Lerninhalte finden
Features
Entdecke
In einem Dreieck sind zahlreiche Konstruktionen möglich. Die Kreise eines Dreiecks bilden dabei einen kleinen Teil der möglichen Konstruktionen ab. Wie genau Du einen Inkreis, Umkreis oder Ankreise konstruierst, erfährst Du hier.
Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten
Leg kostenfrei losWas ist besonders am Umkreismittelpunkt?
Welche Eigenschaft besitzt der Inkreis?
Wo liegt der Umkreismittelpunkt bei einem rechtwinkligem Dreieck?
Wo liegt der Umkreismittelpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks?
Wie wird der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck noch bezeichnet?
Durch welche Konstruktion erhältst Du die Berührpunkte des Inkreises mit den Dreiecksseiten?
Was ist besonders am Umkreismittelpunkt?
Welche Eigenschaft besitzt der Inkreis?
Wo liegt der Umkreismittelpunkt bei einem rechtwinkligem Dreieck?
Wo liegt der Umkreismittelpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks?
Wie wird der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck noch bezeichnet?
Durch welche Konstruktion erhältst Du die Berührpunkte des Inkreises mit den Dreiecksseiten?
Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Review generated flashcards
Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter
Team Kreis im Dreieck Lehrer
Dreiecke und Kreise sind beides wichtige Figuren der Geometrie.
Ein Dreieck hat drei Ecken, welche durch drei Strecken miteinander verbunden werden.
Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen.
Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.
Abbildung 1: beschriftetes Dreieck
Als Kreis wird eine runde Linie verstanden, wobei diese Linie an jedem Punkt denselben Abstand zu dem Kreismittelpunkt hat, welcher nicht auf der Linie liegt.
Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.
Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.
Abbildung 2: Kreis mit Radius
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis , einen Inkreis und drei Ankreise .
Abbildung 3: Dreieck mit Ankreis, Inkreis, Umkreis
Im Folgenden lernst Du, wie Du diese Kreise konstruierst. Dazu benötigst Du ein Lineal oder Geodreieck und einen Zirkel.
Der Feuerbachkreis ist ein weiterer Kreis des Dreiecks und verbindet die Höhenpunkte der Dreiecksseiten mit den Mittelpunkten der Seiten. Der Mittelpunkt ist gleichzeitig auch der Mittelpunkt des Umkreises des Mittendreiecks und des Höhenfußpunktdreiecks.
Abbildung 4: Feuerbachkreis
Der Name Umkreis verrät bereits, dass der Umkreis ein Kreis um das Dreieck ist. Genauer wird darunter Folgendes verstanden:
Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis , welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.
Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten , und der Dreiecksseiten und . Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft.
Der Umkreismittelpunkt hat zu jedem Eckpunkt des Dreiecks denselben Abstand. Der Abstand zwischen dem Umkreismittelpunkt und den Eckpunkten ist der Umkreisradius.
Der Umkreismittelpunkt kann im Dreieck, auf dem Dreieck und außerhalb des Dreiecks liegen. Wo der Umkreismittelpunkt liegt, ist abhängig davon, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.
Bei einem stumpfwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.
Abbildung 5: Umkreis stumpfwinkliges Dreieck
Bei einem spitzwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.
Abbildung 6: Umkreis spitzwinkliges Dreieck
Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der längsten Seite des Dreiecks. Diese liegt dem rechten Winkel immer gegenüber.
Abbildung 7: Umkreis rechtwinkliges Dreieck
Als Erstes zeichnest Du Dir ein beliebiges Dreieck und beschriftest es mit den Ecken und den Kanten .
Abbildung 8: Umkreiskonstruktion
Als Nächstes konstruierst Du die Mittelsenkrechte von .
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Mittelsenkrechte konstruierst, kannst Du das in den Erklärungen "Grundkonstruktionen" oder "Mittelsenkrechte konstruieren" nachlesen.
Abbildung 9: Umkreiskonstruktion
Jetzt konstruierst Du die Mittelsenkrechte von . Du erhältst den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und gleichzeitig den Umkreismittelpunkt.
Abbildung 10: Umkreiskonstruktion
Die letzte Mittelsenkrechte von musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Jedoch kannst Du das Konstruieren der letzten Mittelsenkrechten zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion nutzen.
Abbildung 11: Umkreiskonstruktion
Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch die Eckpunkte des Dreiecks. Damit hast Du nun den Umkreis eines Dreiecks konstruiert.
Abbildung 12: Umkreiskonstruktion
Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Umkreises im Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne bei "Umkreis eines Dreiecks konstruieren" vorbei.
Der Inkreis ist ein Kreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und jede Seite des Dreiecks berührt.
Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis , welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten an einer Stelle von innen berührt, aber nicht schneidet.
Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden und . Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Der Inkreis ist der größte Kreis, der vollständig innerhalb des Dreiecks liegt.
Als Erstes zeichnest Du ein beliebiges Dreieck und beschriftetest es mit den Ecken , den Kanten und den Winkeln.
Abbildung 13: Inkreis konstruieren
Jetzt konstruierst Du die Winkelhalbierende .
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Winkelhalbierende konstruierst, lies Dir die Erklärungen "Grundkonstruktionen" oder "Winkelhalbierende konstruieren" durch.
Abbildung 14: Inkreis konstruieren
Nun konstruierst Du die Winkelhalbierende . Du erhältst den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und gleichzeitig den Mittelpunkt des Inkreises.
Abbildung 15: Inkreis konstruieren
Die letzte Winkelhalbierende musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Du kannst sie jedoch zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion nutzen.
Abbildung 16: Inkreis konstruieren
Um den Berührpunkt des Inkreises mit einer Dreiecksseite zu erhalten, konstruierst Du ein Lot auf eine der Dreiecksseiten.
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du ein Lot konstruierst, lies in der Erklärung "Grundkonstruktionen" nach.
Abbildung 17: Inkreis konstruieren
Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch den Schnittpunkt des Lots mit einer Seite. Somit hast Du den Inkreis eines Dreiecks konstruiert.
Abbildung 18: Inkreis konstruieren
Das gleichseitige Dreieck ist besonders.
Bei diesem sind die Winkelhalbierenden gleichzeitig die Mittelsenkrechten. Deshalb ist der Inkreismittelpunkt ebenfalls der Umkreismittelpunkt. Zur Konstruktion des Inkreises benötigst Du im gleichseitigen Dreieck kein Lot, sondern nutzt als Berührpunkte mit den Seiten den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit den Seiten.
Abbildung 19: gleichseitiges Dreieck mit Umkreis, Inkreis
Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Inkreises im Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne in der Erklärung "Inkreis eines Dreiecks konstruieren" nach.
Ankreise liegen von außen an einem Dreieck an.
Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis , welcher außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet.
Der Mittelpunkt des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkel.
Es existiert an jeder Seite des Dreiecks ein Ankreis. Das bedeutet, jedes Dreieck besitzt drei Ankreise.
Als Erstes zeichnest Du ein beliebiges Dreieck und beschriftetest es mit den Ecken , den Kanten und den Winkeln. Die Dreiecksseiten verlängerst Du, so weit wie möglich.
Abbildung 20: Ankreis konstruieren
Jetzt konstruierst Du die Winkelhalbierende .
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Winkelhalbierende konstruierst, lies Dich bei "Grundkonstruktionen" oder "Winkelhalbierende konstruieren" rein.
Abbildung 21: Ankreis konstruieren
Danach konstruierst Du die Winkelhalbierende von dem Nebenwinkel von (). Du erhältst den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden sowie der Außenwinkelhalbierenden und gleichzeitig den Ankreismittelpunkt.
Abbildung 22: Ankreis konstruieren
Die letzte Winkelhalbierende von dem Nebenwinkel von () musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Dennoch kannst Du das Konstruieren der letzten Außenwinkelhalbierenden zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion verwenden.
Abbildung 23: Ankreis konstruieren
Um den Berührpunkt des Ankreises zu erhalten, konstruierst Du ein Lot aus dem Schnittpunkt auf die Dreiecksseite .
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du ein Lot konstruierst, findest Du dazu eine Erklärung in "Grundkonstruktionen".
Abbildung 24: Ankreis konstruieren
Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch den Schnittpunkt des Lots mit einer Seite und Du hast einen Ankreis eines Dreiecks konstruiert.
Abbildung 25: Ankreis konstruieren
Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Ankreises am Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne in der Erklärung "Ankreis eines Dreiecks konstruieren" nach.
Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis , der außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet. Der Mittelpunkt des Ankreises ist der Schnittpunkt zweier Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegenden Winkels.
Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Wie zeichnet man einen Kreis in einem Dreieck?
Der Kreis in einem Dreieck heißt Inkreis. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks. Wenn Du den Schnittpunkt konstruierst hast, fällst Du ein Lot auf eine Dreiecksseite. Zum Schluss stichst Du in den Mittelpunkt ein und spannst Deinen Zirkel bis zum Schnittpunkt des Lots mit der Dreiecksseite auf und zeichnest den Inkreis.
Wie konstruiert man bei einem Dreieck den Inkreis?
Du konstruierst als erstes die Winkelhalbierenden des Dreiecks. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt. Danach fällst Du ein Lot vom Schnittpunkt auf eine Dreiecksseite. Zum Schluss stichst Du in den Mittelpunkt ein und spannst Deinen Zirkel bis zum Schnittpunkt des Lots mit der Dreiecksseite auf und zeichnest den Inkreis.
Wie nennt man den Kreis in einem Dreieck?
Der Kreis innerhalb eines Dreiecks heißt Inkreis. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Warum gibt es zu jedem Dreieck einen Umkreis?
Der Umkreis ist ein Kreis, welcher durch alle Eckpunkte des Dreiecks geht. Da der Umkreismittelpunkt nicht innerhalb des Dreiecks liegen muss, kann für jedes Dreieck ein Punkt gefunden werden, welcher zu allen Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.
Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.
Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
Lerne Lily kennen
Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
Lerne Gabriel kennen
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten 
StudySmarter AI 
Notizen 
Lernplan 
Spaced Repetition 
Lernsets 
Finde einen Job 
Studentenrabatte 
Ausbildungen 
Magazine 
Mobile App 
Für Unternehmen