Oberflächeninhalt Quader: Berechnung & Beispiel

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Oberflächeninhalt Quader: Allgemeines

Jedes geometrische Objekt, also jedes Objekt im drei-dimensionalen Raum, hat eine Oberfläche und dadurch auch einen Oberflächeninhalt, der theoretisch berechnet werden kann. Dieser Oberflächeninhalt zeigt zum Beispiel an, wie viel Material nötig ist, um einen Körper herzustellen.

Aber bevor du mehr zum Berechnen des Oberflächeninhalts erfährst, sind hier noch einmal die Basics.

Definition Oberflächeninhalt

Vielleicht fragst du dich jetzt: Was ist eigentlich ein Oberflächeninhalt? Wie kann ich mir das vorstellen?

Der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur ist die gesamte Fläche, welche eine Figur bildet. Der Oberflächeninhalt besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur.

In Formeln wird für den Oberflächeninhalt meistens der Großbuchstabe O verwendet.

Wenn man einen Quader aufschneidet und in seine Einzelteile zerlegt, erhält man 6 Rechtecke, wobei die zwei gegenüberliegenden Rechtecke immer gleich groß sind. Wenn der Flächeninhalt aller 6 Rechtecke zusammenaddiert wird, dann erhältst du den Oberflächeninhalt des Quaders.

Oberflächeninhalt Quader Quadernetz StudySmarter Abbildung 1: Netz eines Quaders

Du solltest den Oberflächeninhalt einer Figur nicht mit dessen Volumen verwechseln. Während der Oberflächeninhalt die gesamte äußere Fläche einer Figur ist, ist das Volumen die Füllung, die sich innerhalb dieser Figur befindet, also deren räumlicher Inhalt.

Oberflächeninhalt Einheit

Wie du siehst, besteht der Oberflächeninhalt also aus den Flächeninhalten der Seiten eines Körpers. Aufgrund dessen wird der Oberflächeninhalt in derselben Einheit, wie der Flächeninhalt angegeben.

Der Oberflächeninhalt wird normalerweise in Quadratmillimetern (mm²), Quadratzentimetern (cm²), Quadratdezimetern (dm²), Quadratmetern (m²) oder Quadratkilometern (km²) angegeben.

Zur Wiederholung:

$\begin{array}{rcl} 1 c m^{2} & = & 100 m m^{2} \\ 1 c m^{2} & = & 0, 01 d m^{2} \\ 1 m^{2} & = & 10000 c m^{2} \\ 1 m^{2} & = & 1000000 k m^{2} \end{array}$

Du kannst dir auch den Artikel Flächeneinheiten durchlesen, falls du noch Probleme bei der Umrechnung hast.

Oberflächeninhalt Quader: Berechnung

Um jetzt den Oberflächeninhalt berechnen zu können, gibt es eine Formel. Diese Formel leitet sich aus der oben dargestellten Zerlegung des Quaders ab.

Herleitung der Formel des Oberflächeninhalts eines Quaders

Wie bereits angedeutet, lässt sich die Formel für den Oberflächeninhalt leicht mithilfe der Zerlegung eines Quaders herleiten. Wie du oben gesehen hast, besteht ein Quader aus 6 Rechtecken:

einer Deckfläche D
einer gleich großen Grundfläche G
zwei gleich großen Seitenflächen $S_{1} und S_{2}$
einer Vorderseite V
einer Rückseite R mit ebenfalls der gleichen Größe

Oberflächeninhalt Quader Netz eines Quaders mit Flächenbeschriftung StudySmarter Abbildung 2: Netz eines Quaders mit Flächenbeschriftung

Diese Art von Darstellung einer geometrischen Figur (zwei-dimensionales aufklappen) wird als Netz einer Figur bezeichnet.

Es wurde auch bereits erwähnt, dass sich der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur aus den Flächeninhalten der Einzelteile zusammensetzt. Da der Quader aus Rechtecken besteht, brauchen wir die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks. Die lautet folgendermaßen:

$A_{□} = a \cdot b$

Diese Formel muss für die einzelnen Flächen nur angepasst werden, je nachdem, von welchen Seiten sie gebildet werden. Die Seite a ist dabei die Länge, während Seite b die Breite und Seite c die Höhe darstellt.

Oberflächeninhalt Quader beschriftetes Quadernetz StudySmarter Abbildung 3: Netz eines Quaders mit Beschriftung

1. Die Vorderseite wird von den Seiten a und c eingeschlossen. Deshalb gilt für V:

$A_{V} = a \cdot c$

2. Die Rückseite wird ebenfalls von den Seiten a und c eingeschlossen. Deshalb gilt für R:

$A_{R} = a \cdot c$

3. Die Grundfläche wird von den Seiten a und b eingeschlossen. Deshalb gilt für G:

$A_{G} = a \cdot b$

4. Die Deckfläche wird auch von den Seiten a und b eingeschlossen. Deshalb gilt für D:

$A_{D} = a \cdot b$

5. Die Seitenflächen werden von den Seiten b und c eingeschlossen. Deshalb gilt für $S_{1}$ :

$A_{S_{1}} = b \cdot c$

6. Die andere Seitenfläche wird genauso von den Seiten b und c eingeschlossen. Deshalb gilt für $S_{2}$ :

$A_{S_{2}} = b \cdot c$

Aus diesen Formeln bildet sich folgende Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders:

$O = A_{V} + A_{R} + A_{G} + A_{D} + A_{S_{1}} + A_{S_{2}} O = a \cdot c + a \cdot c + a \cdot b + a \cdot b + b \cdot c + b \cdot c$

Da es immer zwei gleich große Seiten gibt und somit auch die Formel für den Flächeninhalt gleich ist, reicht es aus, die 3 unterschiedlichen Formeln zu addieren und die einzelnen Summanden zu verdoppeln.

$O = 2 \cdot A_{V / R} + 2 \cdot A_{G / D} + 2 \cdot A_{S_{1} / S_{2}} O = 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot b \cdot c$

Oberflächeninhalt Quader: Formel

Dieser Abschnitt dreht sich nochmal um die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders und ihre Darstellungsformen. Außerdem ist unten noch ein konkretes Beispiel dazu aufgeführt.

Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts O eines Quaders lautet:

$O = 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot b \cdot c$

Aus dieser Formel kann die zwei ausgeklammert werden. Daraus ergibt sich die gekürzte Formel:

$O = 2 \cdot (a \cdot c + a \cdot b + b \cdot c)$

Sonderfall: Oberflächeninhalt eines Würfels berechnen

Ein Würfel ist ein Sonderfall des Quaders, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Dadurch gilt:

$a = b = c$

In einer Zeichnung kannst du gut erkennen, dass alle Seiten die gleiche Länge besitzen.

Oberflächeninhalt Quader Oberflächeninhalt Würfel StudySmarter Abbildung 4: Oberflächeninhalt Würfel

Um den Oberflächeninhalt eines Würfels zu berechnen, muss man genau diese Beziehung berücksichtigen. Du kannst also einfach alle Seiten mit a bezeichnen, da sie alle gleich lang sind.

Wie sagt man so schön? Jeder Würfel ist ein Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Würfel.

Für den Flächeninhalt eines Quadrats (Grundfläche des Würfels) gilt also:

$\begin{array}{rcl} A & = & a \cdot a \\ = & a^{2} \end{array}$

Dadurch, dass alle Seiten gleich lang sind, sind auch alle Flächen gleich groß. Wie oben erwähnt, besteht ein Quader aus 6 Rechtecken. Der Flächeninhalt des Quadrats muss also einfach versechsfacht werden, um den Oberflächeninhalt eines Würfels zu erhalten.

Für den Oberflächeninhalt eines Würfels gilt also:

$O = 6 \cdot A O = 6 \cdot a^{2}$

Wenn du mehr zum Thema Oberflächeninhalt eines Würfels wissen willst, dann schau dir doch unseren Artikel zu dem Thema an.

In einem Beispiel sieht die Berechnung des Oberflächeninhaltes eines Quaders so aus:

Aufgabe 1

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Quaders mit den Seiten

$a = 4 cm, b = 6 cm und c = 3 cm$

Lösung

Als Erstes musst du dir die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts O eines Quaders aufschreiben.

$O = 2 \cdot (a \cdot c + a \cdot b + b \cdot c)$

Als Nächstes kannst du die oben gegebenen Werte in die Formel einsetzen.

$O = 2 \cdot (4 c m \cdot 3 c m + 4 c m \cdot 6 c m + 6 c m \cdot 3 c m)$

Zum Schluss kannst du jetzt noch das Ergebnis ausrechnen. Achte darauf, die richtige Einheit zu wählen.

$O = 2 \cdot (12 c m^{2} + 24 c m^{2} + 18 c m^{2}) O = 2 \cdot 54 c m^{2} O = 108 c m^{2}$

Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt $108 {cm}^{2}$ .

Mantelfläche Quader: Berechnung

Was du vielleicht noch nicht weißt ist, dass Quader auch eine Mantelfläche haben.

Die Mantelfläche eines Quaders setzt sich aus den vier seitlichen Rechtecken zusammen und wird in Formeln mit dem Großbuchstaben M abgekürzt. Die Deck- und Grundfläche D und G zusammen mit der Mantelfläche M ergeben den Oberflächeninhalt O.

Da die Mantelfläche M, wie der Oberflächeninhalt auch, sich aus der Summe der Flächeninhalte der Rechtecke zusammensetzt, wird sie in der gleichen Einheit wie der Oberflächeninhalt angegeben.

In einer Abbildung sieht die Mantelfläche M dann so aus:

Oberflächeninhalt Quader Mantelfläche StudySmarter Abbildung 5: Netz der Mantelfläche eines Quaders

Da die Mantelfläche bis auf Grund- und Deckfläche identisch mit dem Oberflächeninhalt eines Quaders ist, entspricht auch die Formel bis auf diese beiden Flächen der Formel des Oberflächeninhalts.

Die Formel für die Mantelfläche M lautet:

$M = A_{V} + A_{R} + A_{S_{1}} + A_{S_{2}} M = a \cdot c + a \cdot c + b \cdot c + b \cdot c$

Wie oben auch schon, können gleich große Flächen einfach verdoppelt in die Formel mit eingehen:

$M = 2 \cdot A_{V / R} + 2 \cdot A_{S_{1} / S_{2}} M = 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c$

Auch bei dieser Formel kann die 2 wieder nach vorne gestellt werden:

$M = 2 \cdot (a \cdot c + b \cdot c)$

Die Seite a ist dabei die Länge, während die Seite b die Breite und die Seite c die Höhe ist.

Beziehung zwischen Mantelfläche M und Oberflächeninhalt O

Wie gerade schon kurz erwähnt, hängen die Mantelfläche und der Oberflächeninhalt sehr nah zusammen. Die Hauptbeziehung besteht darin, dass sich der Oberflächeninhalt O aus der Mantelfläche M und der Grund- und Deckfläche G und D zusammensetzt.

Für den Oberflächeninhalt O gilt die allgemeine Formel:

$O = M + G + D$

Aus dieser Beziehung kann dann auch wieder die Formel für den Oberflächeninhalt entstehen. Dafür müssen wir M, G und D mit ihren allgemeinen Formeln ersetzten.

$\begin{array}{rcl} M & = & A_{V} + A_{R} + A_{S_{1}} + A_{S_{2}} \\ G + D & = & A_{G} + A_{D} \\ O & = & M + G + D \\ O & = & A_{V} + A_{R} + A_{S_{1}} + A_{S_{2}} + A_{G} + A_{D} \end{array}$

Wenn du jetzt die Flächeninhalte durch die Formel ersetzt, die wir oben für sie festgehalten haben und diese zusammenfassen, dann erhalten wir wieder die Formel des Oberflächeninhalts O eines Quaders.

$O = a \cdot c + a \cdot c + b \cdot c + b \cdot c + a \cdot b + a \cdot b O = 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c + 2 \cdot a \cdot b O = 2 \cdot (a \cdot c + b \cdot c + a \cdot b)$

Mantelfläche Quader: Aufgabe

In einem Beispiel sieht das dann so aus:

Aufgabe 2

Berechne die Mantelfläche M eines Quaders mit $a = 5 m, b = 2 m und c = 7 m$ .

Lösung

Zuerst musst du die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Quaders aufschreiben.

$M = 2 \cdot (a \cdot c + b \cdot c)$

Als Nächstes kannst du die bekannten Werte in die Formel einsetzen.

$M = 2 \cdot (5 m \cdot 7 m + 2 m \cdot 7 m)$

Zum Schluss kannst du das Ergebnis ausrechnen.

$M = 2 \cdot (35 m^{2} + 14 m^{2}) M = 2 \cdot 49 m^{2} M = 98 m^{2}$

Die Mantelfläche des Zylinders ist $98 m^{2}$ groß.

Oberflächeninhalt Quader: Übungsaufgaben

In den nächsten Aufgaben kannst du dein Wissen testen!

Aufgabe 3

1. Berechne den Oberflächeninhalt O eines Kartons mit den Seitenlängen $a = 10 cm, b = 20 cm und c = 5 cm$ . Gib dein Ergebnis in dm² an.

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2. Berechne die Höhe h einer Garage mit den Seiten $a = 7 m, b = 15 m$ und dem Oberflächeninhalt $O = 518 m^{2}$ .

Oberflächeninhalt Quader Garage StudySmarter

3. Berechne die Seitenfläche eines Schrankes mit der Mantelfläche $M = 6 m^{2}$ und dem Flächeninhalt der Vorderseite $A_{V} = 2 m^{2}$ .

Oberflächeninhalt Quader Schrank StudySmarter

Lösung

1. Als Erstes schreibst du dir die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders auf.

$O = 2 \cdot (a \cdot c + a \cdot b + b \cdot c)$

Dann setzt du die oben gegebenen Werte in die Formel ein.

$O = 2 \cdot (10 c m \cdot 5 c m + 10 c m \cdot 20 c m + 20 c m \cdot 5 c m)$

Jetzt kannst du das Ergebnis ausrechnen.

$O = 2 \cdot (50 c m^{2} + 200 c m^{2} + 100 c m^{2}) O = 2 \cdot 350 c m^{2} O = 700 c m^{2}$

Du bist jetzt aber noch nicht fertig, da du das Ergebnis nicht in cm², sondern in dm² angeben sollst. Dafür musst du wissen, wie viel ein Quadratzentimeter in Quadratdezimetern ist. Es gilt:

$1 c m^{2} = 0, 01 d m^{2}$

Jetzt kannst du mit dem Dreisatz dein Ergebnis in Quadratdezimeter umwandeln.

$\begin{array}{rcl} 1 c m^{2} & = & 0, 01 d m^{2} | \cdot 700 \\ 700 c m^{2} & = & 7 d m^{2} \end{array}$

Falls du nicht mehr weißt, wie der Dreisatz funktioniert, lese dir doch unseren Artikel zu dem Thema durch.

Der Quader hat einen Oberflächeninhalt von $7 {dm}^{2}$ .

2. Diese Aufgabe scheint auf den ersten Blick verwirrend, doch es ist immer ein guter Start, die passende Formel aufzuschreiben. Da die Garage die Form eines Quaders hat und sonst, bis auf das fehlende c alle Angaben für die Oberflächenformel vorhanden sind, solltest du die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Quaders aufschreiben.

$O = 2 \cdot (a \cdot c + a \cdot b + b \cdot c)$

Jetzt ist in der Aufgabenstellung nach der Höhe gefragt. Erinnerst du dich an die Benennung der Seiten oben? Die Seite c ist immer die Höhe des Quaders. Es gilt also:

$c = h O = 2 \cdot (a \cdot h + a \cdot b + b \cdot h)$

Du hast an dieser Stelle zwei Möglichkeiten: Entweder du setzt jetzt die Werte ein und stellst dann die Formel nach h um, oder du stellst jetzt erst die Formel nach h um und setzt dann die Werte ein. Meistens ist es einfacher und übersichtlicher, wenn du erst die Formel umstellst und dann einsetzt. In diesem Fall geht es jedoch schneller, wenn wir erst einsetzten.

$518 m^{2} = 2 \cdot (7 m \cdot h + 7 m \cdot 15 m + 15 m \cdot h)$

Jetzt kannst du, soweit es geht, erstmal rechnen und auch schonmal die Klammer auflösen.

$518 m^{2} = 2 \cdot (7 m \cdot h + 105 m^{2} + 15 m \cdot h) 518 m^{2} = 2 \cdot 7 m \cdot h + 2 \cdot 105 m^{2} + 2 \cdot 15 m \cdot h 518 m^{2} = 14 m \cdot h + 210 m^{2} + 30 m \cdot h$

Im nächsten Schritt kannst du die 210 m² auf die andere Seite holen und dann die restlichen Werte rechts zusammenfassen, da sie jeweils aus einer Zahl und der gleichen Variable bestehen.

$518 m^{2} = 14 m \cdot h + 210 m^{2} + 30 m \cdot h | - 210 m^{2} 308 m^{2} = 14 m \cdot h + 30 m \cdot h 308 m^{2} = h \cdot (14 m + 30 m) 308 m^{2} = 44 m \cdot h$

Jetzt hast du es fast geschafft. Als Nächstes kannst du die $44 m$ auf die andere Seite holen und dann musst du nur noch das Ergebnis ausrechnen.

$\begin{array}{rcl} 308 m^{2} & = & 44 m \cdot h | \div 44 m \\ h & = & \frac{308 m^{2}}{44 m} \\ h & = & 7 m \end{array}$

Die Garage ist also $7 m$ hoch.

3. Für diese Aufgabe musst du die Verhältnisse der verschiedenen Seiten im Quader zueinander kennen. Gefragt ist nach dem Flächeninhalt einer Seitenfläche $A_{S}$ .Dadurch, dass die Seitenflächen gleich groß sind, ist indirekt auch die Größe der anderen Seitenfläche gesucht.

Du kennst den Flächeninhalt der Vorderseite $A_{V}$ und dadurch auch den Flächeninhalt der Rückseite $A_{R}$ , da die Vorder- und Rückseite sich gegenüber liegen und alle gegenüberliegenden Seiten gleich groß sind. Es gilt also:

$A_{V} = A_{R} = 2 m^{2}$

Du kennst die Mantelfläche und alle anderen Flächen, die man für die Berechnung der Mantelfläche eines Quader braucht, da sie entweder gegeben oder gesucht sind. Deshalb kannst du diese Formel aufschreiben.

$M = A_{v} + A_{R} + A_{S_{1}} + A_{S_{2}}$

Du kannst diese Formel auch gleich so aufschreiben, dass die Beziehungen der Seiten im Quader zum Vorschein kommen.

$M = 2 \cdot A_{V / R} + 2 \cdot A_{S_{1} / S_{2}}$

Jetzt kannst du die Formel nach $A_{S_{1} / S_{2}}$ umschreiben, da genau diese Seiten gesucht sind.

$M = 2 \cdot A_{V / R} + 2 \cdot A_{S_{1} / S_{2}} | - (2 \cdot A_{V / R}) 2 \cdot A_{S_{1} / S_{2}} = M - (2 \cdot A_{V / R}) | \div 2 A_{S_{1} / S_{2}} = \frac{M - 2 \cdot A_{V / R}}{2}$

Jetzt kannst du die bekannten Werte einsetzen.

$A_{S_{1} / S_{2}} = \frac{6 m^{2} - 2 \cdot 2 m^{2}}{2}$

Zum Schluss kannst du jetzt das Ergebnis ausrechnen. Achte dabei immer darauf, dass Punkt vor Strich gilt.

$A_{S_{1} / S_{2}} = \frac{6 m^{2} - 4 m^{2}}{2} A_{S_{1} / S_{2}} = \frac{2 m^{2}}{2} A_{S_{1} / S_{2}} = 1 m^{2}$

Die Seitenflächen sind jeweils $1 m^{2}$ groß.

Oberflächeninhalt Quader - Das Wichtigste

Der Oberflächeninhalt besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur.
Der Oberflächeninhalt wird mit dem Großbuchstaben O abgekürzt.
Der Oberflächeninhalt wird normalerweise in Quadratmillimetern (mm²), Quadratzentimetern (cm²), Quadratdezimetern (dm²), Quadratmetern (m²) oder Quadratkilometern (km²) angegeben.
Für den Oberflächeninhalt O eines Quaders gilt: $O = 2 \cdot (a \cdot c + a \cdot c + b \cdot c)$
Für die Mantelfläche M eines Quaders gilt: $M = 2 \cdot (a \cdot c + a \cdot b)$
Allgemein gilt: $O = M + S$

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Oberflächeninhalt Quader

Wie berechne ich den Oberflächeninhalt eines Quaders?

Den Oberflächeninhalt O eines Quaders kann mit folgender Formel berechnen:

O = 2 · (a · c + a · b + b · c)

Die Seite a ist dabei die Länge, während Seite b die Breite und Seite c die Höhe ist.

Mit welcher Formel berechne ich den Oberflächeninhalt eines Quaders?

Der Oberflächeninhalt O eines Quaders wird mit folgender Formel berechnet:

O = 2 · (a · c + a · b + b · c)

Die Seite a ist dabei die Länge, während Seite b die Breite und Seite c die Höhe ist.

Kann ein Würfel auch ein Quader sein?

Wie sagt man so schön? Jeder Würfel ist ein Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Würfel.

Also ja, Würfel sind immer Quader. Sie sind ein Spezialfall, bei dem alle Seiten die gleiche Länge haben.

Ihr Oberflächeninhalt O kann mit folgender Formel berechnet werden:

O = 6 · a²

a steht dabei für eine beliebige Seite des Würfels, da ja alle gleich lang sind.

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$O = 2 \cdot A_{V / R} + 2 \cdot A_{G / D} + 2 \cdot A_{S_{1} / S_{2}} O = 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot b \cdot c$