Mittelsenkrechte

Mittelsenkrechte – Eigenschaften

Punkte auf der Mittelsenkrechten

Alle Punkte, die auf der Mittelsenkrechten liegen, haben eine besondere Eigenschaft: Sie haben exakt denselben Abstand zum Punkt A wie zum Punkt B.

Abbildung 2: Abstand von Punkten auf der Mittelsenkrechten

Es gibt daher noch eine zweite Definition der Mittelsenkrechten, die diese Eigenschaft aufgreift:

Mittelsenkrechte als Symmetrieachse

Ähnlich wie die Winkelhalbierende hat auch die Mittelsenkrechte eine Funktion als Symmetrieachse. Sie ist eine der beiden Spiegelachsen der Strecke, die die Strecke auf sich selber abbildet.

Mittelsenkrechte konstruieren

Die Mittelsenkrechte einer Strecke kann man mithilfe eines Zirkels konstruieren oder mit einem Geodreieck zeichnen. Das funktioniert im Prinzip wie das Konstruieren eines Lots.

Eine genaue Anleitung zur Konstruktion kannst du im Kapitel Konstruktionen nachlesen, welches du im Bereich Geometrie findest.

Mittelsenkrechte im Dreieck

Zu jeder Seite im Dreieck gibt es eine Mittelsenkrechte. Die drei Mittelsenkrechten werden normalerweise nicht nur mit einem kleinen m beschriftet, sondern zudem mit einem Index, der die Bezeichnung der Seite enthält. Dies zeigt dir die folgende Abbildung.

Abbildung 3: Mittelsenkrechten im Dreieck mit korrekter Beschriftung

Mittelsenkrechte im Dreieck – Schnittpunkt

Wie du bereits in der Abbildung sehen kannst, schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dass dies nicht nur in diesem Dreieck zufällig passiert, sondern für jedes Dreieck gilt, wollen wir im Folgenden kurz beweisen:

Behauptung: Die Mittelsenkrechten ma, mb und mc eines beliebigen Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt.

Beweis Beschreibung:	Abbildung 4-8: Mittelsenkrechten im Dreieck
Gegeben sei das Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen der Seiten- und Eckpunkte.
Die Mittelsenkrechten ma und mb schneiden sich in einem Punkt M, denn ma und mb sind nicht parallel (sonst müsste der Winkel am Eckpunkt C 180° groß sein und damit wäre ABC kein Dreieck).
Da der Punkt M also auf der Mittelsenkrechten ma liegt, hat er denselben Abstand zum Punkt B und zum Punkt C (das ist ja die zentrale Eigenschaft von Punkten auf Mittelsenkrechten).Da der Punkt M ebenfalls auf der Mittelsenkrechten mb liegt, hat er denselben Abstand zum Punkt C und zum Punkt A.
Da M also auch denselben Abstand zum Punkt A und zum Punkt B hat, liegt M ebenfalls auf der Mittelsenkrechten mc.
Der Punkt M liegt also auf allen drei Mittelsenkrechten.

Mittelsenkrechte im Dreieck – Lagepunkt des Schnittpunkts

Im letzten Absatz hast du gesehen, dass sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden, und zwar in jedem Dreieck, egal, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.

Die Lage des Schnittpunkts M ist jedoch abhängig von der Art des Dreiecks. Er kann entweder innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder sogar auf einer Seite des Dreiecks liegen.

Die folgende Tabelle gibt dir einen Überblick über die Lage des Schnittpunkts M abhängig von der Dreiecksart.

Spitzwinkliges Dreieck	Abbildung 9: Spitzwinkliges Dreieck Der Schnittpunkt M liegt innerhalb des Dreiecks.
Rechtwinkliges Dreieck	Abbildung 10: Rechtwinkliges Dreieck Der Schnittpunkt M liegt auf der Seite b, die gegenüber dem rechten Winkel an Punkt B liegt.
Stumpfwinkliges Dreieck	Abbildung 11: Stumpfwinkliges Dreieck Der Schnittpunkt M liegt außerhalb des Dreiecks, gegenüber dem stumpfen Winkel an Punkt B.

Mittelsenkrechte im Dreieck – Umkreis

Der Schnittpunkt M ist nun nicht irgendein beliebiger Schnittpunkt, sondern er hat noch eine Eigenschaft: Da er - wie du im Beweis gesehen hast - denselben Abstand zu allen drei Eckpunkten hat, ist es möglich, einen Kreis um den Punkt M zu zeichnen, der durch alle drei Eckpunkte verläuft. Dieser Radius ist dann so groß zu wählen, wie der Abstand d vom Punkt M zu einem beliebigen Eckpunkt ist. Dieser Kreis heißt Umkreis des Dreiecks.

Abbildung 12: Umkreis des Dreiecks ABC

Mittelsenkrechte im Viereck

Die Mittelsenkrechten gibt es natürlich nicht nur im Dreieck, sondern auch im Viereck. Je nach Art des Vierecks ergibt sich dabei einer oder vier Schnittpunkte:

• Quadrat: Hier schneiden sich die vier Mittelsenkrechten in einem Punkt M. Zudem sind die Mittelsenkrechten der beiden gegenüberliegenden Seiten identisch. M ist der Mittelpunkt des Umkreises des Quadrats und zudem auch der Mittelpunkt des Inkreises. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist zudem identisch mit dem Mittelpunkt der Winkelhalbierenden!
• Rechteck: Die Mittelsenkrechten schneiden sich ebenfalls in einem Punkt und die jeweils gegenüberliegenden Mittelsenkrechten sind identisch. Das Rechteck hat allerdings keinen Umkreis und auch keinen Inkreis.
• Parallelogramm: Die Mittelsenkrechten schneiden sich in vier Punkten, wobei zwei davon auf zwei gegenüberliegenden Seiten liegen. Es wird dabei ein neues Parallelogramm umschlossen.
• Symmetrisches Trapez: Die Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt M, und dieser ist Mittelpunkt des Umkreises.
• Allgemeines Trapez: Die Mittelsenkrechten schneiden sich in vier Punkten und umschließen dabei ein Trapez, welches ähnlich zum Ausgangstrapez ist.
• Raute: Die Mittelsenkrechten ergeben vier Schnittpunkte und umschließen im Inneren eine Raute.
• Drachenviereck: Die Mittelsenkrechten können sich in einem Punkt M schneiden, dann ist M der Mittelpunkt des Umkreises. Sie können sich aber auch in 4 Punkten schneiden und dabei ein konkaves Viereck umschließen - also ein Viereck, bei dem ein Winkel größer als 180° ist.
• Allgemeines Viereck: Die Mittelsenkrechten schneiden sich in vier Punkten und umschließen ein allgemeines Viereck.

Die Abbildungen 13 - 16 zeigen dir dabei noch einige Beispiele zu den genannten Vierecken.

Abbildung 13: Mittelsenkrechten im Quadrat	Abbildung 14: Mittelsenkrechten im Rechteck
Abbildung 15: Mittelsenkrechten im Parallelogramm	Abbildung 16: Mittelsenkrechten im allgemeinen Trapez

Sehr gut, dass du bis zum Ende durchgehalten hast! Um den Inhalt dieser Zusammenfassung zu vertiefen, kannst du jetzt die zugehörigen Karteikarten bearbeiten!