Mittelpunkt einer Strecke berechnen

Mittelpunkt zweier Punkte

Wie Du siehst, werden Janas und Tims Startpunkte durch Punkte in einem Koordinatensystem definiert. Verbindest Du diese zwei Punkte, erhältst Du eine Strecke. Der Treffpunkt ist ein Punkt auf dieser Strecke. Die Besonderheit an diesem Treffpunkt ist: Er ist der Mittelpunkt der Strecke.

Deshalb laufen sowohl Jana als auch Tim die gleiche Wegstrecke, um an den Treffpunkt zu gelangen. Und wie können die beiden jetzt die Lage dieses Treffpunkts im Koordinatensystems ermitteln?

Mittelpunkt einer Strecke – Vektoren

In einem Koordinatensystem kannst Du mit Vektoren arbeiten. Mithilfe der Vektoren kann nämlich die Herleitung zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke gezeigt werden.

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Herleitung

Wenn eine Strecke mit den Begrenzungspunkten A und B vorliegt, kann die Lage der beiden Punkte auch durch ihre Ortsvektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ beschrieben werden. Liegt ein Mittelpunkt M vor, so kann er auch durch seinen Ortsvektor $\overrightarrow{m}$ beschrieben werden.

Abbildung 3: Herleitung der Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke

Der vektorielle Weg zum Punkt M kann nicht nur durch den Ortsvektor $\overrightarrow{m}$ beschrieben werden, sondern auch durch die Vektoraddition von Vektor $\overrightarrow{a}$ und der Hälfte der Strecke $\overline{AB}$, also dem Vektor von Punkt A zu Punkt M. Das sieht dann folgendermaßen aus:

$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}·\overrightarrow{AB}$

Mittelpunkt einer Strecke – Vektoren Formel

Die Herleitung zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke hast Du ja jetzt gesehen. Und wie sieht jetzt die allgemeine Formel für die Berechnung des Mittelpunkts M aus?

Der Weg von Punkt A zum Mittelpunkt M lässt sich dann ebenfalls durch die Formel$\frac{1}{2}·(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$ beschreiben. Das sieht dann so aus:

$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}·\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)$

Das Ganze kannst Du ausmultiplizieren:

$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}·\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}·(-\overrightarrow{a})$

Und dann zusammenfassen:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{m}& =& \overrightarrow{a}+\frac{1}{2}·\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}·\overrightarrow{a}\\ & & \\ \overrightarrow{m}& =& \frac{1}{2}·\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}·\overrightarrow{b}\\ & & \\ \overrightarrow{m}& =& \frac{1}{2}·(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\end{array}$

Die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke und die Herleitung davon hast Du also jetzt vorliegen. Und wie werden die Koordinaten eines Mittelpunkts einer Strecke berechnet?

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Koordinaten

Nimm an, Du hast eine Strecke vorliegen. Diese Strecke hat zwei Begrenzungspunkte A und B mit den Koordinaten $A\left(x_1\right|y_1)$ und $B\left(x_2\right|y_2)$. Jetzt sollst Du die Koordinaten des Mittelpunktes M berechnen.

Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke – Formel

Die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke hast Du oben schon vorliegen. Also setzt Du die Koordinaten in die Formel ein:

$\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}·\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\frac{1}{2}·\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+& \left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{x_1+x_2}{2}\\ \frac{y_1+y_2}{2}\end{array}\right)$

Wie oben beschrieben, stellen die Variablen $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ die Ortsvektoren der Begrenzungspunkte der Strecke dar. Da der Ortsvektor den Koordinaten des Punkts entspricht, kannst Du die Koordinaten der Punkte A und B direkt einsetzen und erhältst somit die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke.

Mit dieser Formel kannst Du - wenn Du die Koordinaten der zwei Begrenzungspunkte der Strecke vorliegen hast - den Mittelpunkt dieser Strecke berechnen.

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Beweis

Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke hast Du jetzt gesehen. Hier findest Du einen Beweis zu der Korrektheit dieser Formeln.

Wie Du siehst, entspricht sowohl das Ablesen, als auch das Berechnen mit der Formel den Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke.

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Anwendung

Für die Anwendung der Formeln kannst Du Dir Janas und Tims Schulweg nochmal anschauen.

Auch für den Raum kannst Du diese Formel anwenden.

Wie Du die Formel benutzt, hast Du in der Anwendung gesehen. Jetzt bist Du dran mit Rechnen!

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Aufgaben

Solltest Du nicht mehr weiterkommen oder an einer Stelle hängen, dann scroll gerne hoch und schau Dir die Formeln nochmal an!

Zusammenfassend kannst Du also die Formel für jede Strecke verwenden, wenn die Koordinaten der beiden Begrenzungspunkte bekannt sind.