Drachenviereck Seiten

Aufgabe 1

Du möchtest wissen, wie lang die Seiten des folgenden Drachenvierecks sind. Miss diese mithilfe Deines Lineals oder Geodreiecks!

Abbildung 3: Drachenviereck - Ablesen der Seitenlänge

Lösung

Nimm Dein Lineal zu Hand und miss die Länge der Seiten ab, indem die Null dessen auf einen beliebigen Punkt gelegt wird. Der Abstand des Punktes hin zum angrenzenden Eckpunkt wird auch als Seitenlänge bezeichnet.

Abbildung 4: Seitenlänge abmessen

Wenn richtig abgemessen, hat die Seite a eine Länge von $7cm$ und die Seite b eine Länge von $3,8cm$.

Aufgabe 2

Ein Drachenviereck weist folgende Werte auf:

$$\begin{gathered} U=64cm \\ a=\hspace{0.17em}20cm \end{gathered}$$

Berechne die Seite b der Figur!

Lösung

Die Seite b wird berechnet, indem die Umfangsformel nach dieser Variable freigestellt wird und anschließend die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst wird.

$\begin{array}{rcl}U& =& 2·a+2·b|subtrahiere2·a\\ & & \\ U-2·a& =& 2·b|dividieredurch2\\ & & \\ \frac{U-2·a}{2}& =& b\end{array}$

Um jetzt den Wert für die Seite b zu erhalten, müssen die Werte für den Umfang U und die Seite a in die Formel eingesetzt werden.

$\begin{array}{rcl}\frac{U-2·a}{2}& =& b|setzedieWertefürUundaein\\ & & \\ \frac{64cm-2·20cm}{2}& =& b|berechne2·20cm\\ & & \\ \frac{64cm-40cm}{2}& =& b|berechne64cm-40cm\\ & & \\ \frac{24cm}{2}& =& b|dividiere24cmdurch2\\ & & \\ 12cm& =& b\end{array}$

Die Seite b des Drachenvierecks mit dem Umfang von $64cm$ und der Seite a von $20cm$ beträgt also $12cm$.

Aufgabe 3

Ein Drachenviereck weist folgende Werte auf:

$$\begin{gathered} y=\hspace{0.17em}8cm \\ f=\hspace{0.17em}20cm \end{gathered}$$

Berechne die Seite a dieser Figur!

Lösung

Um diese Aufgabe zu lösen, müssen vorerst die beiden Werte für y und f in die Berechnungsformel der Seite a eingesetzt und anschließend die Gleichung gelöst werden.

$\begin{array}{rcl}a& =& \hspace{0.17em}\sqrt{y^2+{\left(\frac{f}{2}\right)}^2}|setzedieWerteanstellederBuchstabenein\\ & & \\ a& =& \hspace{0.17em}\sqrt{{\left(8cm\right)}^2+{\left(\frac{20cm}{2}\right)}^2}|lösedenBruchauf,indemdu20durch2dividierst\\ & & \\ a& =& \hspace{0.17em}\sqrt{{\left(8cm\right)}^2+{\left(10cm\right)}^2}|berechnediePotenzvon8cmund10cm\\ & & \\ a& =& \hspace{0.17em}\sqrt{64c{m}^2+100c{m}^2}|addiere64c{m}^{2}und100c{m}^2\\ & & \\ a& =& \sqrt{164c{m}^2}|berechnedieWurzelaus164c{m}^2\\ & & \\ & & \\ a& =& 12,81cm\\ & & \end{array}$

Die Seite a des Drachenvierecks ist somit $12,81cm$ lang.

Aufgabe 4

Ein Drachenviereck hat folgende Maße:

$$\begin{gathered} x=\hspace{0.17em}10m \\ f=\hspace{0.17em}30m \end{gathered}$$

Berechne die fehlende Seite b!

Lösung

Setze die Werte in die zuvor definierte Formel ein und löse die Gleichung wie folgt:

$$\begin{gathered} b=\hspace{0.17em}\sqrt{x^2+{\left(\frac{f}{2}\right)}^2}|setzedieWerteanstellederBuchstabenein \\ b=\hspace{0.17em}\sqrt{{\left(10m\right)}^2+{\left(\frac{30m}{2}\right)}^2}|lösedenBruchauf,indem30durch2dividiertwird \\ b=\hspace{0.17em}\sqrt{{\left(10m\right)}^2+{\left(15m\right)}^2}|berechnediePotenzvon10mund15m \\ b=\hspace{0.17em}\sqrt{100m^2+225m^2}|addiere100m^{2}und225m^2 \\ b=\sqrt{325m^2}|berechnedieWurzelaus325m^2 \\ b=18,03m \end{gathered}$$

Die Länge der Seite b beträgt $18,03m$.

Aufgabe 5

Dein Mathematiklehrer zeigt Dir eine Abbildung einen selbst-gebastelten Drachens und behauptet: „Wenn Du den Umfang dieser Figur lösen kannst, erhältst Du eine 1 im Zeugnis im Fach Mathematik!“ Die Abbildung mitsamt den gegebenen Werten sieht wie folgt aus:

$x=18cme=\hspace{0.17em}50cmf=40cmU=\hspace{0.17em}?$

Abbildung 12: Skizze - Drachenviereck

Hinweis: Die Diagonale f stellt die gesamte Strecke von Eckpunkt A bis C und die Diagonale e die gesamte Strecke von B bis D dar.

Lösung

Für solche komplexe Aufgaben empfiehlt sich am Zielpunkt anzufangen und sich schrittweise zum Ausgangspunkt vorzuarbeiten. Gesucht ist der Umfang, welcher wie folgt berechnet wird:

$$\begin{gathered} U=2·a+2·b \\ a=?b=\hspace{0.17em}? \end{gathered}$$

Da weder die Werte der Seite a noch der Seite b in der Angabe enthalten sind, müssen diese zuerst berechnet werden. Los geht's mit der Seite a.

Berechnung der Seite a

Die Seite a wird im Drachenviereck mithilfe folgender Formel berechnet:

$$\begin{gathered} a=\hspace{0.17em}\sqrt{y^2+{\left(\frac{f}{2}\right)}^2} \\ y=? \end{gathered}$$

Auch hier kann a noch nicht berechnet werden, da es in der Angabe keinen Wert für y gibt. Wie folgende Abbildung zeigt, kann die Teilstrecke y berechnet werden, indem x von der Diagonale e abgezogen wird.

Abbildung 13: Seitenlänge Drachenviereck

Somit wird wie folgt gerechnet:

$$\begin{gathered} \mathit{y}=\mathit{e}-\mathit{x}|setzedieWertefüreundxein \\ \mathit{y}=50cm-18cm|subtrahiere18cmvon50cm \\ \mathit{y}=32cm \end{gathered}$$

Jetzt haben alle Variablen, welche für die Berechnung der Seite a benötigt werden, einen konkreten Wert. Die Seite a wird berechnet, indem die Werte in die Formel eingesetzt werden und die Gleichung gelöst wird.

$\begin{array}{rcl}a& =& \sqrt{y^2+{\left(\frac{f}{2}\right)}^2}|setzediewertefüryundfindieGleichungein\\ & & \\ a& =& \sqrt{{\left(32cm\right)}^2+{\left(\frac{40cm}{2}\right)}^2}|lösedenBruchauf,indem40durch2dividiertwird\\ & & \\ a& =& \sqrt{{\left(32cm\right)}^2+{\left(20cm\right)}^2}|berechnediePotenzenvon32cmund20cm\\ & & \\ a& =& \sqrt{1024c{m}^2+400c{m}^2}|addiere1024c{m}^{2}und400c{m}^2\\ & & \\ a& =& \sqrt{1424c{m}^2}|ziehedieWurzelaus1424c{m}^2\\ & & \\ a& =& 37,74cm\end{array}$

Die Seite a ist also $37,74cm$ lang.

Berechnung der Seite b

Die Seite a wird im Drachenviereck mithilfe folgender Formel berechnet:

$b=\hspace{0.17em}\sqrt{x^2+{\left(\frac{f}{2}\right)}^2}$

Da alle Werte, welche für die Berechnung der Seite b benötigt werden, in der Angabe stehen, können diese direkt eingesetzt werden. Anschließend wird die Gleichung dann gelöst.

$$\begin{gathered} b=\sqrt{x^2+{\left(\frac{f}{2}\right)}^2}|setzedieWertefürxundfein \\ b=\sqrt{{\left(18cm\right)}^2+{\left(\frac{40cm}{2}\right)}^2}|lösedenBruchauf,indem40durch2dividiertwird \\ b=\sqrt{{\left(18cm\right)}^2+{\left(20cm\right)}^2}|berechnediePotenzvon18cmund20cm \\ b\hspace{0.17em}=\sqrt{324c{m}^2+400c{m}^2}|addiere324c{m}^{2}und400c{m}^2 \\ b=\sqrt{724c{m}^2}|berechnedieWurzelaus724c{m}^2 \\ b=26,91cm \end{gathered}$$

Die Seite b beträgt somit $26,91cm$.

Berechnung des Umfangs

Werden jetzt die Werte für a und b in die Umfangsformel eingesetzt, kann die Gleichung gelöst werden und dem Einser im Zeugnis steht nichts mehr im Weg.

$$\begin{gathered} U=2·a+2·b|setzedieWertefüraundbein \\ U=2·37,74cm+2·26,91cm|berechnediebeidenMultiplikationen \\ U=75,48cm+53,82cm|addieredieZahlen75,48cmund53,82cm \\ U=129,30cm \end{gathered}$$

Herzlichen Glückwunsch, das Ergebnis $U=129,30cm$ist korrekt!