Höhenfußpunkt Dreieck

Höhen im Dreieck – Wiederholung

Jedes Dreieck im zweidimensionalen Raum hat drei Höhen. Dabei stellt immer eine Dreiecksseite die Grundseite dar, auf die die Höhe aufgestellt wird. Das Lot, das aus dem der Grundseite gegenüberliegenden Punkt auf die Grundseite führt, ist beim spitzwinkligen Dreieck die zugehörige Höhe.

Abbildung 1: Spitzwinkliges Dreieck ABC mit seinen zugehörigen Höhen

Beim stumpfwinkligen Dreieck liegt die Höhe allerdings bei zwei Seiten außerhalb des Dreiecks. Hierbei entspricht die Höhe dem Lot vom der Grundseite gegenüberliegenden Punkt auf die Verlängerung der Grundseite.

Abbildung 2: Stumpfwinkliges Dreieck ABC mit seinen zugehörigen Höhen und den Verlängerungen der Seiten a und c

Bei einem rechtwinkligen Dreieck bildet eine Kathete die Höhe auf die jeweils andere Kathete.

Abbildung 3: Rechtwinkliges Dreieck ABC mit seinen zugehörigen Höhen

Höhenfußpunkt Dreieck – Definition

Im Folgenden findest du ein Beispiel dazu:

Höhenfußpunkt des Dreiecks – Merkmale

• Der Höhenfußpunkt bildet den Berührungspunkt der Höhe eines Dreiecks und der zugehörigen Seite oder der Verlängerung der zugehörigen Seite.

• Der Höhenfußpunkt liegt bei spitzwinkligen und rechtwinkligen Dreiecken immer innerhalb des Dreiecks
  • Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegen zwei Höhenfußpunkte außerhalb des Dreiecks auf den seitenverlängernden Geraden.

• Nicht alle Dreiecksarten haben gleich viele Höhenfußpunkte, obwohl alle Dreiecksarten immer drei unterschiedliche Höhen haben.
  • Spitzwinklige Dreiecke und stumpfwinklige Dreiecke haben drei Höhenfußpunkte.
  • Rechtwinklige Dreiecke haben nur zwei Höhenfußpunkte, da die beiden Katheten die Höhe für die jeweils andere Kathete bilden. Somit ist der Eckpunkt, an dem beide Katheten und auch der rechte Winkel liegen, der gemeinsame Höhenfußpunkt.

• Die Höhenfußpunkte von nicht rechtwinkligen Dreiecken bilden das Höhenfußpunktdreieck.

In der folgenden Tabelle findest du einen Überblick über Höhenfußpunkte bei verschiedenen Dreiecksarten.

Das Höhenfußpunktdreieck

Bei Dreiecken mit drei Höhenfußpunkten bilden diese ein weiteres Dreieck: das Höhenfußpunktdreieck.

Wie bereits oben angeführt, haben rechtwinklige Dreieck nur zwei unterscheidbare Höhenfußpunkte. Daher können ihre Höhenfußpunkte kein Höhenfußpunktdreieck bilden.

Sieh dir zum Einstieg erst einmal die Definition für das Höhenfußpunktdreieck an:

Wie diese Punkte im Dreieck aussehen, siehst du im folgenden Beispiel.

Die ersten beiden Eigenschaften betreffen die Innen- beziehungsweise Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks und ihre Beziehung zu den Höhen des ursprünglichen Dreiecks:

• Die Höhen$h_a,h_b,h_c$ des spitzwinkligen Dreiecks ABC bilden die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks$H_a{H}_b{H}_c$.
• Bei stumpfwinkligen Dreiecken halbieren zwei der Höhen des ursprünglichen Dreiecks die Außenwinkel.Die Seiten des ursprünglichen Dreiecks bilden die Winkelhalbierende.Die Dritte Höhe halbiert den Innenwinkel an dem Scheitel des Höhenfußpunktdreiecks, der auf der Seite gegenüber dem stumpfen Winkel des ursprünglichen Dreiecks liegt.

Die dritte Eigenschaft bezieht sich auf den in der oben angesprochenen Vertiefung zum Feuerbachkreis und zum Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks:

• Der Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks entspricht dem Feuerbachkreis des ursprünglichen Dreiecks.

Lage der Höhenfußpunkte berechnen

Manchmal kann es vorkommen, dass du ein Dreieck im Koordinatensystem gegeben hast und die Lage zugehöriger Höhenfußpunkte berechnen sollst.

Die Lage des Höhenfußpunktes berechnest du, indem du von einem Punkt außerhalb – dem zugehörigen Scheitelpunkt des Dreiecks – eine Normale an die zugehörige Dreiecksseite anlegst.

Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der zugehörigen Dreiecksseite ist der Höhenfußpunkt.

Bevor du dir die schriftliche Erläuterung zur Berechnung durchliest, sieh dir zunächst die folgende Abbildung an, die das Verfahren veranschaulicht.

Abbildung 11: Verfahren zur Bestimmung der Lage der Höhenfußpunkte

Die Lage des Höhenfußpunktes wird folgendermaßen berechnet:

1. Stelle die Gleichung einer linearen Funktion auf, auf der die zugehörige Dreiecksseite liegt. Nutze dazu die bekannten Dreieckspunkte.

$f\left(x\right)=m·x+c$

2. Stelle die allgemeine Normalengleichung zu dieser Funktion auf:

$$\begin{gathered} y=m_n·(x-a)+f\left(a\right) \\ y=m_n·(x-a)+m·a+c \end{gathered}$$

Dabei gilt:

$m_n=-\frac{1}{m}$

3. Setze die Koordinaten des zugehörigen Eckpunktes$S\left(b\right|d)$, durch den die Höhe verläuft, für x und y ein. Nun ist nur noch a unbekannt.

$d=m_n·(b-a)+m·a+c$

4. Löst man nun nach a auf und setzt das erhaltene a in die Normalengleichung oder in die zuerst aufgestellte Gleichung, erhält man den Höhenfußpunkt. A entspricht hierbei der x-Koordinate, der errechnete Funktionswert der y-Koordinate:

$H\left(a\right|f\left(a\right))$

Um das Vorgehen genauer zu verstehen, kannst du dir das folgende Beispiel ansehen.

Die vierte Eigenschaft bezieht sich auf das Fagnano-Problem.