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Ebene im Raum
Was genau ist eine Ebene?
Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird. Meistens wird sie in einer Parameterform abgebildet. Die Ebene kann aber auch in einer Normalenform und Koordinatenform wiedergegeben werden.
Eine mögliche Parameterform kannst Du hier sehen:
Ein Beispiel für eine Ebene in Parameterform ist
.
Diese Abbildung zeigt die Ebene aus zwei verschiedenen Perspektiven:
Abbildung 1: Ebene E:x im Raum aus zwei Perspektiven.
Ebenengleichung
Die drei verschiedenen Formen einer Ebenengleichung werden nachfolgend erklärt:
Ebenengleichung – Parameterform
Die Ebene in Parameterform wird durch einen Punkt O und zwei Vektoren
und
bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind.
Die Ebenengleichung in Parameterform sieht so aus:
= Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene
sich stützt. Der Vektor
entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor
aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft.
=Spannvektor/Stützvektor der Ebene
, der die Ebene in eine Richtung aufspannt.
=Spannvektor/Stützvektor der Ebene
, der die Ebene in eine Richtung aufspannt.
Der nächste Abschnitt zeigt Dir, wie eine Ebene in Parameterform dargestellt wird.
Hier siehst Du eine Parameterform:
Der erste Vektor ist der oben genannte Punkt
, auf dem die Ebene
sich stützt. Auch Stützvektor oder Ortsvektor genannt.
Ebenengleichung – Normalenform
Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor , einem Vektor, der den Aufbau eines Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor
.
Im Folgenden siehst Du die Rohform der Normalenform.
=Normalenvektor der Ebene
.
=Variable x der Ebene
.
= Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene
sich stützt. Der Vektor entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft.
Der Normalenvektor wird aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren einer Ebenengleichung in Parameterform aufgestellt.
Zur Wiederholung siehst Du hier noch einmal die Formel zum Kreuzprodukt.
Aufgabe 1
Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren und
.
Lösung
Durch das Einsetzen der Vektoren und
in die Formel des Kreuzprodukts erhältst Du den Vektor
.
Doch zurück zur Ebenengleichung:
Hier siehst Du ein Beispiel zu einer Ebene in Normalenform:
Der erste Vektor ist der Normalenvektor der Normalenform. Der zweite Vektor
ist der x-Vektor, welcher innerhalb der Klammer steht. Der Vektor
wird vom Stützvektor
subtrahiert.
Ebenengleichung – Koordinatenform
Die Koordinatenform einer Ebenengleichung ist ohne Vektoren.
Hier siehst Du die Rohform der Koordinatenform einer Ebenengleichung .
- d ist Vektor
multipliziert mit Vektor
.
Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform.
Hier siehst Du ein Beispiel der Koordinatenform:
Die Zahlen vor dem Gleichheitszeichen sind die Multiplikation von dem Normalenvektor und dem x-Vektor, während die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen durch entsteht.
Ebenengleichung umformen
Eine Ebene kann in den drei verschiedenen Formen, wie oben genannt, niedergeschrieben und dann umgeformt werden.
Parameterform in Normalenform umformen
In diesem Abschnitt geht es um das Umwandeln einer Ebenengleichung aus der Parameterform in eine Normalenform. Die Umformung der Ebene
läuft nach folgendem Schema ab:
Um eine Parameterform in eine Normalenform umzuwandeln, musst Du die beiden Spannvektoren und
ins Kreuzprodukt nehmen, um die Grundlage – den Normalvektor
– zu schaffen. Dieser wird dann im Skalarprodukt mit dem Vektor
multipliziert, welcher vom Stützvektor
der Parameterform subtrahiert wird.
Ein Skalarprodukt sieht folgendermaßen aus:
Demnach werden zwei Vektoren und
miteinander multipliziert und dann miteinander addiert, sodass eine Zahl (Skalar) rauskommt.
Aufgabe 2
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren .
Lösung
Zuerst multiplizierst Du die einzelnen Zahlen des Vektors miteinander und addierst diese anschließend.
Das Skalarprodukt von Vektor ist 7,5.
Nun siehst Du in der Praxis, wie eine Ebene in Parameterform in eine Ebene
in Normalenform umgewandelt wird.
Aufgabe 3
Forme die Ebene in Parameterform in eine Normalenform um.
Lösung
Zuerst berechnest Du den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren
und
in einem Kreuzprodukt verrechnest.
Durch das Einsetzen der Vektoren und
in die Formel des Kreuzprodukts erhältst Du den Normalenvektor
.
Nun kannst Du die Vektoren in die Normalenform einsetzen.
Der erste Vektor ist der Normalenvektor und die beiden anderen Vektoren sind der Vektor
und der Stützvektor
. Diese wurden in die Rohfassung der Normalenform eingesetzt und das wurde gleich 0 gesetzt.
Hier siehst Du eine Abbildung zur Veranschaulichung:
Abbildung 2: Ebene E im Koordinatensystem.
Normalenform in Koordinatenform umformen
Die Ebenengleichung in Normalenform in eine Ebene in Koordinatenform umzuformen, funktioniert folgendermaßen. Zuerst wird die Normalenform ausmultipliziert, weil die Normalenform in einem Skalarprodukt steht. Anschließend werden die Skalare abgezogen. Sie stehen nun auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens.
Der Vorgang sieht ausgeschrieben folgendermaßen aus:
Dabei sind a, b und c die Werte, die zusammengefasst den Normalenvektor ergeben.
Aufgabe 4
Forme die Ebene in Normalenform in eine Koordinatenform um.
Lösung
Zuerst multiplizierst Du die Normalenform aus.
Das Ausmultiplizieren der Ebene E in Normalenform als ein Skalarprodukt ergibt den Term . Bei diesem Term muss der Skalar (reelle Zahl) subtrahiert werden, um die vollständige Koordinatenform zu erhalten. Das sieht folgendermaßen aus:
Durch diesem Vorgang erhältst Du die Ebene in Koordinatenform.
In dieser Koordinatenform kannst Du den Normalenvektor wiedererkennen. Denn durch das Ausmultiplizieren stehen die Zahlen aus dem Normalenvektor in der richtigen Reihenfolge, wie bei dem Vektor
.
Koordinatenform in Parameterform umformen
Eine Ebenengleichung von der Koordinatenform zurück in die Parameterform umzuwandeln, funktioniert etwas anders. Es wird eine Koordinatenform vorgegeben und versucht, mögliche Punkte P auf der Ebene
zu finden. Diese Punkte P werden als Vektoren
,
und
eingesetzt.
Das machst Du, indem Du Dir die Zahlen vor dem x anschaust und die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen. Du rechnest also d geteilt durch a, b oder c.
In der Regel macht man dann einen Punkt , die 0 vereinfacht den Vorgang. Das x wird immer an die Stelle gesetzt, in welche Richtung auf der x-Achse gegangen wird. Bei
kommt die Zahl an die erste Stelle des Punktes P.
Bei kommt die Zahl an die zweite Stelle des Punktes
. Bei
kommt es an die dritte Stelle des Punktes P.
Aufgabe 5
Wandle die Ebene in Koordinatenform in eine Ebene in Parameterform um.
Lösung
Zuerst teilst Du die 8 durch die einzelnen Zahlen des Normalenvektors , um herauszufinden, welche Zahlen in den Punkt P gehören.
Hier erhältst Du die Zahlen 8,4 und 2. Diese werden nun in die drei Punkte an den Stellen eingesetzt, denen sie entspringen und der restliche Teil wird mit Nullen aufgefüllt.
Das führt zu den Punkten .
Aus diesen drei Punkten bildest Du jetzt zwei Verbindungsvektoren, z.B. \(\vec{OA}\) und \(\vec{OB}\)
\[\begin{align}\vec{OA}&=\vec{A}-\vec{O}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\4\\0\end{pmatrix}\\\\\vec{OB}&=\vec{B}-\vec{O}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\0\\2\end{pmatrix}\end{align}\]
Die Vektoren \(\vec{OA}\) und \(\vec{OB}\) sind die Richtungsvektoren der Ebene und werden für \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) in die Rohform der Ebenengleichung in Parameterform eingesetzt. Außerdem setzt Du einen der drei Punkte als Aufpunkt ein. (hier \(\vec{O}\))
\[E: \vec{x}=\vec{o}+r\cdot\vec{a}+s\cdot \vec{b}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-8\\4\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-8\\0\\2\end{pmatrix}\]
Durch das Einsetzen erhältst Du die Ebenengleichung in Parameterform.
Damit Du Dir das besser vorstellen kannst, folgt hier noch einmal eine Abbildung:
Abbildung 3: Ebene E im Koordinatensystem
Ebenengleichung umformen – Übungen
In den folgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein Wissen überprüfen.
Aufgabe 6
Wandle die Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform um.
Lösung
Zuerst berechnest Du den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren ins Kreuzprodukt nimmst.
Danach setzt Du die Vektoren in die Rohform der Ebene in Normalenform ein.
Dadurch erhältst Du die Ebene E in Normalenform.
Aufgabe 7
Forme die Ebene in Normalenform in eine Ebene in Koordinatenform um.
Lösung
Für diese Umwandlung muss die Normalenform ausmultipliziert werden.
Danach muss die alleinstehende Zahl addiert werden.
Die Koordinatenform der Ebene E ist . Auch hier sieht man den Normalvektor
vor den x-Werten.
Ebenengleichung umformen - Das Wichtigste
- Eine Ebene
im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
- Meistens wird die Ebene
in einer Parameterform wiedergegeben. Sie kann aber auch in einer Normalenform, und Koordinatenform veranschaulicht werden.
- Die Ebene
in Parameterform wird durch einen Punkt P (Stützvektor/Ortsvektor) und zwei Vektoren bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind (Spannvektoren).
- Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor
, einem x-Vektor, der den Aufbau eines normalen Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor
. Im Folgenden siehst Du die Rohform der Normalenform, die auch aus einer Parameterform erstellt wird.
- Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform. Sie sieht folgendermaßen aus:
- Auf diese Art formt man auch eine Koordinatenform einer Ebene E aus einer Normalenform.
- Einen Normalenvektor
formuliert man, in dem man beide Spannvektoren der Parameterform ins Kreuzprodukt nimmt. Hier siehst Du das Kreuzprodukt:
- Eine Parameterform einer Ebene
kann man auch aus einer Koordinatenform erstellen, in dem man willkürliche Punkte P auf der Ebene
wählt.
- Die Punkte P findest Du heraus, in dem Du den Skalar hinter dem Gleichheitszeichen durch die Zahlen des Normalvektors
teilst.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Ebenengleichung umformen
Was gibt die Ebenengleichung an?
Eine Ebenengleichung gibt eine Ebene E in einem dreidimensionalen Koordinatensystem an, wo sie startet und in welche Richtungen sie aufgespannt wird.
Wie forme ich eine Ebenengleichung um?
- Normalenform: Zuerst berechnest Du den Normalenvektor mithilfe des Kreuzprodukts. Dann berechnest Du den Normalenvektor n im Skalarprodukt mit dem x-Vektor und dem Stützvektor o der Parameterform und setzt es gleich 0.
- Koordinatenform: Multipliziere das Skalarprodukt aus und packe das Skalar auf die andere Seite des Gleichheitszeichens durch subtrahieren oder addieren.
Wie kann ich die Ebenengleichung von der Koordinatenform in eine Parameterform umformen?
Du nimmst Dir drei beliebige Punkte P auf der Ebene und fasst diese in eine Ebenengleichung in Parameterform zusammen. Die Punkte P findest Du heraus, in dem Du die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen durch die Zahlen vor dem x teilst.
Was ist die Normalenform einer Ebene?
Die Normalenform einer Ebene E ist eine Darstellung einer Ebene E, welche Du durch den Normalenvektor, den Stützvektor und den x-Vektor der Ebene E darstellst. Diese werden im Skalarprodukt genommen und gleich 0 gestellt.
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