Oberflächeninhalt Kegel

Aufgabe

Berechne die Mantelfläche M eines Kegels mit r = 5 m und s = 2 m.

Lösung

Zuerst musst Du die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Kegels aufschreiben.

$\mathrm{M}=\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{s}$

Als Nächstes kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzen.

$\mathrm{M}=\mathrm{\pi }·5\mathrm{m}·2\mathrm{m}$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen.

$$\begin{gathered} M=\pi ·10m^2 \\ M\approx 31,4m^2 \end{gathered}$$

Die Mantelfläche des Kegels ist ungefähr 31,4 m² groß.

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Kegels mit $r=5cm$ und $s=7cm$.

Lösung

Als Erstes schreibst Du Dir die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts O eines Kegels auf. Dabei kannst Du entscheiden, welche Version der Formeln Du wählst.

$\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2+\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·s$

Als Nächstes werden die oben gegebenen Werte in die Formel eingesetzt.

$\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·{(5\mathrm{cm})}^2+\mathrm{\pi }·5\mathrm{cm}·7\mathrm{cm}$

Zum Schluss kannst Du Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen. Achte darauf, die richtige Einheit zu notieren.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{O}& =& \mathrm{\pi }·25{\mathrm{cm}}^2+\mathrm{\pi }·35{\mathrm{cm}}^2\\ & & \\ \mathrm{O}& =& \mathrm{\pi }·(25{\mathrm{cm}}^2+35{\mathrm{cm}}^2)\\ & & \\ \mathrm{O}& =& \mathrm{\pi }·60{\mathrm{cm}}^2\\ & & \\ \mathrm{O}& \approx & 188,5{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Kegels beträgt ungefähr 188,5 cm².

Aufgaben

1. Berechne den Oberflächeninhalt O einer Eiswaffel mit $r=2cm$ und $s=5cm$. Gib Dein Ergebnis in dm² an.

2. Berechne die Mantellinie s eines Verkehrshütchens mit $r=1m$ und dem Oberflächeninhalt $O=4m^3$.

3. Berechne die Grundfläche G eines Kegels mit $O=620c{m}^2$, $r=8cm$ und $s=10cm$.

Lösungen

Zu 1.:

Hierfür verwendest Du die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels:

$\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·(\mathrm{r}+\mathrm{s})$

Anschließend setzt Du die oben gegebenen Werte in die Formel ein:

$\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·2\mathrm{cm}·(2\mathrm{cm}+5\mathrm{cm})$

Jetzt kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$$\begin{gathered} \mathrm{O}=\mathrm{\pi }·2\mathrm{cm}·7\mathrm{cm} \\ \mathrm{O}=\mathrm{\pi }·14{\mathrm{cm}}^2 \\ \mathrm{O}\approx 44{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$

Da das Ergebnis in dm² angegeben werden sollte, musst Du dafür die Umrechnung von cm² in dm² durchführen:

$1{\mathrm{cm}}^2=0,01{\mathrm{dm}}^2$

Als Letztes kannst Du nun ein Ergebnis mit dem Dreisatz in dm² umwandeln.

$\begin{array}{rcl}1{\mathrm{cm}}^2& =& 0,01{\mathrm{dm}}^2\\ & & \\ 44{\mathrm{cm}}^2& =& 0,44{\mathrm{dm}}^2\end{array}$

Die Eiswaffel hat einen Oberflächeninhalt von 0,44 dm².

Zu 2.:

Hierfür verwendest Du die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels:

$\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·(\mathrm{r}+\mathrm{s})$

Um die Mantellinie s zu berechnen, stellst Du die Formel nach s um:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{O}& =& \mathrm{\pi }·\mathrm{r}·(\mathrm{r}+\mathrm{s})|÷(\mathrm{\pi }·\mathrm{r})\\ & & \\ \mathrm{r}+\mathrm{s}& =& \frac{\mathrm{O}}{\mathrm{\pi }·\mathrm{r}}|-\mathrm{r}\\ & & \\ \mathrm{s}& =& \frac{\mathrm{O}}{\mathrm{\pi }·\mathrm{r}}-\mathrm{r}\end{array}$

Jetzt kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzten:

$s=\frac{4m^2}{\pi ·1m}-1m$

Zum Schluss musst Du nur noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$$\begin{gathered} \mathrm{s}=\frac{4{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{\pi }·1\mathrm{m}}-1\mathrm{m} \\ \mathrm{s}=\frac{4\mathrm{m}}{\mathrm{\pi }}-1\mathrm{m} \\ \mathrm{s}\approx 1,27\mathrm{m}-1\mathrm{m} \\ \mathrm{s}\approx 0,27\mathrm{m} \end{gathered}$$

Die Mantellinie s des Verkehrshütchens beträgt ungefähr 0,27 m.

Zu 3.:

In der Aufgabe geht es um den Oberflächeninhalt O, die Grundfläche G, die Mantellinie s und den Radius r. Es gibt eine allgemeine Formel, in der die Grundfläche und der Oberflächeninhalt enthalten sind. Außerdem braucht man für diese Formel noch die Mantelfläche, diese kommt jedoch an späterer Stelle.

$O=M+G$

In der Aufgabenstellung sind r r und s gegeben, aber nicht M. Du kannst M durch die spezifische Formel ersetzen. Dadurch kannst Du alle Werte, die angegeben sind, verwenden:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{M}& =& \mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{s}\\ & & \\ & \Rightarrow & \mathrm{O}=\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{s}+\mathrm{G}\end{array}$

Jetzt musst Du noch die Formel nach G umstellen, da nach der Grundfläche gefragt ist:

$$\begin{gathered} \mathrm{O}=\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{s}+\mathrm{G}|-(\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{s}) \\ \mathrm{G}=\mathrm{O}-(\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{s}) \end{gathered}$$

Nun kannst Du die gegebenen Werte in die Formel einsetzten:

$\mathrm{G}=620{\mathrm{cm}}^2-(\mathrm{\pi }·8\mathrm{cm}·10\mathrm{cm})$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$$\begin{gathered} G=620c{m}^2-(\pi ·80c{m}^2) \\ G\approx 368,7c{m}^2 \end{gathered}$$

Der Kegel hat eine Grundfläche von ungefähr 368,7 cm².