f der Raute $7,14$ m.

Aufgabe 7

Eine Raute weist folgende Werte auf:

$$\begin{gathered} A=240m^2 \\ e=\hspace{0.17em}18m \end{gathered}$$

Berechne die Diagonale f.

Lösung

Nun wird die allgemeine Flächenformel der Raute aufgeschrieben, diese nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von A und f eingesetzt und die Gleichung gelöst.

$\begin{array}{rcl}A\hspace{0.17em}& =& \hspace{0.17em}\frac{e\cdot f}{2}|MultiplizieredieGleichungmitzwei\\ & & \\ A\cdot 2& =& \hspace{0.17em}e\cdot f|DividieredieGleichungdurche\\ & & \\ \frac{A\cdot 2}{e}& =& \hspace{0.17em}f|SetzedieWertefürAundeein\\ & & \\ \frac{240\cdot 2}{18}& =& \hspace{0.17em}f|Multipliziere240mitzwei\\ & & \\ \frac{480}{18}& =& f|LösedenBruchauf\\ & & \\ 26,67& =& \hspace{0.17em}f\\ & & \end{array}$

Somit beträgt die Diagonale f der Raute $26,67m$.

Aufgabe 8

Eine Raute weist folgende Werte auf:

$$\begin{gathered} a=9m \\ e=15m \end{gathered}$$

Berechne die Diagonale f.

Lösung

Nun wird der Satz des Pythagoras hingeschrieben, dieser nach der fehlenden Diagonale f freigestellt, die Werte aus der Angabe anstelle von a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.

Abbildung 14: Der Satz des Pythagoras

Wenn nun in den Satz nach Pythagoras die Werte $\frac{e}{2}$ und $\frac{f}{2}$ anstelle von K1 und K2 und die Seite a für H eingesetzt und nach der gesuchten Variable f freigestellt werden, sieht dies wie folgt aus:

$$\begin{gathered} K{1}^2+K{2}^2=\hspace{0.17em}{H}^2|SetzedieVariablenanstellevonK1,K2undHein \\ {\left(\frac{e}{2}\right)}^2+{\left(\frac{f}{2}\right)}^2=a^2|Subtrahiere{\left(\frac{e}{2}\right)}^2 \\ {\left(\frac{f}{2}\right)}^2=a^2-{\left(\frac{e}{2}\right)}^2|ZiehedieWurzelderGleichung \\ \frac{f}{2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{e}{2}\right)}^2}|MultiplizieredieGleichungmitzwei \\ f=\sqrt{a^2-{\left(\frac{e}{2}\right)}^2}\cdot 2 \end{gathered}$$

Als nächstes werden die Werte für a und e eingesetzt und die Gleichung gelöst.

$$\begin{gathered} f=\sqrt{9^2-{\left(\frac{15}{2}\right)}^2}\cdot 2|LösedenBruchauf \\ f=\sqrt{9^2-7,5^2}\cdot 2|BerechnediePotenzvon9und7,5 \\ f=\sqrt{81-56,25}\cdot 2|Subtrahiere56,25von81 \\ f=\sqrt{24,75}\cdot 2|ZiehedieWurzelvon24,75 \\ f=4,97\cdot 2|Multipliziere4,97mitzwei \\ f=\hspace{0.17em}9,94 \end{gathered}$$

Somit beträgt die Diagonale f der Raute $9,94$ m.

Aufgabe 9

Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:

a = $14cm$

Lösung

Da die Diagonalen aus der Seite a berechnet werden soll, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden.

$\begin{array}{rcl}e& =& \sqrt{\frac{a^2}{2}}·2|setzedenWertfüraein\\ & & \\ e& =& \hspace{0.17em}\sqrt{\frac{{14}^2}{2}}·2|Berechne14hoch2\\ & & \\ e& =& \hspace{0.17em}\sqrt{\frac{196}{2}}·2|LösedenBruchauf\\ & & \\ e& =& \hspace{0.17em}\sqrt{98}·2|ZiehedieWurzelaus98\\ & & \\ e& =& 9,9·2|Multipliziere9,9mit2\\ & & \\ e& =& \hspace{0.17em}19,8\end{array}$

Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils $19,8$ cm.

Aufgabe 10

Eine Raute mit gleich langen Diagonalen weist folgende Werte auf:

A = $4050c{m}^2$

Lösung

Da die Diagonalen einer Raute aus der Fläche berechnet werden sollen, kann die zuvor hergeleitete Formel verwendet werden. Um dieses Beispiel zu lösen, gehen wir wie folgt vor:

$$\begin{gathered} e=\hspace{0.17em}\sqrt{2\cdot A}|setzedenWertfürdieFlächeAeinundmultiplizieremit2 \\ e=\sqrt{8100}|BerechnedieWurzelaus8100 \\ e=\hspace{0.17em}90 \end{gathered}$$

Somit beträgt die Länge der beiden Diagonalen jeweils $90$cm.