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Als Einleitung findest du hier zunächst eine kleine Wiederholung zum Thema Höhen eines Dreiecks.
Höhen im Dreieck – Wiederholung
Jedes Dreieck im zweidimensionalen Raum hat drei Höhen. Dabei stellt immer eine Dreiecksseite die Grundseite dar, auf die die Höhe aufgestellt wird. Das Lot, das aus dem der Grundseite gegenüberliegenden Punkt auf die Grundseite führt, ist beim spitzwinkligen Dreieck die zugehörige Höhe.
Lies dir dazu gerne noch den Artikel "Höhe Dreieck" durch, wenn du hier noch Auffrischungsbedarf hast.
Abbildung 1: Spitzwinkliges Dreieck ABC mit seinen zugehörigen Höhen
Beim stumpfwinkligen Dreieck liegt die Höhe allerdings bei zwei Seiten außerhalb des Dreiecks. Hierbei entspricht die Höhe dem Lot vom der Grundseite gegenüberliegenden Punkt auf die Verlängerung der Grundseite.
Abbildung 2: Stumpfwinkliges Dreieck ABC mit seinen zugehörigen Höhen und den Verlängerungen der Seiten a und c
Bei einem rechtwinkligen Dreieck bildet eine Kathete die Höhe auf die jeweils andere Kathete.
Abbildung 3: Rechtwinkliges Dreieck ABC mit seinen zugehörigen Höhen
Höhenfußpunkt Dreieck – Definition
Der Höhenfußpunkt des Dreiecks ist der Punkt, an dem die Höhen ihre zugehörige Seite beziehungsweise die Verlängerung der jeweiligen Seite berühren.
Im Folgenden findest du ein Beispiel dazu:
ist beispielsweise die Höhe auf die Seite und damit die Strecke zwischen und , die orthogonal zu steht. Damit ist der Höhenfußpunkt der Höhe .
Kleine Erinnerung: orthogonal ist gleichbedeutend mit senkrecht, das heißt, der Winkel zwischen Höhe und Seite ist .
Abbildung 4: Der Höhenfußpunkt Hb des Dreiecks ABC
Höhenfußpunkt des Dreiecks – Merkmale
- Der Höhenfußpunkt bildet den Berührungspunkt der Höhe eines Dreiecks und der zugehörigen Seite oder der Verlängerung der zugehörigen Seite.
- Der Höhenfußpunkt liegt bei spitzwinkligen und rechtwinkligen Dreiecken immer innerhalb des Dreiecks
- Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegen zwei Höhenfußpunkte außerhalb des Dreiecks auf den seitenverlängernden Geraden.
- Nicht alle Dreiecksarten haben gleich viele Höhenfußpunkte, obwohl alle Dreiecksarten immer drei unterschiedliche Höhen haben.
- Spitzwinklige Dreiecke und stumpfwinklige Dreiecke haben drei Höhenfußpunkte.
- Rechtwinklige Dreiecke haben nur zwei Höhenfußpunkte, da die beiden Katheten die Höhe für die jeweils andere Kathete bilden. Somit ist der Eckpunkt, an dem beide Katheten und auch der rechte Winkel liegen, der gemeinsame Höhenfußpunkt.
- Die Höhenfußpunkte von nicht rechtwinkligen Dreiecken bilden das Höhenfußpunktdreieck.
Die Höhenfußpunkte liegen immer auf dem Feuerbachkreis eines Dreiecks.
Dieser Kreis, auch Neun-Punkte-Kreis genannt, hat auf seiner Kreislinie neun ausgezeichnete Punkte eines Dreiecks.
Abbildung 5: Der Feuerbachkreis eines spitzwinkligen Dreiecks
Diese Neun Punkte sind
- die Mittelpunkte der Seiten ;
- die Höhenfußpunkte ;
- die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte.
Der obere Höhenabschnitt ist die Strecke zwischen dem Höhenschnittpunkt S und dem jeweiligen Eckpunkt des Dreiecks
Der Feuerbachkreis berührt immer den Inkreis und alle Ankreise eines Dreiecks.
Der Radius des Feuerbachkreises ist immer halb so groß wie der Radius des Umkreises.
Der Kreismittelpunkt G entspricht dem Streckenmittelpunkt der Strecke zwischen dem Umkreismittelpunkt U und dem Höhenschnittpunkt S.
Aufgabe
Konstruiere ein rechtwinkliges und ein gleichseitiges Dreieck und zeichne die zugehörigen Feuerbachkreise ein.
Lösung
| Rechtwinkliges Dreieck | Gleichseitiges Dreieck |
|
|
In der folgenden Tabelle findest du einen Überblick über Höhenfußpunkte bei verschiedenen Dreiecksarten.
| Art des Dreiecks | Schema (Abbildungen 8-10) | Anzahl Höhenfußpunkte | Lage der Höhenfußpunkte |
| Spitzwinkliges Dreieck |
| 3 | Auf der zugehörigen Seite |
| Stumpfwinkliges Dreieck |
| 3 | Bei der längsten Seite auf der zugehörigen Seite; bei den anderen Seiten auf der Verlängerung der zugehörigen Seite |
| Rechtwinkliges Dreieck |
| 2, da die Katheten den gleichen Höhenfußpunkt haben | Bei der Hypotenuse auf der Hypotenuse; bei den Katheten immer der Eckpunkt gegenüber der Hypotenuse |
Das Höhenfußpunktdreieck
Bei Dreiecken mit drei Höhenfußpunkten bilden diese ein weiteres Dreieck: das Höhenfußpunktdreieck.
Wie bereits oben angeführt, haben rechtwinklige Dreieck nur zwei unterscheidbare Höhenfußpunkte. Daher können ihre Höhenfußpunkte kein Höhenfußpunktdreieck bilden.
Sieh dir zum Einstieg erst einmal die Definition für das Höhenfußpunktdreieck an:
Das Höhenfußpunktdreieck ist ein Dreieck , das sich aus den Höhenfußpunkten eines Dreiecks ergibt. Die Höhenfußpunkte sind hierbei die Eckpunkte des Höhenfußpunktdreiecks.
Wie diese Punkte im Dreieck aussehen, siehst du im folgenden Beispiel.
In der folgenden Abbildung siehst du das Höhenfußpunktdreieck des Dreiecks :
Abbildung 12: Höhenfußpunktdreieck eines spitzwinkligen Dreiecks
Die ersten beiden Eigenschaften betreffen die Innen- beziehungsweise Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks und ihre Beziehung zu den Höhen des ursprünglichen Dreiecks:
- Die Höhen des spitzwinkligen Dreiecks ABC bilden die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks.
- Bei stumpfwinkligen Dreiecken halbieren zwei der Höhen des ursprünglichen Dreiecks die Außenwinkel.Die Seiten des ursprünglichen Dreiecks bilden die Winkelhalbierende.Die Dritte Höhe halbiert den Innenwinkel an dem Scheitel des Höhenfußpunktdreiecks, der auf der Seite gegenüber dem stumpfen Winkel des ursprünglichen Dreiecks liegt.
Die dritte Eigenschaft bezieht sich auf den in der oben angesprochenen Vertiefung zum Feuerbachkreis und zum Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks:
- Der Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks entspricht dem Feuerbachkreis des ursprünglichen Dreiecks.
Wenn du nicht mehr genau vor Augen hast, was ein Umkreis oder eine Winkelhalbierende sind, oder was mit Innenwinkel und Außenwinkel gemeint ist, sieh dir einfach noch einmal unsere zugehörigen Artikel an!
Lage der Höhenfußpunkte berechnen
Manchmal kann es vorkommen, dass du ein Dreieck im Koordinatensystem gegeben hast und die Lage zugehöriger Höhenfußpunkte berechnen sollst.
Die Lage des Höhenfußpunktes berechnest du, indem du von einem Punkt außerhalb – dem zugehörigen Scheitelpunkt des Dreiecks – eine Normale an die zugehörige Dreiecksseite anlegst.
Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der zugehörigen Dreiecksseite ist der Höhenfußpunkt.
Wenn du dir nicht mehr ganz sicher bist, was eine Normale ist, oder wie man eine Normalengleichung von einem Punkt außerhalb aufstellt, sieh dir gerne nochmal unsere Zusammenfassung zum Thema Normale an.
Bevor du dir die schriftliche Erläuterung zur Berechnung durchliest, sieh dir zunächst die folgende Abbildung an, die das Verfahren veranschaulicht.
Abbildung 11: Verfahren zur Bestimmung der Lage der Höhenfußpunkte
Die Lage des Höhenfußpunktes wird folgendermaßen berechnet:
1. Stelle die Gleichung einer linearen Funktion auf, auf der die zugehörige Dreiecksseite liegt. Nutze dazu die bekannten Dreieckspunkte.
2. Stelle die allgemeine Normalengleichung zu dieser Funktion auf:
Dabei gilt:
3. Setze die Koordinaten des zugehörigen Eckpunktes, durch den die Höhe verläuft, für x und y ein. Nun ist nur noch a unbekannt.
4. Löst man nun nach a auf und setzt das erhaltene a in die Normalengleichung oder in die zuerst aufgestellte Gleichung, erhält man den Höhenfußpunkt. A entspricht hierbei der x-Koordinate, der errechnete Funktionswert der y-Koordinate:
Um das Vorgehen genauer zu verstehen, kannst du dir das folgende Beispiel ansehen.
Aufgabe
Die Punkte bilden ein Dreieck . Bestimme die Lage des Höhenfußpunktes , der auf der Seite liegt.
Lösung
1. Stelle die Gleichung der Geraden auf, die die Seite a beinhaltet:
2. Stelle die zugehörige allgemeine Normalengleichung auf:
3. Setze den Punkt A(0|0) für x und y ein und löse nach a auf:
4. Setze a=3,2 in die Geradengleichung ein und gib den Höhenfußpunkt an:
Die vierte Eigenschaft bezieht sich auf das Fagnano-Problem.
Das Fagnano-Problem beschreibt folgende Schwierigkeit:
Bestimme das in ein spitzwinkliges Dreieck einbeschriebene Dreieck mit dem geringsten Umfang.
Ein einbeschriebenes Dreieck ist ein Dreieck, das jeweils einen Eckpunkt auf der Seite eines spitzwinkligen Dreiecks hat. Somit liegt es komplett innerhalb des Dreiecks.
Die Lösung des Fagnano-Problems ist das Höhenfußpunktdreieck.
Höhenfußpunkt Dreieck - Das Wichtigste
- Ein Höhenfußpunkt ist der Punkt, an dem die Höhe eines Dreiecks die zugehörige Seite oder ihre Verlängerung berührt.
- Bei spitzwinkligen Dreiecken liegen alle Höhenfußpunkte innerhalb des Dreiecks, bei stumpfwinkligen Dreiecken liegen zwei Höhenfußpunkte außerhalb.
- Höhenfußpunkte haben als ausgezeichnete Punkte eines Dreiecks mehrere Eigenschaften, eine davon ist ihre Lage auf dem Feuerbachkreis.
- Die Lage der Höhenfußpunkte berechnet man aus dem Schnittpunkt der linearen Funktion, in der die zugehörige Seite liegt, mit der allgemeinen Normalenfunktion, die durch den zugehörigen Scheitel verläuft.
- Die Höhenfußpunkte eines Dreiecks bilden das Höhenfußpunktdreieck, welches die Lösung des Fagnano-Problems darstellt.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Höhenfußpunkt Dreieck
Was ist ein Höhenfußpunkt?
Ein Höhenfußpunkt ist der Punkt, an dem die Höhe eines Dreiecks die zugehörige Seite berührt.
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