Lagebeziehung Gerade Ebene

Lagebeziehung Gerade Ebene bestimmen

Bevor du Methoden zur Bestimmung der Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene kennenlernst, wird kurz die Darstellungsformen der Ebene und die Parameterform der Gerade wiederholt.

Gerade und Ebene Grundlagenwissen

Um die Methoden anwenden zu können, muss die Ebene E entweder in Koordinatenform oder in Parameterform gegeben sein.

Die Gerade g wird bei den verschiedenen Methoden stets in Parameterform benötigt.

1. Methode Lagebeziehung Gerade Ebene bestimmen

Bei dieser Methode muss die Ebene E in Koordinatenform und die Gerade g in Parameterform gegeben sein.

Wenn du diese Methode zur Bestimmung der Lagebeziehung anwendest, beginnst du damit, dass du überprüfst, ob der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade senkrecht aufeinander stehen. Doch wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander?

Du berechnest also das Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene und des Richtungsvektors der Gerade:

$\overrightarrow{n_E}\circ \overrightarrow{u}$.

• Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ist ($\overrightarrow{n_E}\circ \overrightarrow{u}=0$), stehen der Normalenvektor und der Richtungsvektor senkrecht aufeinander.
  • Die Gerade g kann dann entweder in der Ebene E liegen oder echt parallel zur Ebene E sein.

• Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren nicht 0 ist ($\overrightarrow{n_E}\circ \overrightarrow{u}\ne 0$), stehen der Normalenvektor und der Richtungsvektornicht senkrecht aufeinander.
  • Die Gerade g und die Ebene E haben dann einen Schnittpunkt ($g\cap E=\left\{S\right\}$).

Abbildung 4: Beziehung von Gerade und Ebene

Wenn das Skalarprodukt 0 ist, folgt noch ein zweiter Schritt. Du überprüfst jetzt, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt. Dies wird auch als Punktprobe bezeichnet. Dazu setzt du den Aufpunkt in die Ebenengleichung ein.

• g⊂Eg∩E=gWenn die Ebenengleichung erfüllt ist, liegt der Aufpunkt in der Ebene ($\overrightarrow{p}\in E$) und die gesamte Gerade g liegt in der Ebene E ($g\subset E$).
• Wenn die Ebenengleichung nicht erfüllt ist, liegt der Aufpunkt nicht in der Ebene ($\overrightarrow{p}\notin E$) und die Gerade g verläuft parallel zur Ebene E ($g\parallel E$).

Schau dir das an einem Beispiel genauer an:

2. Methode Lagebeziehung Gerade Ebene bestimmen

Es gibt eine weitere Methode, wie du die Lagebeziehung von Gerade und Ebene bestimmen kannst. Bei dieser Methode benötigst du ebenfalls die Ebene E in Koordinatenform und die Gerade g in Parameterform.

Wenn du die Geradengleichung $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+\lambda \overrightarrow{u}$ ausschreibst, dann ist das nichts anderes als:

$g:\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$.

Jetzt musst du die rechte Seite der Geradengleichung in die Ebenengleichung $E:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=n_0$einsetzen. Durch das Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung berechnest du die Schnittpunkte von Gerade und Ebene.

Wie das geht, siehst du leichter, wenn du die Geradengleichung umformst:

$g:\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{p}_1+\lambda u_1\\ p_2+\lambda u_2\\ p_3+\lambda u_3\end{array}\right)$.

Durch Einsetzen in die Ebenengleichung erhältst du:

$n_1(p_1+\lambda u_1)+n_2(p_2+\lambda u_2)+n_3(p_3+\lambda u_3)=n_0$.

Beim zweiten Schritt versuchst du, diese Gleichung nach $\lambda$ aufzulösen. Es gibt drei Möglichkeiten:

1. Die Gleichung hat keine Lösung→ Ebene und Gerade haben keinen Schnittpunkt→ Ebene und Gerade sind parallel
2. Die Gleichung hat eine Lösung→ Ebene und Gerade haben einen Schnittpunkt→ Ebene und Gerade schneiden sich
3. Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen→ Ebene und Gerade haben unendlich viele Schnittpunkte→ Gerade liegt in Ebene

In der Abbildung siehst du nochmal schematisch, wie du bei dieser Methode vergehen musst.

Abbildung 5: Schema zur Bestimmung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene

Wie du dieses Schema anwenden kannst, siehst du im folgenden Beispiel:

3. Methode Lagebeziehung Gerade Ebene bestimmen

Bei der dritten Methode liegen die Ebene $E:x=\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{r}+\beta \overrightarrow{s}$ und die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+\lambda \overrightarrow{u}$ in Parameterform vor.

Die Ebenengleichung und die Geradengleichung werden gleichgesetzt:

$\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{r}+\beta \overrightarrow{s}=\overrightarrow{p}+\lambda \overrightarrow{u}$

Dadurch entsteht ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen ($\alpha ,\beta ,\lambda$).

$\left(\begin{array}{c}{p}_1+\alpha r_1+\beta s_1\\ p_2+\alpha r_2+\beta s_2\\ p_3+\alpha r_3+\beta s_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{p}_1+\lambda u_1\\ p_2+\lambda u_2\\ p_3+\lambda u_3\end{array}\right)$

$$\begin{gathered} \left(I\right)II{p}_1+\alpha r_1+\beta s_1=p_1+\lambda u_1 \\ \left(II\right)I{p}_2+\alpha r_2+\beta s_2=p_2+\lambda u_2 \\ \left(III\right)p_3+\alpha r_3+\beta s_3=p_3+\lambda u_3 \end{gathered}$$

Dieser Lösungsweg ist aber eher umständlich und kann leicht zu Rechenfehlern führen. Daher solltest du eine der anderen beiden Methoden verwenden, auch wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist. Dann musst du die Ebene in Koordinatenform umwandeln und dann wie oben beschrieben vorgehen.