Lerninhalte finden
Features
Entdecke
Jeder Kreis hat einen Mittelpunkt. Aber wie kannst Du den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises konstruieren?
Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten
Leg kostenfrei losWähle alle Namen von Kreisen aus, die es an Dreiecken gibt.
Welche Aussage ist richtig? Wähl aus.
Durch welche besonderen Punkte verläuft der Feuerbachkreis eines Dreiecks? Wähl aus.
Durch welche Punkte verläuft der Umkreis eines Dreiecks? Wähl aus.
Welche besonderen Kreise an Dreiecken gibt es? Wähle aus.
Wähle alle Namen von Kreisen aus, die es an Dreiecken gibt.
Welche Aussage ist richtig? Wähl aus.
Durch welche besonderen Punkte verläuft der Feuerbachkreis eines Dreiecks? Wähl aus.
Durch welche Punkte verläuft der Umkreis eines Dreiecks? Wähl aus.
Welche besonderen Kreise an Dreiecken gibt es? Wähle aus.
Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Review generated flashcards
Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter
Team Kreise am Dreieck Lehrer
Abbildung 1: Kreis ohne Mittelpunkt
In Abbildung 1 siehst Du einen Kreis, dessen Mittelpunkt nicht eingezeichnet ist. Du kannst den Mittelpunkt abschätzen. Dann ist er aber nicht genau. Um den Mittelpunkt exakt zu bestimmen, kannst Du ein Dreieck verwenden, sodass der Kreis ein Umkreis des Dreiecks ist.
Abbildung 2: Kreis als Umkreis eines Dreiecks
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks ist der Mittelpunkt des Kreises.
Abbildung 3: Mittelpunkt des Kreises
Für ein Dreieck gibt es verschiedene Kreise: Umkreis, Inkreis, Ankreise und den Feuerbachkreis. Hier hast Du bereits ein Beispiel gesehen, wie Du den Umkreis verwenden kannst.
Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Die drei Eckpunkte des Dreiecks liegen auf dem Umkreis.
Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis u, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.
Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc der Dreiecksseiten a, b und c.
Abbildung 4: Umkreis U des Dreiecks ABC
Den Umkreis eines Dreiecks kannst Du konstruieren, indem Du die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks zeichnest und den Schnittpunkt dieser bestimmst. Eine genaue Konstruktionsbeschreibung mit Beispielen findest Du in der Erklärung "Umkreis eines Dreiecks".
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Er hat von allen drei Ecken des Dreiecks denselben Abstand. Je nach Art des Dreiecks liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und somit der Umkreismittelpunkt an verschiedenen Stellen.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Umkreismittelpunkt) eines spitzwinkligen Dreiecks liegt im Dreieck selber. Ein Beispiel dafür findest Du in Abbildung 4.
Für ein stumpfwinkliges Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. In Abbildung 5 siehst Du ein stumpfwinkliges Dreieck mit Umkreis und Umkreismittelpunkt.
Abbildung 5: Umkreis eines stumpfwinkligen Dreiecks
Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten genau der Mittelpunkt der Hypotenuse des Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt liegt also in der Mitte der Hypotenuse.
Die Hypotenuse ist in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Sie ist gleichzeitig auch die längste Seite.
Abbildung 6: Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks
Und immer, wenn es einen Kreis und einen Mittelpunkt gibt, gibt es auch einen Radius.
Du kannst den Umkreisradius ausrechnen.
Für ein Dreieck ABC mit Winkeln α, β, γ und Umkreis U ist der Radius des Umkreises:
Ausführliche Informationen zum Umkreis, Umkreismittelpunkt und Umkreisradius findest Du in der Erklärung "Umkreis eines Dreiecks".
Jedes Dreieck besitzt auch einen Inkreis. Dieser Kreis liegt innerhalb des Dreiecks.
Der Inkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis i, welcher innerhalb des Dreiecks liegt und alle drei Seiten a, b, c an einer Stelle von innen berührt.
Der Mittelpunkt M des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden , und .
Abbildung 7: Inkreis i des Dreiecks ABC
Eine Seite wird berührt, wenn der Kreis an dieser Seite ankommt, also in einem Punkt denselben Wert hat, wie die Seite, sie aber nicht schneidet, also nicht durch die Seite hindurchgeht.
Um den Inkreis eines Dreiecks zu konstruieren, zeichnest Du zuerst mindestens zwei Winkelhalbierende des Dreiecks. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises. Du kannst auch alle drei Winkelhalbierenden zeichnen.
Um den Inkreis zu zeichnen, fehlt noch der Radius. Dazu zeichnest Du ein Lot senkrecht zu einer Seite des Dreiecks durch den Mittelpunkt. Der Abstand des Schnittpunktes des Lots mit der Seite zum Mittelpunkt ist der Radius des Inkreises.
Abbildung 8: Inkreis konstruieren
Eine ausführliche Beschreibung zur Konstruktion eines Inkreises im Dreieck findest Du in der Erklärung "Inkreis eines Dreiecks".
Merke Dir auf jeden Fall: Für den Inkreis benötigst Du den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Du kannst den Radius des Inkreises eines Dreiecks auch berechnen. Dazu benötigst Du den Flächeninhalt des Dreiecks, sowie die Seitenlängen.
Den Radius r des Inkreises I eines Dreiecks ABC kannst Du mit der Formel
berechnen. Dabei ist der Flächeninhalt des Dreiecks und a, b, c sind die Dreiecksseiten.
Du möchtest genauer wissen, wie Du den Radius eines Inkreises berechnest? Dann sieh Dir die Erklärung "Inkreis eines Dreiecks" an.
Neben dem Inkreis und dem Umkreis besitzt ein Dreieck auch Ankreise. Genau drei sogar.
Der Ankreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis a, welcher außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen, sowie die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berührt.
Der Mittelpunkt M des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkels.
Abbildung 9: Ankreis eines Dreiecks
An jeder Seite des Dreiecks existiert ein Ankreis.
Abbildung 10: die drei Ankreise eines Dreiecks
Wie Du einen Ankreis konstruierst, kannst Du in der Erklärung "Ankreis eines Dreiecks" nachlesen.
Der Feuerbachkreis ist ein ganz besonderer Kreis des Dreiecks. Er beinhaltet neun spezielle Punkte eines Dreiecks. Deswegen wird er auch 9-Punkt-Kreis genannt.
Auf dem Feuerbachkreis eines Dreiecks liegen zum einen die drei Mittelpunkte der Seiten a, b und c. Außerdem befinden sich die drei Schnittpunkte der Höhen mit den Dreiecksseiten auf dem Feuerbachkreis. Betrachtest Du dann den Höhenschnittpunkt H, so liegen auch die drei Mittelpunkte zwischen Höhenschnittpunkt und Eckpunkten des Dreiecks auf dem Kreis.
In Abbildung 11 siehst Du den Feierbachkreis für ein Dreieck ABC. In der Abbildung sind nur die Punkte eingezeichnet, die auf dem Kreis liegen. Die Geraden, die für die Konstruktion benötigt werden, wurden weggelassen.
Abbildung 11: Feuerbachkreis
Neben den bereits genannten Eigenschaften erfüllt der Feuerbachkreis noch weitere:
Sein Mittelpunkt M liegt genau in der Mitte zwischen dem Schnittpunkt MU der Mittelsenkrechten (Umkreismittelpunkt) und dem Höhenschnittpunkt H. Diese Eigenschaft benötigst Du, wenn Du den Feuerbachkreis konstruieren willst. Mit ihr bestimmst Du den Mittelpunkt M.
Abbildung 12: Feuerbachkreis mit Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt
Wie kannst Du nun vorgehen, wenn den Feuerbachkreis eines Dreiecks konstruieren willst?
Zuerst konstruierst Du die Höhen des Dreiecks und damit die Höhenfußpunkte Ha, Hb, Hc sowie den Höhenschnittpunkt H. Dann kannst Du die Seitenmittelpunkte Ma, Mb, Mc bestimmen. Es fehlen noch die Mittelpunkte zwischen den Eckpunkten und dem Höhenschnittpunkt H. Wenn Du auch diese konstruiert hast, sind bereits alle 9 Punkte, die auf dem Feuerbachkreis liegen, bekannt. Um den Kreis zu zeichnen, fehlt aber noch der Mittelpunkt des Kreises. Dazu konstruierst Du den Schnittpunkt MU der Mittelsenkrechten. Genau in der Mitte zwischen MU und H liegt der Mittelpunkt M des Feuerbachkreises.
Aufgabe 1
Konstruiere den Umkreis u des Dreiecks ABC aus Abbildung 13.
Abbildung 13: Dreieck ABC
Lösung
Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Deswegen konstruierst Du zuerst die Mittelsenkrechten.
Abbildung 14: Dreieck ABC mit Mittelsenkrechten
Jetzt stellst Du Deinen Zirkel genau so ein, dass der Umkreisradius der Abstand zwischen dem Mittelpunkt M und einem Eckpunkt (A, B oder C) ist. Dann zeichnest Du den Kreis u.
Abbildung 15: Umkreis u des Dreiecks ABC
Aufgabe 2
Konstruiere den Inkreis i des Dreiecks ABC aus Abbildung 16.
Abbildung 16: Dreieck ABC
Lösung
Zuerst konstruierst Du die Winkelhalbierenden. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt M des Inkreises.
Abbildung 17: Dreieck ABC mit Winkelhalbierenden
Jetzt konstruierst Du eine Senkrechte zu einer Dreiecksseite durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und zeichnest den Schnittpunkt S der Senkrechten mit der Dreiecksseite ein. Der Abstand vom Punkt S zum Punkt M ist der Radius des Inkreises.
Abbildung 18: Abstand M zu S als Radius des Inkreises
Schließlich zeichnest Du den Inkreis i mit Deinem Zirkel.
Abbildung 19: Dreieck ABC mit Inkreis i
Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Wie zeichne ich einen Kreis in einem Dreieck?
Wenn Du einen Kreis zeichnen möchtest, der genau in einem Dreieck liegt, ist dies der Inkreis. Du zeichnest den Inkreis, indem Du zuerst die Winkelhalbierenden des Dreiecks konstruierst. Der Schnittpunkt dieser ist der Mittelpunkt des Inkreises. Für den Radius zeichnest Du eine Senkrechte zu einer Dreiecksseite durch den Mittelpunkt. Der Radius entspricht dem Abstand des Schnittpunktes der Senkrechten mit der Dreiecksseite und dem Mittelpunkt.
Wie nenne ich den Kreis in einem Dreieck?
Der Kreis in einem Dreieck heißt Inkreis. Er berührt jede Seite des Dreiecks genau einmal.
Es gibt auch einen Umkreis. Dieser verläuft außerhalb des Dreiecks durch jeden Eckpunkt.
Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.
Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
Lerne Lily kennen
Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
Lerne Gabriel kennen
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten 
StudySmarter AI 
Notizen 
Lernplan 
Spaced Repetition 
Lernsets 
Finde einen Job 
Ausbildungen 
Magazine 
Mobile App 
Für Unternehmen