Drachenviereck

Aufgabe 1

Gegeben ist ein Drachenviereck ABCD und dessen Diagonalen $e=7cm$ und $f=4cm$. Wie groß ist der Flächeninhalt A des Vierecks ABCD?

Lösung

Gehe dabei in diesen zwei einfachen Schritten vor.

Schritt 1:

Stelle die Formel für den Flächeninhalt A des Drachenvierecks auf. Diese lernst Du am besten auswendig.

$A=\frac{1}{2}·e·f$

Schritt 2:

Setze die Längen der Diagonalen $e=7cm$ und $f=4cm$ in die Formel ein und berechne den Wert des Flächeninhalts.

$A=\frac{1}{2}·7cm·4cm=14c{m}^2$

Der Flächeninhalt A dieses Drachenvierecks beträgt 14 cm².

Aufgabe 2

Gegeben ist das folgende Drachenviereck ABCD mit seinen Seitenlängen $a=3cm$ und $c=5cm$.

Berechne den Umfang U dieses Vierecks.

Abbildung 17: Drachenviereck Aufgabe Umfang

Lösung

In zwei Schritten bist Du am Ziel.

1. Schritt:

Stelle die Formel für den Umfang eines Drachenvierecks auf. Diese solltest Du Dir am besten auswendig lernen oder herleiten können (Umfang ist so lang wie eine Schnur um das gesamte Viereck).

In diesem Beispiel ist nur die Strecke c gegeben. Da aber die Strecken b und c gleich lang sind, kannst du in der Formel auch b durch c ersetzen.

$U=2a+2b=2a+2c$

2. Schritt:

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein und berechne den Umfang U.

$U=2·3cm+2·5cm=6cm+10cm=16cm$

Der Umfang U dieses Drachenvierecks beträgt 16 cm.

Aufgabe 3

Gegeben ist das Drachenviereck ABCD, sein Flächeninhalt $A=20c{m}^2$ und eine der Diagonalen $e=8cm$.

Wie lang ist die zweite Diagonale f?

Lösung

Zunächst sollten Dir die Zusammenhänge der gegebenen Größen im Drachenviereck klar sein.

In diesem Fall hängen der Flächeninhalt und die gesuchte Diagonale über die Berechnungsformel des Flächeninhalts zusammen. Diese lautet...

$A=\frac{1}{2}·e·f$

Die Formel kannst Du jetzt nach der gesuchten Größe umstellen.

$\begin{array}{rcl}A& =& \frac{1}{2}·e·f|·2\\ 2·A& =& e·f|:e\\ \frac{2·A}{e}& =& f\end{array}$

Dann ist der Weg nicht mehr weit, Du musst nur noch die bereits gegebenen Größen einsetzen und den Wert der Diagonale berechnen.

$f=\frac{2·A}{e}=\frac{2·20c{m}^2}{8cm}=\frac{40c{m}^2}{8cm}=5cm$

Die Diagonale f ist 5 Zentimeter lang.

Aufgabe 4

Gegeben ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC $A=12c{m}^2$ und die Länge der Diagonale $e=8cm$.

Wie lang ist die Diagonale f?

Lösung

Hierbei machst Du Dir die Eigenschaft zu Nutze, dass die Diagonale e das Drachenviereck in zwei kongruente Dreiecke schneidet und außerdem die Diagonale f genau mittig halbiert.

Schaue Dir also in diesem Fall zu Beginn nur das Dreieck ABC an, um die Aufgabe zu lösen.

Abbildung 19: Drachenviereck Aufgabe Diagonale

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird mithilfe dieser Formel berechnet:

$A=\frac{1}{2}·e·h_e$

Die Höhe eines Dreiecks zu einer bestimmten Seite (hier e) ist dabei immer das senkrechte Lot zur Seite, dass durch den gegenüberliegenden Punkt verläuft. In diesem Fall steht die Hälfte der Strecke f senkrecht auf e und geht durch den Punkt B. Das heißt die Höhe lautet $h_e=\frac{1}{2}f$ .

$\Rightarrow A=\frac{1}{2}·e·\frac{1}{2}f$

Diese Formel muss jetzt nur noch nach der gesuchten Größe (f) umgestellt werden.

$\begin{array}{rcl}A& =& \frac{1}{2}·e·\frac{1}{2}f\\ A& =& \frac{1}{4}·e·f|·4\\ 4·A& =& e·f|:e\\ \frac{4·A}{e}& =& f\end{array}$

Jetzt musst Du nur noch alle Werte einsetzen und f berechnen.

$f=\frac{4·A}{e}=\frac{4·12c{m}^2}{8cm}\underset{4}{=}\frac{4·3c{m}^2}{2cm}\underset{2}{=}2·3cm=6cm$

Die Diagonale f besitzt eine Länge von 6 cm.

Aufgabe 5

Gegeben sind die Größen $a=2cm$, $e=8cm$, $\frac{1}{2}f=1,5cm$ und der Umfang $U=18cm$.

Berechne alle fehlenden Größen (b,c,d,f).

Lösung

Schritt 1:

Es handelt sich um ein Drachenviereck, das heißt es gilt das Seitenlängenpaar $a=d$. Damit ist ...

Schritt 2:

Um f zu erhalten, musst du die Gleichung umstellen.

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{2}f& =& 1,5cm|·2\\ f& =& 3cm\end{array}$

Schritt 3:

Nun fehlen noch die Größen b und c. Hier musst Du den Umfang U heranziehen. Die Formel für den Umfang des Drachenvierecks lautet...

$U=2a+2b$

Stelle die Formel nach der gesuchten Größe b um und setze alles gegebene ein.

$\begin{array}{rcl}U& =& 2a+2b|-2a\\ U-2a& =& 2b|:2\\ b& =& \frac{U-2a}{2}\\ & & \\ b& =& \frac{18cm-2·2cm}{2}=\frac{14cm}{2}=7cm\\ & & \end{array}$

Da b und c gleich lang sind gilt für c ebenfalls $c=7cm$.

Somit sind alle fehlenden Größen gefunden. Super!

Aufgabe 6

Gegeben ist der Winkel $\gamma =60°$ und die Seite $f=6cm$ .

Berechne die Länge der Seite c.

Lösung

Bei diesen typischen Aufgabentypen zum Drachenviereck ist das Teilgebiet der Trigonometrie von Bedeutung. Sollte Dir das nicht mehr so viel sagen, mache Dich im Artikel Trigonometrie noch einmal schlau.

Abbildung 21: Drachenviereck Aufgabe Seitenlängen

Bei dieser Aufgabe ist das Dreieck CDM von Bedeutung. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck, hier kann also mit Sinus, Kosinus und Tangens gerechnet werden.

Und genau das nutzt Du auch aus:

• Du kennst den Winkel γ, der durch e genau halbiert wird.
• Die Strecke $\frac{1}{2}f$ ist in diesem Dreieck die Gegenkathete des Winkel γ. Du kannst sie Dir ausrechnen, da die Länge der Strecke f gegeben ist.

Um jetzt c zu bekommen, hilft Dir der Sinus, denn für diesen gilt...

$\sin \left(\alpha \right)=\frac{Gegenkathete}{Hypothenuse}$

Das entspricht in diesem Beispiel...

$\sin \left(\frac{1}{2}\gamma \right)=\frac{\frac{1}{2}f}{c}$

Jetzt muss nur noch umgestellt, eingesetzt und berechnet werden.

$\to c=\frac{\frac{1}{2}f}{\sin \left(\frac{1}{2}\gamma \right)}=\frac{\frac{1}{2}·6cm}{\sin (\frac{1}{2}·60°)}=\frac{3cm}{\sin (30°)}=\frac{3cm}{0,5}=6cm$

Die Seite c hat also eine Länge von 6 cm.