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Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist die Zahl, die man erhält, wenn man alle Winkel im Inneren eines Dreiecks zusammenrechnet. Aber was sind eigentlich Innenwinkel und wie berechnet man diese Innenwinkelsumme?
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Team Innenwinkelsumme Dreieck Lehrer
Um die Innenwinkelsumme verstehen zu können, solltest du wissen, was ein Innenwinkel ist.
Ein Innenwinkel ist in der Geometrie der Winkel, der von zwei benachbarten Seiten eingeschlossen wird. Dementsprechend, und wie der Name auch schon sagt, liegt er im Inneren einer geometrischen Figur.
In diesem Fall ist der Winkel γ zwischen den Seiten a und b eingeschlossen:
Die Anzahl der Ecken gibt hierbei die Anzahl der Innenwinkel an. Ein Dreieck hat drei Ecken und daher drei Innenwinkel:
Abbildung 2: Anzahl der Innenwinkel
Es gibt nicht nur Innenwinkel, sondern auch sogenannte Außenwinkel. Außenwinkel sind die Nebenwinkel eines Innenwinkels. Sie entstehen, wenn eine Seite verlängert wird.
Abbildung 3: Innenwinkel und Außenwinkel
Nebenwinkel sind Winkel, die direkt nebeneinander liegen. Zusammen ergeben sie immer 180°. Wenn du mehr darüber erfahren willst, lies dir unseren Artikel zum Thema Nebenwinkel durch.
Der Innenwinkelsummensatz, auch Innenwinkelsatz oder Winkelsummensatz genannt, besagt, dass die Summe aller Innenwinkel immer 180° ergeben muss.
Nach dem Innenwinkelsummensatz gilt:
Diese Formel hilft dir, einen Winkel α zu berechnen, wenn du die Winkel β und γ gegeben hast.
Die Innenwinkelsumme von 180° gilt nur für Dreiecke! Beispielsweise haben Vierecke eine Innenwinkelsumme von 360° und Fünfecke eine Innenwinkelsumme von 540°. Aber wie kommt man darauf?
Wenn du dir ein Viereck anschaust, kannst du es in zwei Dreiecke zerlegen. Du kannst also die Innenwinkelsumme von zwei Dreiecken addieren:
So kannst du mit jedem Vieleck vorgehen: Es in Dreiecke zerlegen und die Innenwinkelsumme der Dreiecke addieren. Das geht bei Vierecken und Fünfecken, aber schon bei Sechsecken wird es schwierig.
Es ergibt sich jedoch ein Zusammenhang:
Man nimmt immer die Anzahl an Ecken n minus 2 und dann weiß man, wie viele Dreiecke in eine Figur passen.
Beispiel:
Man hat ein Dreizehneck. Also ist n in diesem Fall. Man rechnetaus und multipliziert das Ergebnis mit 180°:
Ein Dreizehneck hat also eine Innenwinkelsumme von 1980°.
Doch woher kommt diese Regel? Woher weißt du, dass das stimmt? Man kann sie einfach beweisen.
| Erklärung | Beispiel |
| Ein Dreieck mit der Seite c ist gegeben. Durch den gegenüberliegenden Punkt C wird eine Gerade gezogen, die parallel zur Seite c ist. |
|
| Jetzt können die Winkel α' und β' neben dem Winkel γ an der Geraden g platziert werden. Die Winkel α' und β' sind in diesem Fall, aufgrund des Wechselwinkelsatzes, genauso groß wie α und β. Der Wechselwinkelsatz besagt, dass Wechselwinkel genau dann gleich groß sind, wenn sie an parallelen Geraden liegen. |
|
| Wie du siehst, ergeben die Winkel α', β' und γ zusammen 180°. Da α = α' und β = β' gilt, müssen also auch α, β und γ zusammen 180° ergeben. Wenn man das mathematisch aufschreibt, kommt man wieder zum Innenwinkelsatz: |
|
Du kannst dir auch ein Dreieck aus einem Stück Papier ausschneiden, zwei Ecken abreißen und diese neben die letzte Ecke legen. Dann wirst du sehen, dass diese zusammen einen Halbkreis, also 180°, ergeben.
Rechtwinklige Dreiecke sind oft ein Sonderfall. In diesem Fall hast du jedoch Glück, da bei der Innenwinkelsumme eines Dreiecks alles genauso funktioniert wie bei jedem anderen Dreieck.
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Besonderheit liegt also darin, dass bei der Berechnung der Innenwinkelsumme immer ein Winkel 90° hat. Dies prüfen wir beispielhaft an dem Dreieck ABC:
Wir können also einfach die Werte α = 45°, β = 45° und γ = 90° in den Innenwinkelsatz einsetzen. Das Ergebnis müsste dann 180° sein:
Wie du siehst, stimmt die Aussage und damit der Innenwinkelsatz. Das bedeutet, dass du, unabhängig von der Art des Dreiecks, den Satz anwenden kannst und das Ergebnis immer 180° ist.
Gib die Innenwinkel γ, η und ζ an:
Die gegebene Zeichnung besteht aus drei Dreiecken: ein großes Dreieck, welches wiederum in zwei kleinere Dreiecke unterteilt ist. Du musst all diese Dreiecke nutzen, um die gesuchten Winkel berechnen zu können.
Als Erstes nehmen wir uns η vor. Der Winkel η ist zusammen mit α und δ in dem Dreieck ADC. Deren Summe muss also 180° ergeben:
Als Nächstes können wir uns ζ vornehmen. Der Winkel ζ bildet mit β und ε das Dreieck DBC. Hier gehen wir genauso vor:
Als Letztes müssen wir noch den Winkel γ ausrechnen. Hier haben wir jetzt zwei Möglichkeiten:
Zu a.: Da die Winkel η und ζ zusammen den Winkel γ bilden, können wir einfach deren Summe berechnen und erhalten so den Winkel γ:
Zu b.: Alternativ können wir γ auch über die Innenwinkelsumme des "großen" Dreiecks berechnen. Hier gehen wir genauso wie bei der Berechnung der Winkel η und ζ vor:
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Wie berechnet man die Innenwinkelsumme?
Die Innenwinkelsumme kann mit Hilfe des Innenwinkelsummensatzes, auch Innenwinkelsatz oder Winkelsummensatz genannt, berechnet werden. Die Formel lautet so: alpha + beta + gamma = 180°
Wie hoch ist die Innenwinkelsumme?
Die Innenwinklesumme eines Dreiecks beträgt immer 180°. Die Innenwinkelsumme eines Vierecks beträgt immer 360°. Je nach Figur ist die Innenwinkelsumme also anders.
Was bedeutet Innenwinkel?
Ein Innenwinkel ist ein Winkel, der zwischen zwei benachbarten Seiten eingeschlossen ist. Ein Innenwinkel ist, im Gegensatz zum Außenwinkel, immer innerhalb einer geometrischen Figur.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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