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Feedback sendenSmilla kann den Durchmesser des Balles nur schwer messen. Aber der Handball ist in der Geometrie eine Kugel.
Smilla erinnert sich an den Matheunterricht und ihr fällt ein, dass sie zuerst den Umfang des Balles messen und dann den Durchmesser der "Kugel" berechnen kann.
Die Kugel ist ein geometrischer Körper. Sie ist dreidimensional.
Eine Kugel ist ein völlig runder geometrischer Körper. Die Punkte auf der Oberfläche der Kugel haben alle denselben Abstand zum Mittelpunkt.
Abb. 1 - Kugel
Doch welche Eigenschaften hat eine Kugel?
Die folgenden Eigenschaften gelten für alle Kugeln:
Eine Kugel hat keine Ecken und Kanten.
Die Oberfläche einer Kugel ist krumm. Sie wird auch kurz als "Fläche" bezeichnet.
Jeder Punkt
Eine Kugel hat unendlich viele Symmetrieebenen. Sie verlaufen alle durch den Mittelpunkt.
Jede Kugel hat auch Großkreise und Kleinkreise.
Ein Großkreis entsteht, wenn Du einen größtmöglichen Kreis auf der Kugeloberfläche zeichnest.
Der Mittelpunkt eines Großkreises auf der Kugel ist identisch mit dem Kugelmittelpunkt.
Jeder Kreis auf der Kugel, der seinen Mittelpunkt auf dem Mittelpunkt des Kreises hat, ist ein Großkreis.
Jede Kugel hat einen Radius.
Der Abstand eines Punktes
Der Radius einer Kugel bestimmt sie eindeutig.
Würdest Du bei einer Kugel von der einen Seite einmal durch den Mittelpunkt durch zur anderen Seite messen, erhältst Du den Durchmesser.
Der Durchmesser
In Abbildung 2 ist der Radius und der Durchmesser einer Kugel eingezeichnet.
Abb. 2 - Radius r und Durchmesser d einer Kugel
Neben dem Radius und dem Durchmesser gibt es als wichtige Größe einer Kugel auch den Umfang. Der Umfang steht, wie bei einem Kreis, im direkten Zusammenhang mit dem Radius bzw. Durchmesser.
Die Strecke einmal um die Kugel herum auf Höhe des Mittelpunktes wird als Umfang
Für eine Kugel mit Radius
Abb. 3 - Umfang U einer Kugel
Du kannst die Formel für den Umfang auch mit dem Durchmesser angeben. Dann lautet sie:
Wundere Dich nicht, dass der Umfang der Kugel in Abbildung 3 nicht kreisförmig aussieht. Das liegt an der Zeichnung als Schrägbild.
Jeder Großkreis auf der Kugel gibt den Umfang der Kugel an.
Die Oberfläche einer Kugel kannst Du, anders als bei anderen geometrischen Körpern, nicht als Netz zeichnen.
Die Größe der Oberfläche einer Kugel kannst Du berechnen. Sie wird als Oberflächeninhalt bezeichnet.
Der Oberflächeninhalt
In der Erklärung "Oberflächeninhalt Kugel" findest Du eine ausführliche Herleitung des Oberflächeninhalts der Kugel sowie Beispiele mit Aufgaben zur Berechnung der Oberfläche.
Das Volumen einer Kugel gibt Dir die Größe des Rauminhaltes der Kugel an. Wenn Du Dich fragst "Wie viel passt in die Kugel?" gibt das Volumen Dir die Antwort.
Du kannst das Volumen der Kugel mit dem Radius berechnen.
Das Volumen
Unter "Volumen Kugel" findest Du eine ausführliche Erklärung und Herleitung der Formel sowie Beispiele und Aufgaben.
Die Kugel kannst Du als Schrägbild zeichnen.
In der Erklärung "Schrägbild" kannst Du nachlesen, was ein Schrägbild ist und wie es allgemein gezeichnet wird.
Im folgenden Beispiel wird eine Kugel Schritt für Schritt als Schrägbild gezeichnet.
Zuerst zeichnest Du einen Kreis mit dem Radius
Abb. 4 - Kreis zeichnen
Dann zeichnest Du vom Mittelpunkt des Kreises im
Abb. 5 - 45°-Winkel
Dasselbe kannst Du auch "nach vorne" zeichnen.
Abb. 6 - Strecke "nach vorne"
Durch die Endpunkte
Abb. 7 - Ellipse zeichnen
Fertig ist das Schrägbild der Kugel.
Mit diesen Schritten kannst Du jede Kugel zeichnen, Du passt nur den Radius an.
Von einer Kugel kannst Du verschiedene Werte berechnen. Weiter oben hast Du bereits erfahren, wie Du die Oberfläche und das Volumen einer Kugel berechnest.
Manchmal ist das Volumen oder die Oberfläche einer Kugel bekannt und Du willst den Radius berechnen.
Das Volumen einer Kugel ist gegeben. Du willst den Radius berechnen. Dazu stellst Du die Volumenformel nach dem Radius um.
Mit dieser neuen Formel kannst Du den Radius einer Kugel mit dem Volumen berechnen.
Aufgabe 1
Berechne den Radius
Lösung
Du setzt den Wert für das Volumen in die Formel ein und rechnest dann aus:
Im Beispiel ziehst Du die Wurzel aus
Den Durchmesser einer Kugel kannst Du natürlich bestimmen, indem Du den Radius verdoppelt. Dazu muss der Radius allerdings bekannt sein. Manchmal wird auch nach dem Durchmesser gefragt, ohne dass der Radius gegeben ist.
Aufgabe 2
Berechne den Durchmesser
Lösung
Zuerst stellst Du die Formel für den Oberflächeninhalt nach dem Radius um. Aus dem Radius berechnest Du dann den Durchmesser.
Jetzt setzt Du wie in Aufgabe 1 Werte ein und bestimmst den Radius.
Schließlich verdoppelst Du den Radius, um den Durchmesser zu berechnen.
Stell Dir vor, eine ebene Fläche dreht sich sehr, sehr schnell um eine Achse. Dann entsteht ein Rotationskörper.
Ein Rotationskörper ist ein Körper, der von einer rotierenden ebenen Fläche um eine Rotationsachse gebildet wird.
Die Kugel ist ein Rotationskörper. Wenn ein Halbkreis um eine Achse rotiert, entsteht eine Kugel.
Die Achse ist dann der Durchmesser der Kugel.
Mehr zum Thema Rotationskörper kannst Du in der zugehörigen Erklärung erfahren.
Klicke einfach auf den Begriff, dann öffnet sich die Erklärung.
Nicht immer ist die gesamte Kugel vorhanden. Manchmal wird ein Teil der Kugel abgeschnitten. Dabei entstehen spezielle Kugelteile: der Kugelabschnitt, der Kugelausschnitt und die Kugelschicht. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt und beschrieben. Außerdem findest Du dort die Formeln für das Volumen und die Oberfläche.Das kleine
| Name Kugelteil | Bild | Beschreibung | Formeln Volumen und Oberfläche |
Kugelabschnitt (Kugelsegment) |
| Es wird mit einem Schnitt ein Teil der Kugel abgetrennt. Die Schnittfläche ist kreisförmig mit Radius Die Höhe des Kugelschnittes ist | |
Kugelausschnitt (Kugelsektor) |
| Ein Kugelausschnitt entsteht, indem kegelförmig vom Kugelmittelpunkt bis zur Oberfläche abgetrennt wird. Der "Boden" ist ein Kugelabschnitt mit Radius | |
Kugelschicht (Kugelzone) |
| Eine Kugelschicht entsteht, indem von einer Kugel zwei Kugelabschnitte mit Radius |
Die folgenden Aufgaben kannst Du verwenden, um das Rechnen an Kugeln zu üben.
Aufgabe 3
Eine Kugel hat einen Radius von
a) den Umfang
b) den Oberflächeninhalt
c) das Volumen
Lösung
a)
Die Formel für den Umfang einer Kugel lautet
Du setzt den Radius in die Formel ein:
b)
Den Oberflächeninhalt einer Kugel kannst Du mit dieser Formel berechnen:
Für den Radius setzt Du die Zahl ein:
c)
Die Formel für das Volumen einer Kugel ist
In Teilaufgabe b) und c) wird die Radiusangabe mit der Einheit eingeklammert, da sowohl die Zahl als auch die Einheit potenziert wird.
Aufgabe 4
Smilla misst den Umfang ihres Handballs. Sie notiert
Bestimme den Durchmesser des Handballs.
Lösung
Um mit dem Umfang einer Kugel den Durchmesser zu bestimmen, verwendest Du die Formel für den Umfang von Kugeln und stellst sie nach dem Radius um. Aus dem Radius kannst Du dann den Durchmesser berechnen.
Jetzt setzt Du den Wert für den Umfang ein.
Der Durchmesser ist
Smillas Handball hat einen Durchmesser von
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Wie berechne ich die Oberfläche einer Kugel?
Um die Oberfläche O einer Kugel zu berechnen, benötigst Du den Radius r. Dann ist O=4·π·r².
Wie berechne ich das Volumen einer Kugel?
Für das Volumen V einer Kugel benötigst Du den Radius r.
Dann berechnest Du das Volumen mit dieser Formel: V=4/3·π·r³
Wie berechne ich die Masse einer Kugel?
Um die Masse einer Kugel berechnen zu können, musst Du wissen, aus welchem Material die Kugel ist und die Dichte des Materials kennen. Die Dichte eines Materials kannst Du meist aus Tabellen ablesen oder sie ist gegeben.
Die Masse erhältst Du dann, indem Du das Volumen der Kugel mit der Dichte multiplizierst.
Wie komme ich vom Volumen einer Kugel auf den Radius?
Um mit dem Volumen einer Kugel auf den Radius zu kommen, verwendest Du die Formel für das Volumen einer Kugel: V=4/3·π·r³
Diese Formel stellst Du nach dem Radius um und erhältst: r=∛(3/4·V/π)
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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