Kreisring

Stochastik

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Ein Verkehrskreisel, ein Donut und ein dicker Gummi. Auf den ersten Blick haben diese drei Gegenstände nichts miteinander zu tun. Doch in einem Punkt sind sich alle diese drei Dinge sehr ähnlich sind – sie haben alle die Form eines Kreisrings.

In diesem Artikel erfährst du unter anderem, was ein Kreisring ist, wie man seinen Flächeninhalt und seinen Umfang berechnet.

Der Kreisring – Definition

Der Kreisring ist keine Form, die einem oft im Alltagsleben begegnet und doch gibt es ein paar Dinge (zum Beispiel die aus der Einleitung), die die Form eines Kreisrings haben. Ein Kreisring ist im Prinzip ein Kreis mit einem Loch in der Mitte. Er besteht aus einem großen Kreis, aus dem ein kleinerer Kreis ausgeschnitten wurde.

Ein Kreisring ist die Fläche, welche zwischen zwei unterschiedlich großen Kreisen mit demselben Mittelpunkt liegt. Aufgrund dessen hat ein Kreisring zwei verschiedene Radien: $r_{k}$ , der Radius des kleinen Innenkreises und $r_{g}$ , der Radius des größeren Außenkreises. Beide dieser Radien – und damit beide Kreise – haben den gleichen Mittelpunkt M.

In der Mathematik kann ein Kreisring beispielsweise so aussehen:

Kreisring Definition Beispiel StudySmarter Abbildung 1: Kreisring

Kreisring vs. Torus

Achtung! Oben wurde gesagt, dass ein Donut ein Kreisring ist. Streng genommen ist ein Donut nur dann ein Kreisring, wenn er von oben betrachtet wird, denn ein Kreisring ist eine zweidimensionale Figur. Betrachtet man einen Donut im dreidimensionalen Raum, dann handelt es sich um einen Körper, den sogenannten Torus. Dieser ist der offizielle Name für mathematische Objekte, die die Form eines Donuts haben.

Ein Torus sieht zum Beispiel so aus:

Kreisring Beispiel Torus StudySmarter Abbildung 2: Torus

Somit besteht der Unterschied zwischen einem Kreisring und einem Torus in erster Linie in deren Darstellung. Ein Kreisring ist zweidimensional und kann deshalb leicht auf Papier gezeichnet werden. Ein Torus ist dreidimensional und wird deshalb im Raum abgebildet. Auf Papier kann man einen Torus nur durch Tricks darstellen.

Kreisring berechnen

Es können der Flächeninhalt A, der Umfang U und die Ringbreite b eines Kreisrings berechnet werden. Die Formel dafür lernst du in den folgenden Abschnitten.

Flächeninhalt eines Kreisrings berechnen

Unter dem Flächeninhalt A eines Kreisrings versteht man den Unterschied der Fläche zwischen dem Außenkreis und dem Innenkreis.

Kreisring Flächeninhalt Kreisring StudySmarter Abbildung 3: Flächeninhalt Kreisring

Dadurch, dass ein Kreisring zwei verschiedene Radien hat, gibt es auch zwei verschiedene Flächeninhalte:

Der Flächeninhalt $A_{k}$ des inneren, kleinen Kreises
Der Flächeninhalt $A_{g}$ der äußeren, großen Kreises

Um den Flächeninhalt des Kreisrings zu erhalten, musst du den Flächeninhalt des großen Kreises berechnen und dann den Flächeninhalt des kleinen Kreises davon abziehen. So bleibt nur der Unterschied zwischen dem Flächeninhalt des großen und des kleinen Kreises, also der Kreisring.

Für den Flächeninhalt A eines Kreisrings mit dem Außenradius $r_{g}$ und dem Innenradius $r_{k}$ gilt:

$A = π \cdot {r_{g}}^{2} - π \cdot {r_{k}}^{2}$

oder

$A = π \cdot {(\frac{d_{g}}{2})}^{2} - π \cdot {(\frac{d_{k}}{2})}^{2}$

Wenn du mehr über dieses Thema wissen möchtest, dann lies dir doch den Artikel zum Thema Flächeninhalt eines Kreisrings durch. Dort findest du unter anderem die Herleitung sowie Übungsaufgaben.

Umfang eines Kreisrings berechnen

Unter dem Umfang U eines Kreisrings versteht man die Summe des Umfangs des Außenkreises und des Innenkreises.

Kreisring Umfang berechnen StudySmarter Abbildung 4: Umfang Kreisring

Wie auch beim Flächeninhalt gibt es hier zwei verschiedene Umfänge:

Für den Umfang U eines Kreisrings mit dem Außenradius $r_{g}$ und dem Innenradius $r_{k}$ gilt:

$U = 2 π \cdot r_{g} + 2 π \cdot r_{k}$

oder

$U = 2 π \cdot \frac{d_{g}}{2} + 2 π \cdot \frac{d_{k}}{2}$

Wenn du mehr zu diesem Thema erfahren möchtest, dann lies dir gerne den Artikel zum Thema Umfang eines Kreisrings durch.

Ringbreite eines Kreisrings berechnen

Die Ringbreite b gibt an, wie groß der Abstand zwischen dem kleinen, inneren Kreis und dem größeren, äußeren Kreis ist. Sie stellt also den Unterschied zwischen den Radien der beiden Kreise dar.

Kreisring Ringbreite Kreisring StudySmarter Abbildung 5: Ringbreite Kreisring

Um die Ringbreite zu berechnen, musst du also den Radius $r_{k}$ des kleineren, inneren Kreises vom Radius $r_{g}$ des größeren, äußeren Kreises subtrahieren.

Für die Ringbreite b eines Kreisrings mit dem Außenradius $r_{g}$ und dem Innenradius $r_{k}$ gilt:

$b = r_{g} - r_{k}$

oder

$b = \frac{1}{2} \cdot (d_{g} - d_{k})$

Wenn du mehr über dieses Thema wissen möchtest, dann schaue gerne in den entsprechenden Artikel zum Thema Ringbreite eines Kreisrings rein.

Kreisring – Formeln

Im Folgenden findest du noch einmal einen Überblick über alle wichtigen Formeln bei der Berechnung von Größen im Kreisring.

Du kannst zum Beispiel immer den Radius r mit dem halben Durchmesser d ersetzen.
Außerdem kannst du zum Beispiel den Flächeninhalt mithilfe des Umfangs eines Kreises berechnen und umgekehrt den Umfang mit dem Flächeninhalt eines Kreises.
Auch den Innen- und den Außenradius musst du nicht mit der Formel für die Ringbreite b berechnen. Du kannst auch die Formel für den Flächeninhalt A oder die Formel für den Umfang U umstellen.

Je nachdem, was du gegeben hast und was du berechnen möchtest, kannst du die Formeln also beliebig umstellen, einsetzen und anpassen.

Hier wurden die wichtigsten Formeln vorgestellt, aber es gibt natürlich auch viele weitere.

Zum besseren Verständnis folgt hier noch eine Abbildung eines Kreisrings, indem die einzelnen Größen eingezeichnet sind.

Kreisring beschrifteter Kreisring StudySmarter Abbildung 6: Beschrifteter Kreisring

Größe	Formel
Flächeninhalt A	$A = π \cdot {r_{g}}^{2} - π \cdot {r_{k}}^{2}$
Umfang U	$U = 2 π \cdot r_{g} + 2 π \cdot r_{k}$
Ringbreite b	$b = r_{g} - r_{k}$
Außenradius $r_{g}$	$r_{g} = b + r_{k}$
Innenradius $r_{k}$	$r_{k} = r_{g} - b$

Kreisring - Das Wichtigste

Ein Kreisring ist ein großer Außenkreis, aus dem ein kleiner Innenkreis mit dem gleichen Mittelpunkt M ausgeschnitten wurde.
Der Flächeninhalt A eines Kreisrings ist der Flächenunterschied zwischen dem Außen- und dem Innenkreis.Für den Flächeninhalt A eines Kreisrings gilt: $A = π \cdot {r_{g}}^{2} - π \cdot {r_{k}}^{2}$
Der Umfang U eines Kreisrings ist die Summe der Umfänge des Außenkreises (äußerer, großer Kreis) $U_{g}$ und des Innenkreises (innerer, kleiner Kreis) $U_{k}$ .Für den Umfang U eines Kreisrings gilt: $U = 2 π \cdot r_{g} + 2 π \cdot r_{k}$
Die Ringbreite b eines Kreisrings ist der Abstand zwischen dem Außen- und dem Innenkreis.Für die Ringbreite b eines Kreisrings gilt: $b = r_{g} + r_{k}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreisring

Für den Flächeninhalt A eines Kreissektors mit dem Radius r und dem Winkel alpha gilt:

A = r² · π · (alpha/360°)

Für den Umfang U eines Kreises mit dem Radius r gilt:

U = 2π · r

Für den Umfang U eines Kreises mit dem Durchmesser d gilt:

U = 2π · (d/2)

Man schreibt sich die Formel für den Flächeninhalt auf und stellt diese dann nach dem Durchmesser d um.

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Was ist der Flächeninhalt?

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe seiner Fläche. Er ist abhängig vom Radius r beziehungsweise dem Durchmesser d.

In welcher Einheit wird der Flächeninhalt angegeben?

Der Flächeninhalt wird in der Regel in mm², cm², m² oder km² angegeben.

Was ist der Umfang eines Kreisrings?

Der Umfang eines Kreisrings ist die Länge der Strecke um den Kreisring herum addiert mit der Länge der Strecke, die den Kreisring innen begrenzt. Er ist abhängig vom Radius r beziehungsweise dem Durchmesser d.

In welcher Einheit wird der Umfang angegeben?

Der Umfang wird normalerweise in mm (Millimeter), cm (Zentimeter), m (Meter) oder km (Kilometer) angegeben.

Was braucht man für die Herleitung der Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreisrings?

Man braucht:

Die Formel für den Umfang eines Kreises
Die Definition des Kreisrings

Wie erhält man den Umfang eines Kreisrings? Erkläre!

Du berechnest den Umfang des großen Kreises und addierst dann den Umfang des kleinen Kreises dazu. Und schon hast du die Summe der Umfänge des großen und des kleinen Kreises, also den Kreisring.

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