Oberflächeninhalt Zylinder

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Zylinders mit dem Radius $r=2cm$ und der Höhe $h=4cm$.

Abbildung 7: Zylinder mit h = 4 cm und r = 2 cm

Lösung

Als Erstes kannst Du Dir die Formel von oben aufschreiben:$O=2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{h}+2·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2$

$$O=2\pi r^2+2\pi \cdot r\cdot h$$

Im nächsten Schritt kannst Du die bekannten Werte aus der Aufgabenstellung einfach in die Formel einsetzen:$$O=2\pi \cdot (2cm{)}^2+2\pi \cdot 4cm$$

Zum Schluss muss nur noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausgerechnet werden:

$$\begin{array}{rl}O& =2\pi \cdot 8c{m}^2+2\pi \cdot 4c{m}^2\\ & =\pi \cdot 16c{m}^2+\pi \cdot 8c{m}^2\\ & \approx 75,4c{m}^2\end{array}$$

Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt also ungefähr $75c{m}^2$.

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Zylinders ohne Deckfläche mit dem Radius $r=5cm$ und der Höhe $h=8cm$.

Abbildung 8: Zylinder mit Radius r = 5 cm und Höhe h = 8 cm

Lösung

Als Erstes kannst Du Dir die passende Formel aufschreiben. In diesem Fall wählst Du die Formel, die nur einmal den Kreisflächeninhalt einbezieht:

$$O=2\cdot \pi \cdot r\cdot h+\pi \cdot r^2$$

Als Nächstes setzt Du die gegebenen Werte in die Formel ein:

$$O=2\cdot \pi \cdot 5cm\cdot 8cm+\pi \cdot {\left(5cm\right)}^2$$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$$O=\pi \cdot 80c{m}^2+\pi \cdot 25c{m}^2\approx 329,9c{m}^2$$

Der Oberflächeninhalt des Zylinders ohne Deckfläche beträgt ungefähr $330c{m}^2$.

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Hohlzylinders mit dem Außenradius $r_g=6cm$, dem Innenradius $r_k=3cm$ und der Höhe $h=5cm$.

Abbildung 10: Hohlzylinder mit r_g = 6 cm, r_K = 3 cm und h = 5 cm

Lösung

Als Erstes kannst Du wieder die passende Formel aufschreiben:$$O=2\pi \cdot h\cdot r_g+2\pi \cdot h\cdot r_k+2\pi \cdot r_g^2-2\pi \cdot r_k^2$$

Im nächsten Schritt kannst Du die bekannten Werte einsetzen. Achte dabei darauf auf, dass Du den großen Zylinder nicht mit dem kleinen Zylinder vertauschst.

$$O=2\pi \cdot 5cm\cdot 6cm+2\pi \cdot 5cm\cdot 3cm+2\pi \cdot (6cm{)}^2-2\pi \cdot (3cm{)}^2$$

Zum Schluss kannst Du jetzt noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$$O\approx 565,5c{m}^2$$

Der Oberflächeninhalt des Hohlzylinders beträgt ungefähr $566c{m}^2$.

Aufgabe

1. Berechne den Oberflächeninhalt O eines Farbeimers mit dem Radius $r=4cm$ und der Höhe $h=9cm$. Gib Dein Ergebnis in $d{m}^2$ an.

Abbildung 11: Zylinder mit r = 4 cm und h = 9 cm

2. Berechne die Höhe h eines Zylinders mit dem Radius $r=2cm$ und dem Oberflächeninhalt $O=20c{m}^2$.

Abbildung 12: Zylinder mit r = 2 cm und O = 20 cm²

3. Berechne den Oberflächeninhalt O eines Rings mit dem Außendurchmesser $d_g=10cm$, dem Innendurchmesser $d_k=6cm$ und der Höhe $h=10cm$.

Lösung

1. Als Erstes kannst Du die passende Formel aufschreiben. In diesem Fall ist das die „normale“ Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders:$$O=2\pi \cdot r^2+2\pi \cdot r\cdot h$$ danach kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzen:

$$O=2\pi \cdot (4cm{)}^2+2\pi \cdot 4cm\cdot 9cm$$ Jetzt kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:$$O\approx 326,7c{m}^2$$

Als Nächstes musst Du das Ergebnis von $c{m}^2$ in $d{m}^2$ umwandeln. Dabei gilt:$$1c{m}^2=0,01d{m}^2$$

Mit dem Dreisatz kannst Du jetzt ganz einfach den Oberflächeninhalt in $d{m}^2$ umwandeln.

$$\begin{array}{rl}1c{m}^2& =0,01d{m}^2\\ 326,7c{m}^2& =\mathrm{3,267}d{m}^2\end{array}$$

Der Zylinder hat einen Oberflächeninhalt von ungefähr $3,3d{m}^2$.

2. Um die Höhe eines Zylinders aus dem Oberflächeninhalt zu berechnen, musst Du als Erstes wieder die „normale“ Formel aufschreiben.$$O=2\pi \cdot r\cdot h+2\pi \cdot \pi \cdot r^2$$

Als Nächstes kannst Du dann die Formel nach h umstellen:$$\begin{array}{rlrl}O& =2\pi \cdot r\cdot h+2\pi \cdot r^2& & |-2\pi r^2\\ \\ O-2\pi r^2& =2\pi r\cdot h& & |:2\pi r\\ \\ \frac{O-2\pi r^2}{2\pi r}& =h\end{array}$$

Setzt Du die bekannten Werte in die neue Formel für h ein, dann erhälst Du: $$h=\frac{20c{m}^2-2\pi \cdot 2cm}{2\pi \cdot 2cm}$$Jetzt kannst Du die Formel in Deinen Taschenrechner eingeben und ausrechnen:$$h\approx 0,59$$

Der Zylinder ist ungefähr $0,6cm$ hoch.

3. Der Ring in dieser Aufgabe ist ein Hohlzylinder und muss deshalb auch wie ein solcher berechnet werden. Aufgrund dessen kannst Du Dir schon einmal die passende Formel aufschreiben:$$O=2\pi \cdot h\cdot r_g+2\pi \cdot h\cdot r_k+2\pi \cdot r_g^2-2\pi \cdot r_k^2$$

Jetzt ist jedoch nur der Durchmesser gegeben und nicht der Radius. Deshalb solltest Du den Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser kennen:$$r=\frac{d}{2}$$

Du kannst jetzt also diese Formel für r in die Formel für den Oberflächeninhalt einsetzen:$$O=2\pi \cdot h\cdot \frac{d_g}{2}+2\pi \cdot h\cdot \frac{d_k}{2}+2\pi \cdot h\cdot {\left(\frac{d_g}{2}\right)}^2-2\pi \cdot h\cdot {\left(\frac{d_k}{2}\right)}^2$$

In diese Formel kannst Du die bekannten Werte einsetzen und das Ergebnis ausrechnen:$$O=551,3c{m}^2$$

Der Oberflächeninhalt des Rings beträgt ungefähr $550c{m}^2$.