Kreis im Dreieck

Dreieck

Ein Dreieck hat drei Ecken, welche durch drei Strecken miteinander verbunden werden.

Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.

Abbildung 1: beschriftetes Dreieck

Kreis

Als Kreis wird eine runde Linie verstanden, wobei diese Linie an jedem Punkt denselben Abstand zu dem Kreismittelpunkt hat, welcher nicht auf der Linie liegt.

Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.

Abbildung 2: Kreis mit Radius

Kreise im Dreieck konstruieren

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis $U$, einen Inkreis $I$ und drei Ankreise $A$.

Abbildung 3: Dreieck mit Ankreis, Inkreis, Umkreis

Im Folgenden lernst Du, wie Du diese Kreise konstruierst. Dazu benötigst Du ein Lineal oder Geodreieck und einen Zirkel.

Umkreis eines Dreiecks

Der Name Umkreis verrät bereits, dass der Umkreis ein Kreis um das Dreieck ist. Genauer wird darunter Folgendes verstanden:

Der Umkreismittelpunkt hat zu jedem Eckpunkt des Dreiecks denselben Abstand. Der Abstand zwischen dem Umkreismittelpunkt und den Eckpunkten ist der Umkreisradius.

Der Umkreismittelpunkt kann im Dreieck, auf dem Dreieck und außerhalb des Dreiecks liegen. Wo der Umkreismittelpunkt liegt, ist abhängig davon, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.

Bei einem stumpfwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Abbildung 5: Umkreis stumpfwinkliges Dreieck

Bei einem spitzwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.

Abbildung 6: Umkreis spitzwinkliges Dreieck

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der längsten Seite des Dreiecks. Diese liegt dem rechten Winkel immer gegenüber.

Abbildung 7: Umkreis rechtwinkliges Dreieck

Umkreis Dreieck konstruieren

Als Erstes zeichnest Du Dir ein beliebiges Dreieck und beschriftest es mit den Ecken $A,B,C$ und den Kanten $a,b,c$.

Abbildung 8: Umkreiskonstruktion

Als Nächstes konstruierst Du die Mittelsenkrechte von $c$.

Abbildung 9: Umkreiskonstruktion

Jetzt konstruierst Du die Mittelsenkrechte von $a$. Du erhältst den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und gleichzeitig den Umkreismittelpunkt.

Abbildung 10: Umkreiskonstruktion

Die letzte Mittelsenkrechte von $b$ musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Jedoch kannst Du das Konstruieren der letzten Mittelsenkrechten zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion nutzen.

Abbildung 11: Umkreiskonstruktion

Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch die Eckpunkte des Dreiecks. Damit hast Du nun den Umkreis eines Dreiecks konstruiert.

Abbildung 12: Umkreiskonstruktion

Inkreis eines Dreiecks

Der Inkreis ist ein Kreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und jede Seite des Dreiecks berührt.

Der Inkreis ist der größte Kreis, der vollständig innerhalb des Dreiecks liegt.

Inkreis Dreieck konstruieren

Als Erstes zeichnest Du ein beliebiges Dreieck und beschriftetest es mit den Ecken $A,B,C$, den Kanten $a,b,c$ und den Winkeln$\alpha ,\beta ,\gamma$.

Abbildung 13: Inkreis konstruieren

Jetzt konstruierst Du die Winkelhalbierende $w_{\alpha }$.

Abbildung 14: Inkreis konstruieren

Nun konstruierst Du die Winkelhalbierende $w_{\gamma }$. Du erhältst den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und gleichzeitig den Mittelpunkt des Inkreises.

Abbildung 15: Inkreis konstruieren

Die letzte Winkelhalbierende $w_{\beta }$ musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Du kannst sie jedoch zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion nutzen.

Abbildung 16: Inkreis konstruieren

Um den Berührpunkt des Inkreises mit einer Dreiecksseite zu erhalten, konstruierst Du ein Lot auf eine der Dreiecksseiten.

Abbildung 17: Inkreis konstruieren

Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch den Schnittpunkt des Lots mit einer Seite. Somit hast Du den Inkreis eines Dreiecks konstruiert.

Abbildung 18: Inkreis konstruieren

Gleichseitiges Dreieck im Kreis konstruieren

Ankreise eines Dreiecks

Ankreise liegen von außen an einem Dreieck an.

Es existiert an jeder Seite des Dreiecks ein Ankreis. Das bedeutet, jedes Dreieck besitzt drei Ankreise.

Ankreise Dreieck konstruieren

Als Erstes zeichnest Du ein beliebiges Dreieck und beschriftetest es mit den Ecken $A,B,C$, den Kanten $a,b,c$und den Winkeln$\alpha ,\beta ,\gamma$. Die Dreiecksseiten verlängerst Du, so weit wie möglich.

Abbildung 20: Ankreis konstruieren

Jetzt konstruierst Du die Winkelhalbierende $w_{\beta }$.

Abbildung 21: Ankreis konstruieren

Danach konstruierst Du die Winkelhalbierende von dem Nebenwinkel von $\alpha$ ($\alpha \text{'}$). Du erhältst den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden sowie der Außenwinkelhalbierenden und gleichzeitig den Ankreismittelpunkt.

Abbildung 22: Ankreis konstruieren

Die letzte Winkelhalbierende von dem Nebenwinkel von $\gamma$ ($\gamma \text{'}$) musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Dennoch kannst Du das Konstruieren der letzten Außenwinkelhalbierenden zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion verwenden.

Abbildung 23: Ankreis konstruieren

Um den Berührpunkt des Ankreises zu erhalten, konstruierst Du ein Lot aus dem Schnittpunkt auf die Dreiecksseite $b$.

Abbildung 24: Ankreis konstruieren

Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch den Schnittpunkt des Lots mit einer Seite $b$ und Du hast einen Ankreis eines Dreiecks konstruiert.

Abbildung 25: Ankreis konstruieren