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Kreuzprodukt

Q: Was wird mit dem Kreuzprodukt berechnet?

Wird das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet, erhältst Du einen dritten Vektor, der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht.

Wie wird das Kreuzprodukt berechnet und wie lautet die Formel dafür? Welche Rechenregeln sind dabei zu beachten und welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt und dem Kreuzprodukt? In der folgenden Erklärung findest Du alle Antworten auf diese Fragen!

Los geht’s

Geprüfter Inhalt
Letzte Aktualisierung: 13.12.2022
12 Minuten Lesezeit

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Kreuzprodukt Vektor Formel

Das Kreuzprodukt ist die Verknüpfung (Multiplikation) von zwei Vektoren, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist – der Normalenvektor $\vec{n}$ .

Das Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ ist definiert durch den Vektor

$\begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} & = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) \times (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) \\ = (\begin{array}{rcl} a_{2} \cdot b_{3} & - & a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} & - & a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} & - & a_{2} \cdot b_{1} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array}) \Rightarrow \vec{n} \end{aligned}$

Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht (orthogonal) auf der von den Ausgangsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Ebene:

$\begin{array}{r} \vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} mit \vec{n} ⊥ \vec{a} und \vec{n} ⊥ \vec{b} \end{array}$

Wenn Du also zwei Vektoren gegeben hast, die in unterschiedliche Richtungen zeigen, kannst Du damit einen dritten Vektor $\vec{c}$ berechnen, der senkrecht auf diesen beiden steht.

Kreuzprodukt Senkrechter Vektor ermitteln StudySmarter Abb. 1 - Kreuzprodukt Vektor.

Das folgende Beispiel veranschaulicht Dir die Berechnung mit der oben genannten Formel.

Den Normalenvektor $\vec{n}$ auf $\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})$ berechnest Du somit, indem Du das Kreuzprodukt bildest:

$\begin{aligned} \vec{n} & = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \\ \vec{n} & = (\begin{array}{rcl} - 2 \cdot (- 1) & - & (- 4) \cdot 3 \\ 4 \cdot 5 & - & (- 2) \cdot (- 1) \\ 2 \cdot 3 & - & (- 4) \cdot 5 \end{array}) \\ \vec{n} & = (\begin{array}{c} - 8 \\ 22 \\ 26 \end{array}) \Rightarrow \vec{n} ⊥ \vec{a} und \vec{n} ⊥ \vec{b} \end{aligned}$

Kreuzprodukt berechnen

Damit Du Dir diese Formel besser merken kannst, gibt es eine Eselsbrücke. Die sogenannte Gartenzaunregel:

Kreuzprodukt berechnen Schema StudySmarter Abb. 2 - Kreuzprodukt berechnen – Schema.

Schreibe die einzelnen Zeilen der Vektoren zweimal untereinander auf.
Streiche die oberste und die unterste Zeile.
Nun rechnest Du die übrigen Zahlen kreuzweise, indem Du die miteinander verbundenen Zahlen multiplizierst und das Produkt der kreuzenden Linie davon abziehst.

Kreuzprodukt berechnen – Aufgabe 1

Berechne das Kreuzprodukt der beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ .

Lösung

Das Kreuzprodukt kannst Du berechnen, indem Du das Gartenzaunschema anwendest:

Kreuzprodukt Lösung Kreuzprodukt mit Schema StudySmarter Abb. 3 - Lösung des Kreuzprodukts mit dem Gartenzaunschema

Deine Rechnung sieht dann so aus:

$\begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} & = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{rcl} 4 \cdot 2 & - & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 & - & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 & - & 4 \cdot 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 8 & - & 1 \\ 2 & - & 6 \\ 3 & - & 8 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 7 \\ - 4 \\ - 5 \end{array}) \Rightarrow \vec{n} \end{aligned}$

Der resultierende Vektor ist orthogonal zu den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ , also der Normalenvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ . Die Länge des resultierenden Vektors ist die Fläche des Parallelogramms, welches mit den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird.

Falls Du hier als Ergebnis des Kreuzprodukts 0 herausbekommen hättest, sind die Vektoren entweder gleich oder Vielfache voneinander und spannen somit keine Fläche auf, sondern eine Gerade. Aus diesem Grund ist der Normalenvektor null und wird daher Nullvektor genannt.

Neben der Orthogonaliätsbeziehung lässt sich mithilfe des Vektorprodukts der Winkel bestimmen, der zwischen den Richtungsvektoren der Ebene $\vec{a}$ und $\vec{b}$ auftritt.

Kreuzprodukt Betrag (Rechte Hand Regel)

Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels $ϕ$ . $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin ϕ (0^{\circ} \leq ϕ \leq 180^{\circ})$

Das heißt, mit dem Betrag des Kreuzprodukts kannst Du den Winkel berechnen, der zwischen den Richtungsvektoren der Ebene auftritt, sowie Flächeninhalte und Volumina.

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Kreuzprodukt Flächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms oder Dreiecks kann mit dem Kreuzprodukt berechnet werden.

Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen ein Parallelogramm auf, das den Flächeninhalt $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin ϕ$ besitzt. Dabei gibt der Betrag oder die Länge des Vektors $| \vec{a} \times \vec{b} |$ den Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms an, wobei $ϕ$ der von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossene Winkel ist.

Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren lässt sich also geometrisch als die Maßzahl des Flächeninhalts des Parallelogramms deuten.

Kreuzprodukt Flächeninhalt eines Parallelogramms StudySmarter Abb. 4 - Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen

Mithilfe des Kreuzprodukts lässt sich der Flächeninhalt eines Parallelogramms oder Dreiecks berechnen:

$\begin{aligned} A_{Parallelo gramm} & = | \vec{a} \times \vec{b} | \\ A_{Dre ieck} & = \frac{1}{2} \cdot | \vec{a} \times \vec{b} | \end{aligned}$

Du beginnst also damit, das Kreuzprodukt der beiden gegebenen Vektoren nach der Formel zu berechnen. Wie bereits gelernt, wird das Ergebnis wieder ein Vektor $\vec{c}$ sein. Als Nächstes berechnest Du den Betrag des Vektors $\vec{c}$ und es ergibt sich der Flächeninhalt des Parallelogramms bzw. der Flächeninhalt des Dreiecks.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den zwei Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ - 5 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$ aufgespannt wird, kannst Du folgendermaßen berechnen:

\begin{align}A_{\text{Parallelogramm}} &=\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert =\left\vert $\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ - 5 \end{matrix}$ \times $\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}$ \right\vert =\left\vert $\begin{matrix} 32 \\ - 24 \\ 16 \end{matrix}$ \right\vert \[0.2cm] & =\sqrt{32^2+(-24)^2+16^2}=\sqrt{1\,856}\approx 43,08\[0.5cm] A_{\text{Drei}\text{eck}}&=\frac{1}{2}\cdot\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1\,856}\approx 17,49\end{align}

Ebenso kann das Volumen eines Spats oder einer dreiseitigen Pyramide berechnet werden. Falls Du mehr über die Volumenberechnung erfahren möchtest, schau Dir gerne die Erklärungen „Volumen eines Spates“ und „Volumen Pyramide“ an.

Kreuzprodukt Rechenregeln

In der nachfolgenden Tabelle findest Du eine Übersicht zu allen Eigenschaften und die sich daraus ergebenden Anwendungen des Kreuzprodukts.

Regel	Erklärung
nicht kommutativ	Die Reihenfolge spielt bei der Berechnung eine wichtige Rolle. Wenn Du die beiden Vektoren vertauschst, erhältst Du als Kreuzprodukt den Gegenvektor: $\vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a})$ Werden $\vec{a}$ und $\vec{b}$ vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen bzw. der Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung.
nicht assoziativ	$(c (\vec{a} \times \vec{b}) = (c \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (c \vec{b}))$
distributiv	$(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$
kollinear	Wenn das Kreuzprodukt Null ist, dann sind die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kollinear. $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} ∥ \vec{b}$
weitere Regel	$(r \cdot \vec{a}) \times \vec{b} = r \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (r \cdot \vec{b})$

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Kreuzprodukt – Herleitung

Das Kreuzprodukt kann mit einem Gleichungssystem hergeleitet werden. Die Gleichungen basieren auf den Eigenschaften, dass ...

... der Vektor $\vec{c}$ senkrecht auf den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht.
... das Skalarprodukt zweier Vektoren genau dann null wird, wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Somit lautet der Ansatz:

$\begin{aligned} \vec{c} \cdot \vec{a} & = 0 \Leftrightarrow (\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) = 0 \Leftrightarrow a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3} = 0 \\ \vec{c} \cdot \vec{b} & = 0 \Leftrightarrow (\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) = 0 \Leftrightarrow b_{1} c_{1} + b_{2} c_{2} + b_{3} c_{3} = 0 \end{aligned}$

Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ . Alle anderen Variablen werden als bekannt vorausgesetzt. Nun wird das LGS gelöst:

$\begin{array}{rclr} (I) a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} - a_{3} c_{3} & = & 0 & | \cdot (- b_{1}) \\ (I I) b_{1} c_{1} - b_{2} c_{2} + b_{3} c_{3} & = & 0 & | \cdot a_{1} \end{array}$

Du erhältst:

$\begin{array}{r} c_{1} = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ c_{2} = a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ c_{3} = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{array}$

Der gesamte Vektor aus den drei Gleichungen nennt sich Kreuzprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ :

Das Kreuzprodukt kannst Du auch für zweidimensionale Vektoren bilden.

Kreuzprodukt zweidimensional

Seien $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} _{1} \\ b_{2} \end{matrix})$ zwei Vektoren, dann gilt für das Kreuzprodukt im $R^{2}$ :

$\begin{array}{r} \vec{a} \times \vec{b} = d e t (\vec{a} \vec{b}) = | \begin{array}{c} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array} | = a_{1} \cdot b_{2} - b_{1} \cdot a_{2} \end{array}$

Der Unterschied zu dreidimensionalen Vektoren ist der, dass das Kreuzprodukt zweier zweidimensionaler Vektoren ein Skalar bzw. die Determinante ist. Genauer gesagt ist es nur der Betrag des resultierenden Vektors.

Kreuzprodukt – Übungsaufgaben

Im Folgenden findest Du Übungsaufgaben zur Berechnung des Kreuzprodukts, sowie deren Lösungen.

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Kreuzprodukt – Aufgabe 2

Gegeben sind die Vektoren

$\begin{array}{r} \vec{a} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) u n d \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 5 \end{array}) \end{array}$

Berechne $\vec{a} \times \vec{b}$ .
Bestimme einen Vektor, der orthogonal zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist.
Bestimme alle Vektoren, die orthogonal zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind.

Lösung

$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} - 5 \\ - 13 \\ 15 \end{matrix})$
Für den in a. errechneten Vektor $\vec{z} = (\begin{matrix} - 5 \\ - 13 \\ 15 \end{matrix})$ gilt $\vec{z} ⊥ \vec{a}$ und $\vec{z} ⊥ \vec{b}$ .
Alle Vektoren, die gleichzeitig senkrecht auf $\vec{a}$

Kreuzprodukt – Aufgabe 3

Wie lautet das Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) u n d \vec{y} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})$ ?

Lösung

$\begin{aligned} \vec{x} \times \vec{y} & = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) \\ \vec{n} & = (\begin{array}{rcl} 2 \cdot 2 & - & (- 1) \cdot 3 \\ 3 \cdot 1 & - & 2 \cdot 1 \\ 1 \cdot (- 1) & - & 2 \cdot 1 \end{array}) \\ \vec{n} & = (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) \end{aligned}$

Kreuzprodukt – Das Wichtigste

Mit dem Kreuzprodukt ermittelst Du den Normalenvektor $\vec{n}$ , der senkrecht auf einer Ebene steht.
Sind die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ parallel, dann ist $| \vec{a} \times \vec{b} | = \vec{0}$ (Nullvektor).
Für die Länge des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b}$ gilt die Bezeichnung $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin ϕ$ . Dabei bezeichnet $ϕ$ den Winkel, der von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird.
Der Betrag des Kreuzprodukts stimmt mit dem Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms überein

Nachweise

Präsler, Max (1977). Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung. Walter de Gruyter
Amann, Herbert; Eschert, Joachim (2006). Analysis 2. Band 2. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreuzprodukt

Was ist, wenn das Kreuzprodukt null ist?

Wenn das Kreuzprodukt null ist, dann sind die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kollinear, das bedeutet, sie liegen auf einer Gerade.

Wann wird das Kreuzprodukt angewendet?

Das Kreuzprodukt ist eine weitere Möglichkeit Vektoren miteinander zu multiplizieren.

Wofür wird das Kreuzprodukt gebraucht?

Flächenberechnungen (Parallelogramm, Dreieck) und Volumenberechnung (Spat, dreiseitige Pyramide)

Was wird mit dem Kreuzprodukt berechnet?

Wird das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet, erhältst Du einen dritten Vektor, der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht.

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