Lagebeziehungen von Geraden

Aufgabe

a) Überprüfe, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ und $h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 19\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -3\end{array}\right)$ kollinear/linear abhängig sind.

b) Überprüfe, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ und $h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 19\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 6\end{array}\right)$ kollinear/linear abhängig sind.

Lösung

a) Wenn die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, gibt es einen Wert für k, für den die Gleichung $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)=k·\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -3\end{array}\right)$ erfüllt ist.

Aus dieser Gleichung ergibt sich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Variablen:

$$\begin{gathered} \left(I\right)II1=k·2 \\ \left(I\right)I4=k·8 \\ \left(III\right)3=k·(-3) \end{gathered}$$

Damit die einzelnen Gleichungen erfüllt sind, muss k einen bestimmten Wert annehmen:

$$\begin{gathered} \left(I\right)II1=k·2\Rightarrow k=\frac{1}{2} \\ \left(I\right)I4=k·8\Rightarrow k=\frac{1}{2} \\ \left(III\right)3=k·(-3)\Rightarrow k=-1\frac{1}{2}↯ \end{gathered}$$

In der dritten Zeile müsste k den Wert $-1$ annehmen, damit Gleichung (III) erfüllt ist. Dies steht im Widerspruch dazu, dass k den Wert $\frac{1}{2}$ annehmen muss, damit die Gleichungen (I) und (II) erfüllt sind.

Die beiden Richtungsvektoren sind also nicht linear abhängig.

b) Wenn die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, gibt es einen Wert für k, für den die Gleichung

$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)=k·\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 6\end{array}\right)$ erfüllt ist.

Aus dieser Gleichung ergibt sich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Variablen:

$$\begin{gathered} \left(I\right)II1=k·2 \\ \left(I\right)I4=k·8 \\ \left(III\right)3=k·6 \end{gathered}$$

Damit die einzelnen Gleichungen erfüllt sind, muss k einen bestimmten Wert annehmen:

$$\begin{gathered} \left(I\right)II1=k·2\Rightarrow k=\frac{1}{2} \\ \left(I\right)I4=k·8\Rightarrow k=\frac{1}{2} \\ \left(III\right)3=k·6\Rightarrow k=\frac{1}{2}\frac{1}{2}✓ \end{gathered}$$

Die beiden Richtungsvektoren sind linear abhängig.

Aufgabe

Welche Lagebeziehung haben die beiden Geraden $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und $h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 19\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -8\end{array}\right)$?

Lösung

1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)=k·\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -8\end{array}\right)$

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da für $k=-0,5$ die Gleichung oben erfüllt ist.

$(-0,5)·\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Da die Richtungsvektoren kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder parallel oder identisch sein.

2. Schritt: Überprüfe, ob der Aufpunkt der einen Geraden auf der anderen Gerade liegt.

Der Stützvektor der Geraden g wird in die Geradengleichung der Gerade h eingesetzt:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 19\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -8\end{array}\right)$

Dadurch ergeben sich drei Gleichungen:

$$\begin{gathered} \left({\rm I}\right){\rm I}{\rm I}1=11+\mu ·0 \\ \left({\rm I}{\rm I}\right){\rm I}2=16+\mu ·(-2)\Rightarrow \mu =2 \\ \left({\rm I}{\rm I}{\rm I}\right)3=19+\mu ·(-8)\Rightarrow \mu =2 \end{gathered}$$

In der ersten Gleichungen ist es egal, welcher Wert für $\mu$ eingesetzt wird. In der zweiten und dritten Zeile muss $\mu$ gleich 2 sein, damit die Gleichung erfüllt ist.

Für $\mu =2$ sind also alle drei Gleichungen erfüllt und der Punkt $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ liegt auf der Geraden

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 19\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -8\end{array}\right)$.

Die Geraden g und h sind also identisch.

Aufgabe

Welche Lagebeziehung haben die beiden Geraden $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}9\\ 1\\ 4\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und $h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$?

Lösung

1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 4\end{array}\right)=k·\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, da für $k=2$ die Gleichung oben erfüllt ist.

$2·\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$

Da die Richtungsvektoren kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder parallel oder identisch sein.

2. Schritt: Überprüfe, ob der Aufpunkt der einen Geraden auf der anderen Gerade liegt.

Der Stützvektor der Geraden g wird in die Geradengleichung der Gerade h eingesetzt:

$\left(\begin{array}{c}9\\ 1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Dadurch ergeben sich drei Gleichungen:

$$\begin{gathered} \left({\rm I}\right){\rm I}{\rm I}9=1+\mu ·1\Rightarrow \mu =8 \\ \left({\rm I}{\rm I}\right){\rm I}1=1+\mu ·(-1)\Rightarrow \mu =0↯ \\ \left({\rm I}{\rm I}{\rm I}\right)4=2+\mu ·2\Rightarrow \mu =1↯ \end{gathered}$$

Der Stützvektor der Geraden g liegt nicht auf der Geraden h, da es kein $\mu$ gibt, für das alle drei Gleichungen "gleichzeitig" erfüllt sind. Damit die drei Gleichungen erfüllt sind, müsste $\mu$ unterschiedliche Werte annehmen. Dies ist aber nicht möglich und führt zum Widerspruch. Die beiden Geraden g und h sind also echt parallel.

Aufgabe

Bestimme die Lagebeziehung der beiden Geraden $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 4\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ und $h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.

Lösung

1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

Im ersten Schritt überprüfst du, wie bereits in den vorherigen Beispielen, ob die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander sind.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right)=k·\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

Es gibt kein k, für das diese Gleichung erfüllt ist, denn in der dritten Zeile gilt:

$-2=k·0↯$

Diese Gleichung ist für jedes k nicht erfüllt, da die rechte Seite der Gleichung immer 0 ist.

Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder windschief sein oder sich schneiden.

2. Schritt: Überprüfe, ob das Gleichungssystem $\overrightarrow{p}+\lambda \overrightarrow{u}=\overrightarrow{q}+\mu \overrightarrow{v}$ eine Lösung besitzt.

Anschließend setzt du die beiden Geraden miteinander gleich, um herauszufinden, ob das lineare Gleichungssystem eine Lösung hat:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 4\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right)$

Durch das Gleichsetzen erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.

$$\begin{gathered} \left({\rm I}\right){\rm I}{\rm I}-1+3\lambda =1+1\mu \\ \left({\rm I}{\rm I}\right){\rm I}-5+2\lambda =1+0\mu \\ \left({\rm I}{\rm I}{\rm I}\right)-4+2y=2-2\mu \end{gathered}$$

Mithilfe von Gleichung (II) kann $\lambda$ berechnet werden:

$$\begin{gathered} \left({\rm I}{\rm I}\right){\rm I}-5+2\lambda =1+0\mu |+5 \\ \iff 2\lambda =6i\mathbf{}|:2 \\ \iff \lambda =3 \end{gathered}$$

Mithilfe von Gleichung (III) kann $\mu$ berechnet werden:

$$\begin{gathered} \left({\rm I}{\rm I}{\rm I}\right)-4=2-2\mu |+2\mu |-4 \\ \iff 2\mu =-2|:2 \\ \iff \mu =-1 \end{gathered}$$

Jetzt muss noch überprüft werden, ob auch Gleichung (I) mit den berechneten Werten für $\lambda$ und $\mu$ ($\lambda =3$ und $\mu =-1$) erfüllt ist:

$$\begin{gathered} \left({\rm I}\right){\rm I}1+3\lambda =1+1\mu |Einsetzenvon\lambda =3und\mu =-1 \\ \Rightarrow 1+3·3=1+1·(-1) \\ \iff 10=0↯ \end{gathered}$$

Beim Einsetzen der Werte fällt auf, dass ein Widerspruch entsteht. Das lineare Gleichungssystem hat also keine Lösung.

Die beiden Geraden g und h sind windschief.

Aufgabe

Bestimme die Lagebeziehung der beiden Geraden $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 1\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ und $h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.

Lösung

1. Schritt: Überprüfe, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

Erneut untersuchst du, ob die Richtungsvektoren der Geraden g und h Vielfache voneinander sind:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=k·\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Wenn die beiden Richtungsvektoren linear abhängig wären, so würde es einen Wert für k geben, bei dem alle drei Gleichungen erfüllt sind:

$$\begin{gathered} \left({\rm I}\right){\rm I}{\rm I}0=k·(-1)\Rightarrow k=0 \\ \left({\rm I}{\rm I}\right){\rm I}1=k·2\Rightarrow k=\frac{1}{2}↯ \\ \left({\rm I}{\rm I}{\rm I}\right)4=k·4\Rightarrow k=\frac{1}{4}↯ \end{gathered}$$

Die drei Gleichungen sind alle nur für unterschiedliche Werte für k erfüllt. Die beiden Richtungsvektoren sind also nicht kollinear/linear unabhängig. Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, müssen die zwei Geraden entweder windschief sein oder sich schneiden.

2. Schritt: Überprüfe, ob das Gleichungssystem $\overrightarrow{p}+\lambda \overrightarrow{u}=\overrightarrow{q}+\mu \overrightarrow{v}$ eine Lösung besitzt.

Im nächsten Schritt erstellst du ein lineares Gleichungssystem, indem du die beiden Geradengleichungen der Geraden g und h gleichsetzt:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 1\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Durch das Gleichsetzen erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.

$$\begin{gathered} \left({\rm I}\right){\rm I}{\rm I}-3+0\lambda =-3-1\mu \\ \left({\rm I}{\rm I}\right){\rm I}-4+1\lambda =-2+2\mu \\ \left({\rm I}{\rm I}{\rm I}\right)-1+2\lambda =-5+4\mu \end{gathered}$$

Mithilfe von Gleichung (I) kann $\mu$ berechnet werden:

$$\begin{gathered} \left({\rm I}\right)3+0\lambda =3-1\mu |-3 \\ \iff 0=-\mu \\ \iff 0=\mu \end{gathered}$$

Jetzt kannst du $\mu =0$ in die zweite Gleichung einsetzen und dann $\lambda$ berechnen:

$$\begin{gathered} \left({\rm I}{\rm I}\right)-4+1\lambda =-2+2\mu |\mu =0einsetzen \\ \Rightarrow -4+\lambda =-2+2·0|+4 \\ \iff \lambda =2 \end{gathered}$$

Jetzt muss noch überprüft werden, ob auch Gleichung (III) mit den berechneten Werten für $\lambda$ und $\mu$ ($\lambda =2$ und $\mu =0$) erfüllt ist:

$$\begin{gathered} \left({\rm I}{\rm I}{\rm I}\right)1+2·2=5+4·0 \\ \iff 5=5✓ \end{gathered}$$

Auch die dritte Gleichung ist erfüllt. Das Gleichungssystem besitzt also die Lösung $\lambda =2$ und $\mu =0$.

3. Schritt: Schnittpunkt berechnen

Um den Schnittpunkt S der zwei Geraden zu bestimmen, musst du entweder $\lambda$ in die Gerade g oder $\mu$ in die Gerade h einsetzen:

In diesem Fall ist es einfacher, denn Schnittpunkt zu berechnen, indem $\mu =0$ in die Gerade h eingesetzt wird. Der Schnittpunkt entspricht dann dem Aufpunkt der Gerade h:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)+0·\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)$

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind also $S=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)$.

Wenn du überprüfen möchtest, ob du richtig gerechnet hast, kannst du $\lambda =2$ in die Gerade g einsetzen. Dann muss der gleiche Punkt herauskommen:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 1\end{array}\right)+2·\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+2·0\\ -4+2·1\\ 1+2·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)$

Die Ergebnisse beider Rechnungen stimmen überein.