Hypotenuse: Dreieck, Sinus & berechnen

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Es ist wichtig für dich, dass du beim Blick auf ein Dreieck schnell erkennen kannst, welche Dreiecksseite die Hypotenuse ist oder ob ein Dreieck überhaupt eine Hypotenuse hat.

In diesem Artikel sollen so alle deine potenziellen Fragezeichen im Zusammenhang mit der Hypotenuse eines Dreiecks geklärt werden. Außerdem lernst du zwei Möglichkeiten kennen, die Hypotenuse zu berechnen.

Trigonometrie Hypotenuse berechnen

Die Hypotenuse ist eine Bezeichnung für eine Dreiecksseite speziell im rechtwinkligen Dreieck. Wenn ein Dreieck also keinen rechten Winkel hat, dann hat es auch keine Hypotenuse!

Dreieck Hypothenuse

Im rechtwinkligen Dreieck haben die Dreiecksseiten besondere Namen.

Eine Hypotenuse ist die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

Die anderen beiden Seien des Dreiecks heißen Katheten. Man sagt, dass sie an den rechten Winkel anliegen oder den rechten Winkel einschließen.

In diesem rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Seite c die Hypotenuse des Dreiecks, weil sie dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Seiten a und b, die am rechten Winkel anliegen, sind die Katheten des Dreiecks.

Hypotenuse, rechtwinkliges Dreieck ABC, StudySmarter Abbildung 1: rechwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c

Das Wort Hypotenuse kommt aus dem Griechischen und bedeutet so viel wie "Seite gegenüber dem rechten Winkel".

Hypothenuse als längste Seite im Dreieck

Vielleicht hast du schon einmal davon gehört, dass die Hypotenuse die längste Seite im Dreieck ist. Aber warum ist das so?

In einem Dreieck gilt, dass die längste Seite dem größten Winkel gegenüberliegt. Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck wissen wir außerdem, dass alle drei Winkel addiert 180° ergeben. Damit ist der rechte Winkel mit 90° der größte der drei Winkel im Dreieck (wäre nämlich ein zweiter Winkel größer als 90°, wäre die Summe dieser beider Winkel größer als 180°).

Wenn dir das Argument mit der Innenwinkelsumme nicht ganz klar ist, lies doch in unserem Artikel "Innenwinkelsumme Dreieck" noch einmal nach.

Daraus folgt nun, dass die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, die längste Seite im Dreieck ist. Und das ist nach der Definition auch genau unsere Hypotenuse!

Hypotenuse, Hypotenuse längste Dreiecksseite, StudySmarter Abbildung 1: Grafik zur Veranschaulichung der Hypotenuse als längste Dreiecksseite

Man kann jedes Dreieck mit rechtem Winkel so drehen wie das obige Dreieck.

An dieser Darstellung lässt sich direkt erkennen, dass die Seite b – die Hypotenuse – länger ist als die Seiten a und c. Warum?

Der Halbkreis $K_{1}$ entsteht, wenn man einen Kreis mit Radius b um den Punkt C zeichnet. Die Strecke s gibt somit an, um wie viel die Dreiecksseite b länger ist als die Dreiecksseite a.

Analog funktioniert das für den Kreis $K_{2}$ , den Kreis um den Punkt A mit Radius b. Hier sieht man an der Strecke t, dass die Seite b länger ist als die Seite c.

Hypothenuse Formel - Satz des Pythagoras

Je nach den gegebenen Größen des Dreiecks gibt es mehrere Wege, die Länge der Hypotenuse zu berechnen oder bei gegebener Hypotenuse andere Größen (Längen oder Winkel) des Dreiecks auszurechnen.

Eine dieser Methoden ist die Berechnung mit dem Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras Grundlagenwissen

Zur Erinnerung noch einmal die Formulierung des Satz des Pythagoras:

In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a und b gilt:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Wenn der rechte Winkel nicht der Seite c gegenüber liegt, müssen die Variablen in der Formel entsprechend angepasst werden. Beispielsweise gilt in einem Dreieck mit $β = 90 °$ die Formel $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ .

Hypotenuse, Pythagoras mit Hypotenuse b, StudySmarter Abbildung 3: rechtwinkliges Dreieck mit angepasster Pythagoras-Formel (rechter Winkel im Punkt B)

Berechnung mit dem Satz des Pythagoras

Wenn die beiden Katheten a und b des rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind, kann mithilfe von Pythagoras die Länge der Hypotenuse berechnet werden:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bitte beachte hier unbedingt, dass du die Summe nicht aus der Wurzel ziehen kannst.( $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \neq \sqrt{a^{2}} + \sqrt{b^{2}}$ )

Aufgabe 1

Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC mit den Katheten $a = 6 c m$ und $b = 8 c m$ . Berechne die Länge der Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras.

Lösung

Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt der Satz des Pythagoras. Es gilt, weil a und b die Katheten vom Dreieck sind.

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Einsetzen ergibt

$c^{2} = a^{2} + b^{2} = {(6 c m)}^{2} + {(8 c m)}^{2} = 36 c m^{2} + 64 c m^{2} = 100 c m^{2}$

Daraus folgt:

$c = \sqrt{100 c m^{2}} = 10 c m$

Sinus Hypotenuse

In vielen Fällen ist jedoch nur eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks angegeben. Ist zusätzlich die Größe eines vom rechten Winkel verschiedenen Innenwinkel (oft sagt man auch einen spitzen Innenwinkel) gegeben, so lässt sich die Länge der Hypotenuse mit Sinus und Cosinus berechnen.

Sinus und Kosinus Grundlagenwissen

Sinus und Kosinus geben Längenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Ganz genau definieren kann man sie wie folgt:

Sinus und Kosinus eines Winkels $α$ definieren sich über das Verhältnis der Länge der Katheten zur Länge der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck.

$\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e v o n α}{H y p o t e n u s e}$

$\cos (α) = \frac{A n k a t h e t e v o n α}{H y p o t e n u s e}$

Dabei ist die Ankathete von $α$ diejenige der beiden Katheten, die am Winkel $α$ anliegt.

Hypotenuse, Ankathete Gegenkathete Hypotenuse, StudySmarter Abbildung 4: Ankathete und Gegenkathete eines Winkels

Hier gilt beispielsweise:

$\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} = \frac{a}{c}$

Wenn dir die Bedeutung von Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck nicht mehr ganz klar ist, lies gerne im Artikel Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck noch einmal nach.

Berechnung mit Sinus und Kosinus

Die Formeln für Sinus und Kosinus können umgestellt werden, um die Hypotenuse zu berechnen.

Aus

$\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$

und

$\cos (α) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$

folgt durch Termumstellung:

$H y p o t e n u s e = \frac{G e g e n k a t h e t e}{\sin (α)} = \frac{A n k a t h e t e}{\cos (α)}$

Je nachdem, welcher Winkel und welche Kathete gegeben ist, muss die passende der beiden Formeln ausgewählt werden.

Aufgabe 2

Betrachte das gegebene Dreieck ABC. Berechne die Länge der Hypotenuse c.

Hypotenuse, Hypotenuse berechnen Sinus, StudySmarter Abbildung 5: Dreieck zu Aufgabe 2

Lösung

Hier ist zusätzlich zum Winkel $α$ die Seite a (die Gegenkathete von $α$ ) gegeben.Die Länge der Hypotenuse c soll berechnet werden.Wir benötigen also eine Formel, die die Hypotenuse, die Gegenkathete von $α$ und $α$ beinhaltet.

$\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$

Diese Formel muss entsprechend umgeformt werden, um die Länge der Hypotenuse zu berechnen.

$H y p o t e n u s e = \frac{G e g e n k a t h e t e}{\sin (α)}$

Mit den gegebenen Eigenschaften des Dreiecks kann nun berechnet werden:

$H y p o t e n u s e = \frac{a}{\sin (53 °)} = \frac{5 m}{0, 80} = 6, 25 m$

Aufgabe 3

Betrachte das gegebene Dreieck ABC. Bestimmte die Hypotenuse im Dreieck und berechne ihre Länge.

Hypotenuse, Beispiel Berechnung der Hypotenuse, StudySmarter Abbildung 6: Dreieck zu Aufgabe 3

Lösung

Die Hypotenuse des Dreiecks ist die Seite c, weil sie dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Zur Berechnung der Länge von c benötigst du den Winkel $α$ und die Ankathete b vom Winkel $α$ .

Es gilt:

$\cos (α) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} \Rightarrow H y p o t e n u s e = \frac{A n k a t h e t e}{\cos (α)}$

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt:

$c = \frac{b}{\cos (37 °)} = \frac{8 d m}{0, 80} = 10 d m$

Hypotenuse - Das Wichtigste

Die Hypotenuse bezeichnet eine spezielle Dreiecksseite im rechtwinkligen Dreieck
Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt
Die Hypotenuse ist die längste Seite im Dreieck
Die Länge der Hypotenuse kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden (bei gegebenen Kathetenlängen)
Die Länge der Hypotenuse kann mithilfe von Sinus und Kosinus berechnet werden (bei gegebenem Innenwinkel und einer Kathetenlänge)

Karteikarten in Hypotenuse 2

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Hypothenuse

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Hypotenuse

Wie kann man die Hypotenuse berechnen?

Um die Hypotenuse zu berechnen, gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten. Sind die Längen der Katheten gegeben, kann die Hypotenusenlänge mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Bei gegebenem Innenwinkel und einer Seite kann die Hypotenuse mithilfe von Sinus und Kosinus berechnet werden.

Ist die Seite c immer die Hypotenuse?

Nein, die Seite c ist nicht immer die Hypotenuse des Dreiecks. Welche Seite die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist, hängt von der Lage des rechten Winkels ab. Ist der rechte Winkel beim Punkt C, ist c die Hypotenuse. Ist das Dreieck rechtwinklig beim Punkt A, ist stattdessen a die Hypotenuse im Dreieck.

Ist die Hypotenuse immer die längste Seite eines Dreiecks?

Ja, die Hypotenuse ist immer die längste Seite des Dreiecks. Das liegt daran, dass die längste Seite im Dreieck immer dem größten Winkel gegenüberliegt. Der rechte Winkel ist der größte Winkel des Dreiecks (wäre ein zweiter Winkel im Dreieck größer als 90°, wäre die Summe dieser beiden schon größer als die 180° und damit größer als die gesamte Innenwinkelsumme des Dreiecks).

Ist die Hypotenuse immer gegenüber vom rechten Winkel?

Ja. Nach Definition ist die Hypotenuse genau die Seite des rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

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