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Steh auf und experimentiere ein wenig herum. Ist Dir dabei etwas aufgefallen? Um es zurück zum Startpunkt zu schaffen, bist Du gezwungen, denselben Schritt “rückwärts” zu machen, den Du zuvor gemacht hast.
Abbildung 1: Das Spiel zur linearen Abhängigkeit illustriert.
Und in diesem Spiel steckt bereits die Essenz hinter den Konzepten der linearen Unabhängigkeit und linearen Abhängigkeit von Vektoren (Deine Schritte kannst Du dir als Vektoren vorstellen: Du bist in eine bestimmte Richtung mit einer bestimmten Schrittweite gegangen). Wann immer Du Vektoren so miteinander kombinieren kannst, dass Du zurück zum Ursprung gelangst, sind die Vektoren linear abhängig.
Was aber ist diese Essenz mathematisch? Was bedeutet es, Vektoren miteinander zu kombinieren? Und wieso heißt es überhaupt "lineare Abhängigkeit"?
Lineare Unabhängigkeit – Wiederholung zu Vektoren
Die lineare Abhängigkeit ist eine Eigenschaft, die eine gegebene Menge von Vektoren besitzt oder eben nicht besitzt.
Lineare Abhängigkeit in Worten
Eine Menge von Vektoren heißt linear abhängig, wenn Du die Vektoren derart miteinander kombinieren kannst, dass Du zurück zum Ursprung gelangst.
Das ist gleichbedeutend dazu, dass Du mindestens einen der Vektoren in Abhängigkeit der anderen Vektoren schreiben kannst.
Ziel ist es, dass Du diese Definition sowohl intuitiv als auch mathematisch verstehst. Dazu schauen wir uns zunächst an, was im Folgenden mit Vektoren gemeint ist.
Für den Zweck dieses Artikels reicht es vollkommen aus, wenn Du dir Vektoren als Pfeile vorstellst. Welche Informationen benötigst Du dafür? Einmal den Punkt, an dem der Pfeil beginnen soll, und einmal den Punkt, an dem die Spitze enden soll. Diese zwei Punkte können Punkte in der Ebene sein, oder auch Punkte im Raum (siehe Abbildung 2).
Abbildung 2: Ein Vektor in der Ebene (links) und ein Vektor im Raum (rechts).
Du hast dadurch effektiv zwei Sachen gemacht: Eine Richtung und eine Länge vorgegeben. Ein Vektor wird durch diese zwei Größen eindeutig festgelegt.
Jetzt könntest Du - zurecht - einwerfen, dass doch so ein Vektor auch abhängig davon ist, wo er anfangen soll. Das ist eine berechtigte Frage.
Wir nehmen stillschweigend folgendes an: Angenommen Du kannst zwei Vektoren, die an unterschiedlichen Punkten beginnen, so verschieben, dass sie exakt übereinander liegen; die Verschiebung darf aber nicht die Richtung der Vektoren ändern (eine solche Verschiebung heißt auch Parallelverschiebung; siehe Abbildung 3).
Abbildung 3: Parallelverschiebung des schwarzen Vektors zum orangenen Vektor. Bei allen Vektoren, die Du durch so eine Parallelverschiebung erhältst (ein paar davon sind hellgrau dargestellt), handelt es sich um denselben (schwarzen) Vektor.
Dann sagen wir, dass es sich bei diesen beiden Vektoren in Wirklichkeit um denselben Vektor handelt. Das mag zwar auf dem ersten Blick etwas abstrakt wirken, aber Du kennst das aus Deinem Alltag: Ein Hund bleibt derselbe Hund, egal ob Du ihn auf der Straße oder auf einem Stück Wiese siehst.
Du kannst Dich daher auf Vektoren beschränken, die stets im Ursprung beginnen; allein die Richtung und Länge charakterisieren einen Vektor. Das wird gleich bei der Einführung der Addition und Skalierung von Vektoren eine entscheidende Rolle spielen.
Rechnen mit Vektoren
Mathematische Objekte, wie z. B. die obigen Vektoren, werden erst dann interessant, wenn Du mit ihnen rechnen kannst.
Nachdem wir Dir gezeigt haben, was Du mit Vektoren machen kannst, kannst Du auch die zweite Frage beantworten: Was bedeutet es, Vektoren miteinander zu kombinieren?
Addition und Skalierung von Vektoren
Dazu führen wir zwei Operationen ein, mit denen Du aus gegebenen Vektoren neue Vektoren basteln kannst.
Addition und Skalierung von Vektoren
(a) Seien und zwei Vektoren. Wir definieren den Summen-Vektor elementweise. Das heißt, die erste Komponente von ist die Summe der ersten Komponenten von und ; die zweite Komponente die Summe der zweiten Komponenten; und so weiter. Formal sieht das so aus:
Der Index "n" steht dabei für eine natürliche Zahl. Leben die Vektoren beispielsweise in der Ebene, so ist . Für Vektoren im Raum ist .
(b) Sei ein Vektor und eine (reelle) Zahl. Wir nennen dann das Produkt die Skalarmultiplikation von mit und definieren es elementweise durch
Die Zahl wird auch als Skalar bezeichnet.
Abbildung 4: Addition (links) und Skalierung (rechts) von Vektoren.
Wie der skalierte Vektor aussieht, hängt von zwei Dingen ab:
- Vom Betrag des Skalars. Ist der Betrag größer als 1, so wird der Vektor "länger"; ist der Betrag hingegen kleiner als 1, so wird der Vektor "kürzer".
- Vom Vorzeichen des Skalars. Ist das Vorzeichen positiv, so bleibt die Richtung des Vektors unverändert; ist das Vorzeichen aber negativ, so zeigt der skalierte Vektor in die entgegensetzte Richtung (siehe auch Abbildung 4).
Geometrisch funktioniert die Addition folgendermaßen: Du nimmst den Vektor und führst mit ihm eine Parallelverschiebung durch, sodass sich sein Anfang an der Spitze des Vektors befindet. Die Summe ist dann der Vektor, der beim Anfang von beginnt und bei der Spitze von endet. Du kannst die Rollen von und bei diesem Prozess vertauschen. Die Addition von Vektoren ist also kommutativ (das wird in Abbildung 4 veranschaulicht).
Dass Du das überhaupt machen darfst, ist eine Folgerung der Vereinbarung, die wir in der ersten Vertiefung getroffen haben. Nur deshalb handelt es sich bei und bei der Parallelverschiebung von um dieselben Vektoren (ähnliches gilt für den Vektor ). Ebenso ist die Skalarmultiplikation so definiert, dass sich der zu skalierende Vektor im Ursprung befindet. Das schränkt Dich aber wegen der Vereinbarung nicht ein: Wann immer Du einen Vektor hast, der nicht im Ursprung beginnt, kannst Du ihn bedenkenlos in den Ursprung parallelverschieben, skalieren und anschließend zurück in seine Position bringen.
Addition und Skalierung in der Ebene
Als konkretes Beispiel betrachte die beiden zweidimensionalen Vektoren
und
Der Summen-Vektor berechnet sich dann zu
Seien nun weiterhin und zwei Skalare. Die Skalarmultiplikation mit ergibt dann
und
Diese beiden Operationen kannst Du miteinander vermischen. Wenn Du zum Beispiel die drei Vektoren , und sowie drei Zahlen , und gegeben hast, so kannst Du den Ausdruck bilden.
Überlegen wir kurz, wieso Du diesen Ausdruck bilden darfst. Zunächst ist jede der drei Skalarmultiplikationen eine klar definierte Operation. Anschließend kannst Du dann schrittweise die skalierten Vektoren miteinander addieren, denn die Addition von zwei Vektoren ist ebenfalls eine klar definierte Operation. Insgesamt kannst Du also jede endliche Anzahl an Vektoren mit Skalaren multiplizieren und die Ergebnisse miteinander addieren.
In diesem Ausdruck tauchen die Vektoren nur zur ersten Potenz auf. Den Ausdruck nennen wir daher eine Linearkombination der drei Vektoren , und . Und genau das ist die Antwort auf unsere einleitende Frage: Vektoren kombinierst Du miteinander, indem Du sie wahlweise skalierst und dann addierst; Du bildest also Linearkombinationen.
Du kannst aber auch vier, fünf, oder jede endliche Anzahl an Vektoren so miteinander kombinieren. Lass uns das daher in eine präzise Definition fassen.
Linearkombination von Vektoren
Sei n eine natürliche Zahl größer Null. Seien weiterhin n Vektoren , bis gegeben; sowie n Zahlen , bis . Den Ausdruck
nennen wir eine Linearkombination der Vektoren
Da wir bisher nur die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation eingeführt haben, stehen Dir auch nur diese Mittel zur Verfügung, um Vektoren miteinander zu kombinieren.
Linearkombination von drei Vektoren im Raum
Du hast die folgenden drei Vektoren
sowie die drei Zahlen
und
gegeben. Damit kannst du zum Beispiel die Linearkombination
bilden. Diese Linearkombination wird in Abbildung 5 veranschaulicht.
Abbildung 5: Konkrete Linearkombination (türkis) von drei Vektoren (grün, hellblau, orange) im Raum. Die gestrichelten Pfeile stellen die skalierten und parallelverschobenen Versionen der durchgezogenen Vektoren dar.
Vektorräume
Wenn Du mit den Pfeilen und den eingeführten Rechenoperationen der Addition und Skalarmultiplikation ein wenig rumspielst, wirst Du vielleicht Eigenschaften wie die Kommutativität der Addition () oder die Assoziativität der Skalarmultiplikation () entdecken. Von dieser Sorte gibt es noch weitere Eigenschaften.
Solche Eigenschaften besitzen aber nicht nur die Pfeile in diesem Artikel. Auch Matrizen und weitere mathematische Objekte - mit den entsprechenden Rechenoperationen - erfüllen genau dieselben Eigenschaften. Wegen dieser Beobachtung wurde das Konzept des Vektorraums eingeführt.
Im Kern ist ein Vektorraum zunächst eine Menge von Objekten (z. B. eine Menge von Pfeilen, eine Menge von Matrizen, und so weiter). Auf dieser Menge werden zwei Rechenoperationen definiert: Die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation. Diese beiden Operationen müssen dann bestimmte Eigenschaften erfüllen, damit dann die Menge gemeinsam mit den Operationen einen Vektorraum bilden.
Wenn Du dann eine bestimmte Eigenschaft im abstrakten Kontext der Vektorräume nachweist, gilt diese Eigenschaft für alle konkreten Beispiele (Pfeile, Matrizen, und so weiter); und das automatisch.
Lineare Abhängigkeit – Definition und einleitende Worte
Nun steht uns alles zur Verfügung, um die lineare Abhängigkeit von Vektoren präzise zu definieren. Keine Sorge; nach der Definition folgen Kommentare, Abbildungen und Beispiele, sodass Du diesen Artikel mit einem guten Verständnis der linearen Abhängigkeit verlässt.
Lineare Abhängigkeit und Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
(a) Sei n eine natürliche Zahl größer Null. Seien weiterhin n Vektoren gegeben. Wir nennen die Vektoren linear abhängig, wenn wir n Zahlen derart finden, dass
gilt. Die Zahlen dürfen dabei nicht alle gleich Null sein. Wir sagen dann auch, dass die Menge bestehend aus den n Vektoren die Eigenschaft der linearen Abhängigkeit besitzt oder kürzer: Die Menge ist linear abhängig.
(b) Können wir solchen Zahlen nicht finden, so heißen die n Vektoren linear unabhängig. Formal bedeutet das folgendes: Aus folgt direkt
Die Linearkombination, bei der alle Zahlen gleich Null sind, heißt die triviale Linearkombination. Eine Linearkombination, die die Null ergibt, heißt eine Linearkombination der Null. Mit diesem Sprachgebrauch können wir die lineare Abhängigkeit auch so definieren: Die Vektoren sind linear abhängig, wenn Du mit ihnen eine nicht-triviale Linearkombination der Null bilden kannst.
Mengen mit Nullvektor sind immer linear abhängig
Wenn einer der n Vektoren der Nullvektor selbst ist, so sind die Vektoren automatisch linear abhängig. Um das zu sehen, sei der erste Vektor der Nullvektor (also ). Du kannst dann (oder jede andere Zahl ungleich Null) und wählen und erhältst
Da ungleich Null ist (und damit nicht alle Zahlen gleich Null) hast Du eine nicht-triviale Linearkombination der Null gefunden. Es ist hierbei nicht entscheidend, dass der erste Vektor der Nullvektor war.
Linear abhängige und linear unabhängige Vektoren im Raum
Die drei Vektoren
sind linear abhängig, denn
Drei Vektoren im Raum sind linear abhängig, wenn sie innerhalb derselben Ebene liegen (siehe den linken Teil der Abbildung 6).
Die drei Vektoren aus dem vorherigen Beispiel (hier mit einem zusätzlichen Index von "2" versehen)
sind hingegen linear unabhängig. Wie das rechnerisch funktioniert, wirst Du in einem der folgenden Abschnitte sehen. Geometrisch aber liegt es daran, dass sich diese drei Vektoren nicht in derselben Ebene befinden (siehe den rechten Teil der Abbildung 6).
Abbildung 6: Linear abhängige Vektoren im Raum liegen alle innerhalb derselben Ebene (links). Linear unabhängige Vektoren im Raum hingegen nicht (rechts).
Die Bezeichnung “linear” rührt daher, dass alle in der Summe vorkommenden Vektoren nur zur ersten Potenz auftauchen. Was aber hat es mit diesem “abhängig” auf sich? Lass uns dazu den Spezialfall von 2 Vektoren näher betrachten.
Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren
Die zwei Vektoren bezeichnen wir mit und . Um konkret zu bleiben, sollen diese beiden Vektoren in der Ebene leben, und beide ungleich dem Nullvektor sein.
Jetzt nehmen wir an, dass und linear abhängig sind. Per Definition bedeutet das, dass Du zwei Zahlen und finden kannst, sodass
gilt. Diese Gleichung kannst Du zum Beispiel auf den Vektor umstellen
Da wir angenommen haben, dass keiner der Vektoren und der Nullvektor ist, müssen die beiden Zahlen und ungleich Null sein. Ist nämlich eine der Zahlen gleich Null, so muss die andere Zahl dann auch Null sein, damit die Gleichung erfüllt bleibt. Aber damit wären die Vektoren linear unabhängig; das ist ein Widerspruch dazu, dass die beiden Vektoren linear abhängig sein sollen. Du kannst also ohne Bedenken durch die Zahl teilen.
Was teilt Dir die Gleichung mit? Wenn Du dich einmal für den Vektor entschieden hast, hast Du für den Vektor keine Freiheiten mehr, wenn die beiden linear abhängig sein sollen. Der Vektor ist also vollkommen abhängig davon, welchen Vektor Du Dir aussuchst. Genau dasselbe hattest Du beim Spiel zu Beginn des Artikels: Der zweite Schritt war genauso durch den ersten Schritt vorgegeben.
Die Rollen der beiden Vektoren kannst Du vertauschen; das heißt Du kannst den Vektor abhängig vom Vektor machen.
Und genau das ist die Essenz hinter der linearen Abhängigkeit: Wann immer Du in der Lage bist, Vektoren so miteinander zu kombinieren, dass der Nullvektor entsteht, weißt Du sofort: “Aha! Mindestens einer dieser Vektoren ist überflüssig; er kann in Abhängigkeit der anderen Vektoren geschrieben werden”.
Die Wichtigkeit von Linearkombinationen und linearer Abhängigkeit
An dieser Stelle möchten wir ein paar Worte darüber verlieren, weshalb die Konzepte der Linearkombination und der linearen Abhängigkeit überhaupt von Bedeutung sind. Die Kernmotivation hinter diesen Konzepten ist das Verlangen nach eindeutigen Darstellungen von Vektoren.
Im alltäglichen Leben sind eindeutige Darstellungen von enormer Wichtigkeit: Etwa bei Kartennummern, bei Versicherungsnummern oder bei Auto-Kennzeichen.
Im Fall von Vektoren geschieht diese Darstellung über Linearkombinationen einer endlichen Anzahl von anderen, fest gewählten Vektoren . Für die Eindeutigkeit der Darstellung müssen diese Vektoren aber linear unabhängig sein.
Die Konzepte einer Basis und der Dimension
Du kannst dann z. B. nur durch zwei Vektoren alle Vektoren in der Ebene darstellen; oder mit drei Vektoren alle Vektoren im Raum (siehe Abbildung 7). Die zwei Vektoren in der Ebene (in Abbildung 7 sind das und ) nennen wir dann eine Basis der Ebene; die drei Vektoren im Raum eine Basis des Raums.
Abbildung 7: Mit zwei Vektoren kannst Du bereits alle anderen Vektoren der Ebene konstruieren (links). Für die Vektoren im Raum brauchst du hingegen drei Vektoren (rechts).
Die kleinste Anzahl an Vektoren, die wir benötigen, um alle anderen Vektoren durch Linearkombinationen zu erhalten, heißt die Dimension. Zum Beispiel ist die Dimension der Ebene 2, die Dimension des Raumes 3.
Die Begriffe "Mindestens" und "Überflüssig" sind dabei folgendermaßen zu verstehen: Schaue Dir in Abbildung 7 den linken Teil an. Konzentriere Dich auf die Vektoren , und die beiden schwarzen Vektoren. Die vier Vektoren als Ganzes sind linear abhängig.
Zwei von diesen Vektoren kannst Du wegwerfen, ohne die Eigenschaft zu zerstören, dass Du mit den verbleibenden zwei Vektoren alle anderen Vektoren der Ebene konstruieren kannst. Diese zwei weggeworfenen Vektoren waren also überflüssig für die Konstruktion der anderen Vektoren in der Ebene.
Die verbleibenden zwei Vektoren sind dann linear unabhängig. In der Ebene erkennst Du das geometrisch daran, dass sich die beiden Vektoren nicht auf derselben Linie befinden. Du findest dafür auch die Sprechweise, dass die beiden Vektoren nicht kollinear sind.
Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren
Wenn Du nur zwei Vektoren gegeben hast, kannst du rechnerisch die lineare Abhängigkeit folgendermaßen überprüfen: Du gehst nacheinander durch die Komponenten der Vektoren und untersuchst, ob sie sich um denselben Faktor unterscheiden.
Für ein konkretes Beispiel dazu betrachte die beiden Vektoren
und
Da es sich hier um vierdimensionale Vektoren handelt, kannst Du sie nicht zeichnen, um die lineare Abhängigkeit geometrisch zu überprüfen. Wenn Du jetzt aber nacheinander die Komponenten durchgehst, stellst Du fest, dass sie sich sich jeweils um den Faktor 4 unterscheiden. Damit sind die beiden Vektoren linear abhängig.
Wenn Du feststellst, dass sich schon bei den ersten beiden Komponenten die Faktoren unterscheiden, weißt du sofort, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Als Beispiel dafür betrachte die Vektoren
und
Die ersten Komponenten unterscheiden sich um den Faktor 5, die zweiten Komponenten um den Faktor 2 und die letzten beiden Komponenten um den Faktor 3. Da die Faktoren nicht dieselben sind, sind diese beiden Vektoren linear unabhängig.
Lineare Abhängigkeit prüfen – einfache Methode
Wenn du zwei Vektoren gegeben hast, kannst du durch bloßes Hinsehen feststellen, ob diese linear abhängig sind. Bei drei Vektoren ist das schon etwas aufwändiger. Und der Aufwand steigt und steigt mit zunehmender Anzahl an Vektoren.
Wir brauchen also eine Methode, mit der Du angenehmer feststellen kannst, ob eine gegebene Menge an Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig ist.
Eine solche Methode benötigt Matrizen und die Determinante von Matrizen.
Lineare Abhängigkeit mit Hilfe der Determinante überprüfen
Betrachte erneut die drei Vektoren:
Diese drei Vektoren verwendest Du nun als Spalten einer Matrix A:
Von der Matrix A bestimmst Du ihre Determinante
Und hier kommt das Entscheidende: Da die Determinante von A ungleich Null ist, sind die drei Vektoren linear unabhängig.
Wieso diese Methode überhaupt funktioniert, schauen wir uns im folgenden Abschnitt an.
Weil für diese Methode die Determinante verwendet wird, bist Du an quadratischen Matrizen gebunden. Das heißt, die Anzahl an gegebenen Vektoren entspricht der Dimension des Ortes (siehe vorherige Vertiefung), in dem die Vektoren leben. Im Fall der Ebene funktioniert also die Methode nur für zwei Vektoren; im Fall des Raumes nur für drei Vektoren.
Was aber, wenn Du weniger Vektoren oder mehr Vektoren gegeben hast? Wenn Du mehr Vektoren gegeben hast, so sind diese automatisch linear abhängig.
Das hat etwas mit der Dimension zu tun. Wenn die Dimension zum Beispiel 3 ist, so brauchst Du genau drei Vektoren, um alle anderen Vektoren zu konstruieren. Hast Du nun vier Vektoren zur Hand, dann weißt Du damit sofort, dass Du einen von diesen Vektoren in Abhängigkeit der drei anderen Vektoren schreiben kannst; dieser einer Vektor ist also "überflüssig".
Bei weniger Vektoren hängt die Situation davon ab, welche Dimension der Ort besitzt, in dem die Vektoren leben. Ist der Ort zwei- oder dreidimensional, so gelingt die Überprüfung auf lineare Abhängigkeit relativ mühelos:
Bei zwei Dimensionen bedeutet "weniger", dass Du nur einen Vektor hast. Dieser ist genau dann linear abhängig, wenn er der Nullvektor ist.
Bei drei Dimensionen bedeutet "weniger", dass Du einen oder zwei Vektoren hast. Ein Vektor muss der Nullvektor sein, damit er linear abhängig ist. Den Fall von zwei Vektoren haben wir ausführlich in einem Beispiel behandelt.
Lineare Abhängigkeit prüfen – allgemeine Methode
Die Situation wird es dann spannender, wenn Du Räume betrachtest, die eine höhere Dimension als drei besitzen. Du kannst diesen Abschnitt als Vertiefung ansehen. Es werden Begriffe wie lineare Gleichungssysteme und Gaußsches Eliminationsverfahren fallen. Wenn Dir diese Begriffe nichts sagen, kein Problem: Du kannst Dir gerne unsere Erklärungen dazu ansehen.
Im Wesentlichen wird folgendes passieren: Wir nehmen die definierende Eigenschaft der linearen Abhängigkeit und interpretieren sie in Form eines linearen Gleichungssystem.
Dazu nehmen wir an, dass n Vektoren gegeben sind, die in einem m-dimensionalen Ort leben. Weiterhin soll es n Zahlen geben, sodass
Die n Vektoren sind also linear abhängig. Ähnlich wie im vorherigen Abschnitt fasst Du die n Vektoren als Spalten einer auf:
Die erste Spalte beinhaltet also die m Komponenten des ersten Vektors ; die zweite Spalte beinhaltet die m Komponenten des zweiten Vektors , und so weiter. Das heißt, dass zum Beispiel die zweite Komponente des ersten Vektors ist.
Ebenso nimmst Du die n Zahlen und bildest daraus einen Spaltenvektor
Damit kannst Du nun die Gleichung der linearen Abhängigkeit als Matrix-Vektor-Produkt schreiben
Quick Test: Wie viele Komponenten hat der Nullvektor auf der rechten Seite? Antwort: Der Nullvektor besitzt m Komponenten (die alle gleich Null sind).
Auf diese Form kannst Du nun das Gaußsche Eliminationsverfahren anwenden. Wenn Du dadurch eine Lösung erhältst, bei der der Spaltenvektor nicht gleich der Nullvektor ist, so sind die Vektoren linear abhängig.
Diese Beobachtung können wir verwenden, um eine alternative Definition der linearen Abhängigkeit anzugeben.
Lineare Abhängigkeit definiert über lineare Gleichungssysteme
Gegeben sind n Vektoren , die wir als Spalten einer Matrix A auffassen. Wir nennen dann die Vektoren linear abhängig, wenn es eine nicht-triviale Lösung des linearen Gleichungssystems
gibt.
Die Interpretation als lineares Gleichungssystem erklärt auch, weshalb die vorherige Methode mit der Determinante funktioniert. Ist nämlich A eine quadratische Matrix, deren Determinante ungleich Null ist, so besitzt das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Aber ist immer eine Lösung, und in diesem Fall die einzige Lösung. Also sind die Spalten von A (aufgefasst als Vektoren) linear unabhängig.
Geometrische Interpretation der linearen Abhängigkeit als Transformation des Raumes
Die Interpretation als lineares Gleichungssystem ermöglicht auch eine weitere geometrische Vorstellung der linearen Abhängigkeit. Konzentrieren wir uns dazu auf dem Raum und nehmen wir an, dass von den drei Vektoren , und einer "überflüssig" ist.
Erneut nimmst Du diese drei Vektoren und schreibst sie als Spalten in eine Matrix A. Wenn Du jetzt diese Matrix A auf alle möglichen Vektoren des Raumes wirken lässt, so kannst Du einen Einblick darüber gewinnen, wie die Matrix A den Raum als Ganzes geometrisch transformiert.
Da wir angenommen haben, dass einer der drei Vektoren "überflüssig" ist, transformiert die Matrix A den Raum zu derjenigen Ebene, in der die Vektoren , und liegen. Das wird in Abbildung 8 veranschaulicht. Aus dem dreidimensionalen Raum wurde - nach Wirkung der Matrix A - die zweidimensionale Ebene.
Abbildung 8: Eine Matrix aus linear abhängigen Vektoren transformiert den dreidimensionalen Raum in eine zweidimensionale Ebene.
Wären zwei der drei Vektoren "überflüssig", so hätte die Matrix A den Raum in eine Linie transformiert. Indem Du also verfolgst, wie die Transformation unter der Matrix A die Dimension verändert, kannst Du feststellen, wie viele der Spalten von A "überflüssig" sind.
Lineare Abhängigkeit – Beispiel
Wir haben dir verschiedene Methoden - sowohl rechnerisch als auch geometrisch - vorgestellt, mit denen Du die lineare Abhängigkeit von Vektoren untersuchen kannst.
Zur Wiederholung und Vertiefung schauen wir uns die Methoden nacheinander an einem konkreten Beispiel an. Dabei untersuchen wir die lineare Abhängigkeit zunächst geometrisch und überprüfen danach unsere Intuition rechnerisch.
Geometrische Methode, lineare Abhängigkeit zu überprüfen
Betrachte die drei Vektoren
und
Zeichnest Du nun die Vektoren ein, so stellst du fest, dass sie alle drei innerhalb derselben Ebene liegen (siehe Abbildung 9). Die drei Vektoren als Ganzes sind also linear abhängig - zumindest aus geometrischer Sicht.
Abbildung 9: Die drei Vektoren liegen innerhalb derselben Ebene. Damit sind sie linear abhängig,
Rechnerische Methoden, lineare Abhängigkeit zu überprüfen
(a) Direkt über die definierende Eigenschaft
Konzentrierst Du dich nur auf die dritte Komponente der drei Vektoren (das heißt auf und ) , so könntest Du erkennen, dass
gilt. Diese Beziehung kannst Du nun auch für die restlichen Komponenten überprüfen. Insgesamt erhältst Du die Gleichung
oder nach Umstellung
Du hast also eine nicht-triviale Linearkombination der Null gefunden. Somit sind die Vektoren linear abhängig.
An dieser Stelle ein kleiner Hinweis: Diese Methode ist nur in seltenen Fällen nützlich. Die Vektoren wurden für das Beispiel so gebastelt, dass gilt. Wenn Du das Gefühl hattest, dass die Faktoren 0,8 und -1,5 irgendwie "aus dem Nichts" kamen, so wurdest Du von Deinem Gefühl nicht getäuscht. Die folgenden zwei Methoden wirken weniger wie "Magie".
(b) Mit Hilfe der Determinante
Da Du hier drei Vektoren hast, die im dreidimensionalen Raum leben, kannst Du die Methode über die Determinante verwenden. Dazu schreibst Du zunächst die Vektoren als Spalten einer Matrix A:
Von der Matrix A bestimmst Du dann die Determinante und erhältst
Damit sind die Vektoren, die die Spalten von A bilden, linear abhängig.
(c) Mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens
Auch für diese Methode beginnst Du zuerst damit, dass Du die Vektoren als Spalten einer Matrix A schreibst:
Anschließend bringst Du die Matrix in eine reduzierte Zeilenstufenform:
(Der Strich über A soll Dich daran erinnern, dass Du es hier mit einer komplett anderen Matrix zu tun hast.) Die zweite Zeile von A' teilt Dir nun mit, dass
gelten soll. Du kannst eine der beiden Zahlen oder frei auswählen. Damit Du aber dasselbe Ergebnis wie in Teil (a) erhältst, soll gelten. Stellst Du nun unter Berücksichtigung dieser Wahl die vorherige Gleichung auf um, so bekommst Du
.
Die erste Zeile von A' liefert Dir jetzt die Gleichung
Umgestellt auf und mit der Annahme erhältst Du
Insgesamt ist dadurch
eine nicht-triviale Lösung des linearen Gleichungssystems Damit sind die Vektoren linear abhängig, und Du kannst sogar eine konkrete Linearkombination der Null angeben
Auch hier ein kleiner Hinweis: Wir haben die reduzierte Zeilenstufenform gewählt, da wir dadurch "schönere" Zahlen erhalten. Die nicht-reduzierte Zeilenstufenform sieht so aus:
Du erhältst aber, mit der Bedingung , denselben Lösungsvektor .
Was kannst Du aus diesem ausführlichen Beispiel mitnehmen? Wenn es Dir möglich ist, zeichne die Vektoren ein. Dadurch erhältst Du einen geometrischen Eindruck über die Situation. Und wie Du soeben gesehen hast, wird dieser Eindruck auch durch die nachträgliche Rechnung bestätigt.
Die definierende Eigenschaft der linearen Abhängigkeit selbst ist nicht praktisch, um die lineare Abhängigkeit rechnerisch zu überprüfen. Wesentlich angenehmer ist hier die Methode über die Determinante. Hier bist Du aber auf quadratische Matrizen beschränkt.
Die letzte Methode über das Gaußsche Eliminationsverfahren besitzt zwei Vorteile:
Du kannst sie auch für nicht-quadratische Matrizen verwenden. Sie ist daher allgemeiner anwendbar als die Methode über die Determinante.
Du findest nicht nur heraus, ob die Vektoren linear abhängig sind, sondern kannst auch eine konkrete Linearkombination der Null angeben.
Lineare Abhängigkeit Matrix – Nicht nur für Pfeile
Die lineare Abhängigkeit als Konzept kannst Du nicht nur für Pfeile verwenden. In der Tat kannst Du sie für alle Objekte verwenden, die Elemente von Vektorräume sind.
Einen solchen Vektorraum bilden zum Beispiel die 2x2-Matrizen. Du kannst 2x2-Matrizen elementweise addieren und mit einer Zahl skalieren.
Wir haben uns hier für 2x2-Matrizen entschieden, um konkret zu bleiben. Die Aussagen (und auch alle die gleich folgen) gelten allgemein für mxn-Matrizen.
Addition und Skalierung von 2x2-Matrizen
(a) Seien A und B zwei 2x2-Matrizen. Wir definieren dann die Summen-Matrix C elementweise, das heißt:
(b) Sei A eine 2x2-Matrix und eine (reelle Zahl). Die Skalarmultiplikation von A mit definieren wir durch:
Diese beiden Operationen erfüllen die Eigenschaften, die in der Definition eines Vektorraums verlangt werden. In diesem Sinne kannst Du auch von 2x2-Matrizen als Vektoren sprechen.
Die entsprechende Definition der linearen Abhängigkeit von Matrizen ist identisch zur Definition für Pfeile.
Lineare Abhängigkeit von 2x2-Matrizen
Sei n eine natürliche Zahl größer Null. Seien n 2x2-Matrizen gegeben. Wir nennen die n Matrizen linear abhängig, falls wir n Zahlen finden, sodass
gilt, wobei rechts die 2x2-Nullmatrix steht. Die Zahlen dürfen dabei nicht alle gleich Null sein.
Du kannst also mit Matrizen Linearkombinationen bilden, wie Du das schon für Pfeile gemacht hast.
Linear abhängige 2x2-Matrizen
Betrachte die vier Matrizen
und
Es gilt dann
Also sind die vier Matrizen linear abhängig.
2x2-Matrizen anders betrachtet
Die spezielle Anordnung von vier Zahlen in Form einer 2x2-Matrix ist eine getroffene Vereinbarung. Du kannst aber die vier Zahlen, die sich in einer solchen Matrix befinden, auch anders anordnen. Zum Beispiel kannst Du die Elemente der Matrix
aus dem vorherigen Beispiel auch folgendermaßen notieren:
Du hast also aus der 2x2-Matrix einen vierdimensionalen Vektor konstruiert. Beide Objekte enthalten dieselbe Information.
Du kannst das mit den verbleibenden drei Matrizen aus dem vorherigen Beispiel machen. Am Ende hast Du dann vier Vektoren. Und nun kannst Du die Methoden verwenden, die wir Dir bisher vorgestellt haben, um diese auf lineare Abhängigkeit zu untersuchen.
Lineare Abhängigkeit – Das Wichtigste
- Die Kernmotivation hinter dem Konzept der linearen Abhängigkeit (und damit auch hinter dem Konzept der linearen Unabhängigkeit) ist die eindeutige Darstellung von Vektoren.
- Die Darstellung von Vektoren wird über Linearkombinationen von anderen, fest gewählten Vektoren ermöglicht. Nur wenn diese fest gewählten Vektoren linear unabhängig sind, sind die Darstellungen eindeutig.
- Hast du n Vektoren gegeben, so heißen sie linear abhängig, wenn du sie derart miteinander kombinieren kannst, dass der Nullvektor entsteht; oder in anderen Worten: Durch den Prozess der Skalierung und Addition dieser Vektoren gelangst Du zum Ursprung zurück.
- Mathematisch gefasst, sind die Vektoren linear abhängig, wenn Du Zahlenfinden kannst, sodass gilt. Die Zahlen dürfen dabei nicht alle gleich Null sein.
- Ist einer der Vektoren der Nullvektor, so sind die Vektoren als Ganzes automatisch linear abhängig.
- Zwei Vektoren und sind linear abhängig, wenn sich ihre Komponenten um denselben Faktor unterscheiden. Das heißt, du findest eine Zahl mit Geometrisch bedeutet diese Gleichung, dass die beiden Vektoren auf derselben Ursprungsgeraden liegen.
- Geometrisch sind Vektoren im dreidimensionalen Raum linear abhängig, wenn sie in derselben Ebene oder auf derselben Ursprungsgeraden liegen.
- Rechnerisch kannst Du die lineare Abhängigkeit mit Hilfe der Determinante oder dem Gaußschen Eliminationsverfahren überprüfen. Dazu fasst Du die gegebenen Vektoren als Spalten einer Matrix A auf. Ist A quadratisch, kannst Du ihre Determinante berechnen. Ist die Determinante ungleich Null, so sind die Vektoren linear unabhängig.
- Ist die Matrix A nicht quadratisch, so hilft die Interpretation der linearen Abhängigkeit als lineares Gleichungssystem: Die Vektoren, die die Spalten von A bilden, sind linear abhängig, wenn es zum linearen Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung gibt; das heißt eine Lösung, bei der der Lösungsvektor nicht der Nullvektor ist.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Lineare Abhängigkeit
Was ist linear abhängig und unabhängig?
Vektoren heißen linear abhängig, wenn Du sie so miteinander kombinieren kannst, dass Du wieder zum Ursprung gelangst. (Formal heißt es dann, dass Du eine nicht-triviale Linearkombination der Null bilden kannst.) Ist Dir das nicht möglich, so heißen die Vektoren linear unabhängig.
Wann sind Matrizen linear abhängig?
Matrizen (mit den geeigneten Operationen) bilden einen Vektorraum. Die Definition der linearen Abhängigkeit von Matrizen ist daher identisch zur entsprechenden Definition für Vektoren. Bist Du in der Lage, Zahlen zu finden, sodass die Addition der skalierten Versionen der Matrizen zur Nullmatrix führt, sind die Matrizen linear abhängig.
Wann sind 2 Vektoren linear abhängig?
Hast Du nur zwei Vektoren gegeben, so sind diese linear abhängig, wenn sich die jeweiligen Komponenten um denselben Faktor unterscheiden. Geometrisch bedeutet das, dass die Vektoren auf derselben Ursprungsgeraden liegen.
Wann sind Spaltenvektoren linear unabhängig?
Du kannst in einem ersten Schritt die Spaltenvektoren als Spalten einer Matrix A auffassen. Ist A quadratisch, kannst Du dann die Determinante bestimmen: Ist diese ungleich Null, so sind die Vektoren linear unabhängig.
Wenn A nicht quadratisch ist, so kannst Du mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit überprüfen.
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