Drachenviereck Seiten: Eigenschaften & Formel

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Drachenviereck Eigenschaften Seiten

Das Drachenviereck ist eine wichtige Figur der Geometrie. Drachenvierecke sind Vierecke mit besonderen Eigenschaften.

Das Drachenviereck gehört der Gruppe der Vierecke an und weist insgesamt vier Seiten auf, wobei jeweils zwei aneinander angrenzende Seiten gleich lang sind. Ein weiteres wichtiges Merkmal des Drachenvierecks ist, dass jene Diagonale, welche von oben nach unten verläuft, zugleich die Symmetrieachse der Figur darstellt.

Visuell dargestellt und vollständig beschriftet, sieht ein Drachenviereck wie folgt aus:

Seitenlänge Drachenviereck Drachenviereck StudySmarter Abbildung 1: Das Drachenviereck - Beschriftung

Merke: Das Drachenviereck unterscheidet sich vom Rechteck wie folgt:

Beim Rechteck sind alle Winkel immer zwingend 90° groß. Beim Drachenviereck sind diese beliebig groß!

Doch was wird nun genau unter der Seitenlänge des Drachenvierecks verstanden?

Unter der Seitenlänge des Drachenvierecks wird in der Mathematik die Länge der Strecke a, welche zwei nebeneinanderliegende Eckpunkte A und B dieser geometrischen Figur miteinander verbindet, verstanden.

Folgende drei geometrische Figuren werden zum Vergleich gezogen, um diese Definition grafisch zu verdeutlichen.

Seitenlänge Drachenviereck Seitenlänge geometrische Figuren StudySmarter Abbildung 2: Die Seitenlänge geometrischer Figuren

Wie in der folgenden Abbildung 2 erkenntlich wird, gibt es geometrische Figuren mit drei, vier oder mehr Seiten. Zudem kann die Länge der jeweiligen Seiten unterschiedlich groß sein, wobei das Verwenden desselben Buchstabens für die Beschriftung mehrerer Seiten dafür steht, dass diese gleich groß sind.

Hier eine kurze Übersicht der Seitenlänge und Anzahl der Seiten der abgebildeten geometrischen Figuren.

Figur	Seitenanzahl	Ecken	Länge der Seite a	Länge der Seite b
Dreieck	3	3	$5 c m$	$6 c m$
Drachenviereck	4	4	$3 c m$	$1, 8 c m$
Sechseck	6	6	$1, 4 c m$	$2, 6 c m$

Das Drachenviereck fällt somit in die Kategorie der Vierecke, aufgrund ihrer vier Seiten und Ecken.

Die folgenden Abschnitte zeigen auf, wie die Seitenlängen eines Drachenvierecks abgelesen und mit welchen Methoden diese berechnet werden können.

Drachenviereck Seitenlänge ablesen

Wie genau eine Seitenlänge bei einem Drachenviereck abgelesen wird, soll folgendes Beispiel veranschaulichen.

Aufgabe 1

Du möchtest wissen, wie lang die Seiten des folgenden Drachenvierecks sind. Miss diese mithilfe Deines Lineals oder Geodreiecks!

Seitenlänge Drachenviereck Abmessen der Seitenlänge StudySmarter Abbildung 3: Drachenviereck - Ablesen der Seitenlänge

Lösung

Nimm Dein Lineal zu Hand und miss die Länge der Seiten ab, indem die Null dessen auf einen beliebigen Punkt gelegt wird. Der Abstand des Punktes hin zum angrenzenden Eckpunkt wird auch als Seitenlänge bezeichnet.

Seitenlänge Drachenviereck Seitenlänge abmessen StudySmarter Abbildung 4: Seitenlänge abmessen

Wenn richtig abgemessen, hat die Seite a eine Länge von $7 c m$ und die Seite b eine Länge von $3, 8 c m$ .

Je nachdem, wie sehr die Abbildung vergrößert wird, können diese Werte abweichen

Natürlich kann die Seite a auch auf verschiedene Art und Weisen berechnet werden, da zum einen das Abmessen nicht immer genau ist und genaues Abmessen bei größeren Werten schwierig werden kann. Diese verschiedenen Möglichkeiten werden nun im Detail behandelt.

Drachenviereck Seiten berechnen

Um die Seitenlänge a und b aus dem Umfang eines Drachenvierecks berechnen zu können, ist es essenziell zu verstehen, was genau der Umfang U ist und welcher Zusammenhang zwischen diesem und den Seitenlängen besteht.

Unter dem Umfang U des Drachenvierecks wird die Summe aller Seiten des Drachenvierecks, welche diese Figur begrenzen, verstanden und wird wie folgt berechnet:

U = 2 \cdot a + 2 \cdot b o d e r U = 2 \cdot (a + b)

Zur Veranschaulichung der Definition und der Formeln soll folgende Abbildung helfen.

Seitenlänge Drachenviereck Seitenlänge vs. Umfang StudySmarter Abbildung 5: Seitenlänge vs. Umfang

Da mithilfe der beiden Seitenlängen der Umfang ausgerechnet werden kann, können diese umgekehrt auch aus dem Umfang berechnet werden. Wie genau dies funktioniert, wird jetzt anhand eines Beispiels geschildert.

Merke, dass für diese Methode zwingend der Umfang und eine der beiden Seiten gegeben sein muss!

Aufgabe 2

Ein Drachenviereck weist folgende Werte auf:

$U = 64 c m a = 20 c m$

Berechne die Seite b der Figur!

Lösung

Die Seite b wird berechnet, indem die Umfangsformel nach dieser Variable freigestellt wird und anschließend die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst wird.

$\begin{array}{rcl} U & = & 2 \cdot a + 2 \cdot b | s u b t r a h i e r e 2 \cdot a \\ U - 2 \cdot a & = & 2 \cdot b | d i v i d i e r e d u r c h 2 \\ \frac{U - 2 \cdot a}{2} & = & b \end{array}$

Um jetzt den Wert für die Seite b zu erhalten, müssen die Werte für den Umfang U und die Seite a in die Formel eingesetzt werden.

$\begin{array}{rcl} \frac{U - 2 \cdot a}{2} & = & b | s e t z e d i e W e r t e f ü r U u n d a e i n \\ \frac{64 c m - 2 \cdot 20 c m}{2} & = & b | b e r e c h n e 2 \cdot 20 c m \\ \frac{64 c m - 40 c m}{2} & = & b | b e r e c h n e 64 c m - 40 c m \\ \frac{24 c m}{2} & = & b | d i v i d i e r e 24 c m d u r c h 2 \\ 12 c m & = & b \end{array}$

Die Seite b des Drachenvierecks mit dem Umfang von $64 c m$ und der Seite a von $20 c m$ beträgt also $12 c m$ .

Somit wurde in diesem Beispiel die Formel für die Berechnung der Seitenlänge korrekt aus der Umfangsformel hergeleitet.

Die Formel für die Berechnung der Seitenlänge des Drachenvierecks aus dem Umfang lautet somit:

$a = \frac{U - 2 \cdot b}{2} u n d b = \frac{U - 2 \cdot a}{2}$

Es gibt auch noch weitere Möglichkeiten, die Seitenlängen zu berechnen. Weiter geht’s!

Drachenviereck Seiten – Formel

Wie folgende Abbildung zeigt, wird die Diagonale e am Schnittpunkt mit der Diagonale f in zwei Teilstrecken unterteilt, nämlich der Strecke x und der Strecke y.

Seitenlänge Drachenviereck Berechnung mit Diagonalen StudySmarter Abbildung 6: Drachenviereck - Die Diagonalen und Teilstrecken

Weiters unterteilen die Diagonalen die Figur in vier rechtwinklige Dreiecke, was bedeutet, dass unter Anwendung des Satzes nach Pythagoras eine der Seiten berechnet werden kann, vorausgesetzt die anderen beiden sind angegeben.

Seitenlänge Drachenviereck Drachenviereck Rechtwinklige Dreiecke StudySmarter Abbildung 7: Drachenviereck - Rechtwinklige Dreiecke

Wie genau wird hierbei vorgegangen?

Drachenviereck fehlende Seiten berechnen

In folgenden Abschnitten werden die verschiedenen Methoden aufgezeigt, wie die Seitenlänge a und b berechnet werden können.

Seite eines Drachenvierecks mit der Strecke x berechnen

Folgende Abbildung zeigt das rechtwinklige Dreieck, welches für die Berechnung der Seite a mithilfe des Lehrsatzes nach Pythagoras herangezogen wird. Die Strecke y reicht vom Eckpunkt A hin zum Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Die kürzeren und am rechten Winkel anliegenden Seiten des Dreiecks werden als Katheten bezeichnet, hingegen die gegenüberliegende bzw. längste Seite als Hypotenuse, wie folgende Abbildung demonstriert.

Seitenlänge Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarter Abbildung 8: Satz des PythagorasAbbildung 8: Satz des Pythagoras

Um nun die Hypotenuse a, also die längste Seite dieses Dreiecks berechnen zu können, wird wie folgt vorgegangen:

Schritt 1:

\begin{array}{rcl} K 1^{2} + K 2^{2} & = & H^{2} | s c h r e i b e d e n L e h r s a t z n a c h P y t h a g o r a s a u f \end{array}

Schritt 2:

\begin{array}{rcl} y^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2} & = & a^{2} | s e t z e d i e V a r i a b l e n a n s t e l l e v o n K 1, K 2 u n d H e i n \\ \sqrt{y^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}} & = & a | z i e h e d i e W u r z e l u m a f r e i z u s t e l l e n \end{array}

Somit kann folgendes ausgesagt werden:

Die Seitenlänge a kann mithilfe der Seite y und der Diagonale f mit folgender Formel berechnet werden:

$a = \sqrt{y^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}}$

Folgendes Beispiel soll die Vorgehensweise der Berechnung verdeutlichen.

Aufgabe 3

Ein Drachenviereck weist folgende Werte auf:

$y = 8 c m f = 20 c m$

Berechne die Seite a dieser Figur!

Lösung

Um diese Aufgabe zu lösen, müssen vorerst die beiden Werte für y und f in die Berechnungsformel der Seite a eingesetzt und anschließend die Gleichung gelöst werden.

$\begin{array}{rcl} a & = & \sqrt{y^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}} | s e t z e d i e W e r t e a n s t e l l e d e r B u c h s t a b e n e i n \\ a & = & \sqrt{{(8 c m)}^{2} + {(\frac{20 c m}{2})}^{2}} | l ö s e d e n B r u c h a u f, i n d e m d u 20 d u r c h 2 d i v i d i e r s t \\ a & = & \sqrt{{(8 c m)}^{2} + {(10 c m)}^{2}} | b e r e c h n e d i e P o t e n z v o n 8 c m u n d 10 c m \\ a & = & \sqrt{64 c m^{2} + 100 c m^{2}} | a d d i e r e 64 c m^{2} u n d 100 c m^{2} \\ a & = & \sqrt{164 c m^{2}} | b e r e c h n e d i e W u r z e l a u s 164 c m^{2} \\ a & = & 12, 81 c m \end{array}$

Die Seite a des Drachenvierecks ist somit $12, 81 c m$ lang.

Seite eines Drachenvierecks mit der Strecke y berechnen

Um hingegen die Seite b berechnen zu können, muss eines der beiden oberen Dreiecke, wie in den Abbildungen markiert, herangezogen werden. Ansonsten wird gleich vorgegangen.

Seitenlänge Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarter Abbildung 10: Drachenviereck - Satz des PythagorasAbbildung 11: Drachenviereck - Satz des Pythagoras

Um nun die Hypotenuse b, also die längste Seite dieses Dreiecks berechnen zu können, wird wie folgt vorgegangen:

Schritt 1:

$\begin{array}{rcl} K 1^{2} + K 2^{2} & = & H^{2} | s c h r e i b e d e n L e h r s a t z n a c h P y t h a g o r a s a u f \end{array}$

Schritt 2:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2} & = & a^{2} | s e t z e d i e V a r i a b l e n a n s t e l l e v o n K 1, K 2 u n d H e i n \\ \sqrt{x^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}} & = & a | z i e h e d i e W u r z e l u m a f r e i z u s t e l l e n \end{array}$

Somit kann folgendes ausgesagt werden:

Die Seitenlänge b kann mithilfe der Seite x und der Diagonale f mit folgender Formel berechnet werden:

$b = \sqrt{x^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}}$

Folgendes Beispiel soll die Vorgehensweise der Berechnung verdeutlichen.

Aufgabe 4

Ein Drachenviereck hat folgende Maße:

$x = 10 m f = 30 m$

Berechne die fehlende Seite b!

Lösung

Setze die Werte in die zuvor definierte Formel ein und löse die Gleichung wie folgt:

$b = \sqrt{x^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}} | s e t z e d i e W e r t e a n s t e l l e d e r B u c h s t a b e n e i n b = \sqrt{{(10 m)}^{2} + {(\frac{30 m}{2})}^{2}} | l ö s e d e n B r u c h a u f, i n d e m 30 d u r c h 2 d i v i d i e r t w i r d b = \sqrt{{(10 m)}^{2} + {(15 m)}^{2}} | b e r e c h n e d i e P o t e n z v o n 10 m u n d 15 m b = \sqrt{100 m^{2} + 225 m^{2}} | a d d i e r e 100 m^{2} u n d 225 m^{2} b = \sqrt{325 m^{2}} | b e r e c h n e d i e W u r z e l a u s 325 m^{2} b = 18, 03 m$

Die Länge der Seite b beträgt $18, 03 m$ .

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Seitenlänge Drachenviereck – Eine anspruchsvolle Aufgabe

Für das korrekte Lösen dieses kniffligen Beispiels wird ein fortgeschrittenes geometrisches Verständnis benötigt.

Wenn Du dieses Beispiel korrekt lösen oder den durchgeführten Schritten folgen kannst, dann wird Dir keine zukünftige Aufgabe zum Drachenviereck mehr Schwierigkeiten bereiten!

Aufgabe 5

Dein Mathematiklehrer zeigt Dir eine Abbildung einen selbst-gebastelten Drachens und behauptet: „Wenn Du den Umfang dieser Figur lösen kannst, erhältst Du eine 1 im Zeugnis im Fach Mathematik!“ Die Abbildung mitsamt den gegebenen Werten sieht wie folgt aus:

$x = 18 c m e = 50 c m f = 40 c m U = ?$

Seitenlänge Drachenviereck Skizze StudySmarter Abbildung 12: Skizze - Drachenviereck

Hinweis: Die Diagonale f stellt die gesamte Strecke von Eckpunkt A bis C und die Diagonale e die gesamte Strecke von B bis D dar.

Lösung

Für solche komplexe Aufgaben empfiehlt sich am Zielpunkt anzufangen und sich schrittweise zum Ausgangspunkt vorzuarbeiten. Gesucht ist der Umfang, welcher wie folgt berechnet wird:

$U = 2 \cdot a + 2 \cdot b a = ? b = ?$

Da weder die Werte der Seite a noch der Seite b in der Angabe enthalten sind, müssen diese zuerst berechnet werden. Los geht's mit der Seite a.

Berechnung der Seite a

Die Seite a wird im Drachenviereck mithilfe folgender Formel berechnet:

$a = \sqrt{y^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}} y = ?$

Auch hier kann a noch nicht berechnet werden, da es in der Angabe keinen Wert für y gibt. Wie folgende Abbildung zeigt, kann die Teilstrecke y berechnet werden, indem x von der Diagonale e abgezogen wird.

Seitenlänge Drachenviereck Seitenlänge StudySmarter Abbildung 13: Seitenlänge Drachenviereck

Somit wird wie folgt gerechnet:

$y = e - x | s e t z e d i e W e r t e f ü r e u n d x e i n y = 50 c m - 18 c m | s u b t r a h i e r e 18 c m v o n 50 c m y = 32 c m$

Jetzt haben alle Variablen, welche für die Berechnung der Seite a benötigt werden, einen konkreten Wert. Die Seite a wird berechnet, indem die Werte in die Formel eingesetzt werden und die Gleichung gelöst wird.

$\begin{array}{rcl} a & = & \sqrt{y^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}} | s e t z e d i e w e r t e f ü r y u n d f i n d i e G l e i c h u n g e i n \\ a & = & \sqrt{{(32 c m)}^{2} + {(\frac{40 c m}{2})}^{2}} | l ö s e d e n B r u c h a u f, i n d e m 40 d u r c h 2 d i v i d i e r t w i r d \\ a & = & \sqrt{{(32 c m)}^{2} + {(20 c m)}^{2}} | b e r e c h n e d i e P o t e n z e n v o n 32 c m u n d 20 c m \\ a & = & \sqrt{1 024 c m^{2} + 400 c m^{2}} | a d d i e r e 1 024 c m^{2} u n d 400 c m^{2} \\ a & = & \sqrt{1 424 c m^{2}} | z i e h e d i e W u r z e l a u s 1 424 c m^{2} \\ a & = & 37, 74 c m \end{array}$

Die Seite a ist also $37, 74 c m$ lang.

Berechnung der Seite b

Die Seite a wird im Drachenviereck mithilfe folgender Formel berechnet:

$b = \sqrt{x^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}}$

Da alle Werte, welche für die Berechnung der Seite b benötigt werden, in der Angabe stehen, können diese direkt eingesetzt werden. Anschließend wird die Gleichung dann gelöst.

$b = \sqrt{x^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}} | s e t z e d i e W e r t e f ü r x u n d f e i n b = \sqrt{{(18 c m)}^{2} + {(\frac{40 c m}{2})}^{2}} | l ö s e d e n B r u c h a u f, i n d e m 40 d u r c h 2 d i v i d i e r t w i r d b = \sqrt{{(18 c m)}^{2} + {(20 c m)}^{2}} | b e r e c h n e d i e P o t e n z v o n 18 c m u n d 20 c m b = \sqrt{324 c m^{2} + 400 c m^{2}} | a d d i e r e 324 c m^{2} u n d 400 c m^{2} b = \sqrt{724 c m^{2}} | b e r e c h n e d i e W u r z e l a u s 724 c m^{2} b = 26, 91 c m$

Die Seite b beträgt somit $26, 91 c m$ .

Berechnung des Umfangs

Werden jetzt die Werte für a und b in die Umfangsformel eingesetzt, kann die Gleichung gelöst werden und dem Einser im Zeugnis steht nichts mehr im Weg.

$U = 2 \cdot a + 2 \cdot b | s e t z e d i e W e r t e f ü r a u n d b e i n U = 2 \cdot 37, 74 c m + 2 \cdot 26, 91 c m | b e r e c h n e d i e b e i d e n M u l t i p l i k a t i o n e n U = 75, 48 c m + 53, 82 c m | a d d i e r e d i e Z a h l e n 75, 48 c m u n d 53, 82 c m U = 129, 30 c m$

Herzlichen Glückwunsch, das Ergebnis $U = 129, 30 c m$ ist korrekt!

Drachenviereck Seiten – Das Wichtigste auf einen Blick

Ein Drachenviereck erkennst Du daran, dass dieses vier Winkel, vier Ecken und vier Seiten aufweist.
Unter einer Seite wird die Strecke, welche zwei Eckpunkte einer geometrischen Figur verbindet, verstanden.
Jeweils zwei Seiten des Drachenvierecks sind immer gleich lang, wobei die Diagonalen jedoch unterschiedlich lang sein können.
Seitenformeln aus dem Umfang: $a = \frac{U - 2 \cdot b}{2} u n d b = \frac{U - 2 \cdot a}{2}$
Seitenformeln mithilfe der Diagonalen: $a = \sqrt{y^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}} u n d b = \sqrt{x^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2}}$
Die Diagonale e wird in die Teilstrecken x und y unterteilt:
- x stellt die Strecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zur Ecke C dar.
- y stellt die Strecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zur Ecke A dar.
Teilstreckenformeln: $x = e - y u n d y = e - x$

Karteikarten in Drachenviereck Seiten 3

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Drachenviereck Seiten

Wie viele Seiten hat ein Drachen?

Ein Drachen hat immer vier Seiten, wobei jeweils zwei davon gleich lang sind und somit mit demselben Buchstaben beschriftet werden.

Wie viele Symmetrieachsen hat ein Drachenviereck?

Ein Drachenviereck hat immer eine Symmetrieachse, nämlich die Diagonale f.

Hat ein Drachenviereck parallele Seiten?

Die Seiten des Drachenvierecks stehen nicht parallel zueinander. Wenn alle Seiten gleich lang wären, würden diese parallel zueinander stehen, jedoch wird die Figur dann nicht als Drachenviereck, sondern als Raute bezeichnet.

Wie berechnet man die Seiten eines Drachens?

Die Seiten können auf zwei verschiedene Weisen berechnet werden:

Mithilfe des Umfangs und einer Seite:

a = (U - 2b) : 2 und b = (U - 2a) : 2

Mithilfe einer Diagonale und einer Teilstrecke:

a = √(y² + (f : 2)²) und b = √(x² + (f : 2)²)

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