Mittelpunktswinkel

Mittelpunktswinkel – Grundlagenwissen

Der Mittelpunktswinkel ist ein Winkel, der vorwiegend im Zusammenhang mit Kreisbögen oder Kreissektoren auftaucht. Daher solltest Du Dir diese kurze Zusammenfassung eines anderen wichtigen Winkels am Kreisbogen sowie des Kreissektors ansehen.

Peripheriewinkel am Kreisbogen

Ein Kreisbogen ist ein Teil eines Kreises. Er wird begrenzt durch zwei Punkte auf einem Kreis, der diesen in zwei Kreisbögen unterteilt. Der Peripheriewinkel ist ein am Rand des Kreisbogens anliegender Winkel.

Hier wird der Kreis k durch die Punkte A und B in zwei Kreisbögen geteilt. Einer der Peripheriewinkel $\varphi$ ist hier eingezeichnet.

Abbildung 1: Peripheriewinkel am Kreis

Mittelpunktswinkel Kreissektor

Der Begriff „Sektor“ bedeutet so viel wie „Bereich“. Hier handelt es sich also um einen bestimmten Bereich eines Kreises.

Abbildung 2: Kreissektor

Mittelpunktswinkel – Definition

Der Mittelpunktswinkel liegt, wie sein Name schon sagt, am Mittelpunkt des Kreises.

Die beiden Punkte A und B auf der Kreislinie unterteilen den Kreis in zwei Kreisbögen. Dabei gibt es zu jedem Kreisbogen genau einen Mittelpunktswinkel.

Hier wird der Kreisbogen $\stackrel{⌢}{AB}$ betrachtet.

Abbildung 3: Mittelpunktswinkel des Kreisboges $\stackrel{⌢}{AB}$

Hier wird der Kreisbogen $\stackrel{⌢}{BA}$ betrachtet.

Abbildung 4: Mittelpunktswinkel des Kreisbogens $\stackrel{⌢}{BA}$

Mittelpunktswinkel berechnen

Du weißt nun schon, wo der Mittelpunktswinkel liegt. Dieser kann unter bestimmten Gegebenheiten auch berechnet werden und hilft selbst bei der Berechnung anderer Größen am Kreis.

Mittelpunktswinkel Kreisbogen – Formel

Hast Du einen Kreisbogen gegeben, kannst Du den zugehörigen Mittelpunktswinkel ausrechnen, wenn Du die Größe der Peripheriewinkel des Kreisbogens kennst. Dafür wird jedoch ein bestimmter Satz benötigt – der

Zentri-Peripheriewinkelsatz.

Der Zentri-Peripheriewinkelsatz beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Mittelpunkts- bzw. Zentriwinkel und dem Peripheriewinkel.

Abbildung 5: Zentri-Peripheriewinkelsatz

Du weißt nun also, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Peripheriewinkel. Hast Du einen Peripheriewinkel gegeben, multiplizierst Du diesen also einfach mit $2$.

Mittelpunktswinkel Kreissektor – Formel

Hast Du einen Kreissektor, auch genannt Kreisausschnitt, gegeben, kannst Du mithilfe des Mittelpunktswinkels den Flächeninhalt des Kreisausschnitts und die Länge des zugehörigen Kreisbogens ermitteln. Der Mittelpunktswinkel eines Kreisausschnitts liegt dabei innerhalb des Kreissektors am Mittelpunkt und wird durch die zwei Radien begrenzt.

Flächeninhalt eines Kreissektors/Kreisausschnitts

Der Flächeninhalt $A$ eines Kreisausschnitts ist proportional zum Mittelpunktswinkel $\mu$. Verdoppelst Du die Größe von $\mu$, verdoppelt sich automatisch auch die Fläche $A$. Da ein Vollkreis einen Mittelpunktswinkel von ${360}^{\circ }$ besitzt, entspricht der Anteil des Winkels $\mu$ am Vollwinkel ${360}^{\circ }$ dem Anteil der Fläche $A$ des Vollkreises mit einem Flächeninhalt $\pi \cdot r^2$, wobei $r$ der Radius des Kreisausschnitts ist. Deshalb gilt Folgendes:

Mithilfe dieser Formel kannst Du also die Fläche berechnen, wenn Du einen entsprechenden Mittelpunktswinkel und Radius gegeben hast. Diese setzt Du, wie im folgenden Beispiel, in die Formel ein.

Länge des Kreisbogens eines dazugehörigen Kreissektors/Kreisausschnitts

Auf die ähnliche Weise wie beim Flächeninhalt kann der Teil des Kreisumfangs bestimmt werden, den die zwei Radien des Kreisausschnitts einschließen. Dieser Teil ist demnach wieder ein Kreisbogen, da er auf dem Rand des Kreises liegt und von zwei Punkten begrenzt wird. Dieser Kreisbogen wird hier $u_1$ genannt.

Abbildung 8: Länge eines Kreisbogens berechnen

Auch hier ist die Länge des Kreisbogens wieder proportional zur Größe des Mittelpunktswinkels. Ein Vollkreis besitzt den Umfang $2\cdot \pi \cdot r$ mit Radius $r$.

Auch hier setzt Du bei gegebenem Mittelpunktswinkel und Radius wieder in die Formel ein und berechnest diese.

Mittelpunktswinkel weiterer Figuren

Nicht nur im Kreis kommen Peripheriewinkel und Mittelpunktswinkel vor. Auch andere geometrische Figuren besitzen diese Winkel.

Mittelpunktswinkel Dreieck

Der Mittelpunktswinkel eines Dreiecks ist der Mittelpunktswinkel des Kreisbogens, der auf dem Umkreis des Dreiecks liegt.

Ist ein Kreisbogen gegeben, entsteht durch die Verbindungsstrecken der Eckpunkte A und B mit einem Punkt auf dem Kreisbogen genau so ein Dreieck. Der Peripheriewinkel liegt hier also in der Spitze des Dreiecks. Durch die Verbindung der Eckpunkte mit dem Mittelpunkt M entsteht ebenfalls ein Dreieck, in dessen Spitze der Mittelpunktswinkel $\mu$ liegt.

Abbildung 9: Mittelpunkswinkel Dreieck

Wie Du siehst, entstehen im Kreisbogen $\stackrel{⌢}{AB}$ die beiden Dreiecke $\mathrm{△}ABM$ und $\mathrm{△}ABP$.

Mittelpunktswinkel Sechseck

Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken. Das bedeutet, dass auch die Mittelpunktswinkel der Dreiecksteile alle gleich groß sind.

Abbildung 10: Mittelpunktswinkel Rechteck

In einem gleichseitigen Dreieck beträgt jeder Winkel genau ${60}^{\circ }$. Somit beträgt der Mittelpunktswinkel $\mu$ im Sechseck ebenfalls genau ${60}^{\circ }$.

Mittelpunktswinkel Kegel

Am Kegel kannst Du den Mittelpunktswinkel der Mantelfläche ausrechnen, da diese einen Kreisausschnitt bildet.

Hast Du einen Kegel mit Radius $r$ und Höhe $h$ gegeben, so kannst Du den Mittelpunktswinkel berechnen, indem Du zunächst die Länge der Mantellinie $s$ mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnest. Du rechnest also

$$s=\sqrt{r^2+h^2}.$$

Abbildung 11: Kegel

Hast Du $s$ berechnet, kannst Du damit den Mittelpunktswinkel der Mantelfläche berechnen:

Sie beschreibt das Verhältnis vom Radius des Kreises zur Mantellinie und nimmt genau diesen Anteil vom Vollwinkel.

Abbildung 12: Mantelfläche des Kegels

Mittelpunktswinkel – Aufgaben

Hier kannst Du die Anwendung der Formeln direkt anhand einiger Aufgaben üben!