Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis

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Doch was bedeutet das? Im Folgenden wird Orthogonalität definiert und anhand von Beispielaufgaben verdeutlicht. Am Ende kannst du selbst noch einige Aufgaben dazu lösen.

Orthogonalität – Definition

Orthogonal bedeutet so viel wie senkrecht. Orthogonale Vektoren sind Vektoren, die in ihrem Schnittpunkt senkrecht aufeinander stehen. Auch Geraden oder Ebenen können orthogonal sein. Sie schließen zusammen einen Winkel von 90° ein, sind also rechtwinklig. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, dann ist ihr Skalarprodukt immer 0.

$\vec{a} \circ \vec{b} = 0$

Betrachte noch einmal die Stifte aus der Einleitung. Diese verhalten sich im Grunde wie zwei Vektoren $\vec{a} u n d \vec{b}$ zueinander.

Wenn du sie in ein Koordinatensystem legst und sie orthogonal zueinander liegen sollen, dann gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Die Einfachste wäre, die Stifte auf die x-Achse und die y-Achse zu legen, denn diese schließen bereits einen rechten Winkel ein.

Orthogonale Vektoren orthogonale Vektoren StudySmarter Abbildung 1: Orthogonale Vektoren

Woher stammt der Begriff "orthogonal"?

Das Wort kommt vom griechischen orthogenios, was richtig angewinkelt bedeutet. Das ergibt Sinn, denn die beiden Vektoren schließen, wenn sie orthogonal sind, in ihrem Schnittpunkt einen rechten Winkel ein. Sozusagen einen richtigen Winkel.

$Orthogonale Vektoren rechter Winkel StudySmarter$

Orthogonale Vektoren

Wie die Orthogonalität hergeleitet und auf welche verschiedene Arten sie in der Praxis umgesetzt werden kann, wird nachfolgend erklärt.

Herleitung orthogonaler Vektoren

Woher weißt du, dass Vektoren immer orthogonal sind, wenn das Skalarprodukt null ist? Schaue dir dazu die Herleitung dieser Formel an.

Für das Skalarprodukt zweier Vektoren gilt:

$\vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (φ)$

Wenn du nicht mehr weißt, wie diese Formel zustande kommt, lese dir doch unseren Artikel zum Thema Skalarprodukt durch.

Wenn zwei Vektoren orthogonal zueinander stehen, dann sind sie senkrecht und schließen somit einen Winkel von 90° ein. Diesen 90° Winkel kannst du für φ (phi) einsetzten.

$\vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (90 °)$

Wenn du es nicht auswendig weißt, dann kannst du den Kosinus von 90° in deinen Taschenrechner eingeben. Du wirst sehen, dass die Lösung dazu null ist. Wenn du das in die Formel einsetzt, dann ist auch, unabhängig von den Werten der Vektoren $\vec{a} und \vec{b}$ , der rechte Faktor der Formel null.

$\vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (90 °) \vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 0 \vec{a} \circ \vec{b} = 0$

Damit bist du wieder bei der Anfangsbehauptung: Wenn zwei Vektoren orthogonal zueinander sind, ist deren Skalarprodukt immer 0.

Berechnung orthogonaler Vektoren

Im folgenden Beispiel lernst du, wie du überprüfen kannst, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander liegen.

Aufgabe 1

Überprüfe, ob die Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 9 \\ - 1 \end{matrix})$ orthogonal zueinander sind.

Lösung

Als Erstes musst du dir überlegen, wie die Orthogonalität zweier Vektoren bewiesen werden kann. Dafür kannst du dir die Formel von oben aufschreiben:

$\vec{a} \circ \vec{b} = 0$

Im nächsten Schritt setzt du die gegebenen Vektoren in die Gleichung für die Orthogonalität ein.

$(\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 9 \\ - 1 \end{matrix}) = 0$

Für den nächsten Teil musst du wissen, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet wird.

$- 4 \cdot 2 + 1 \cdot 9 + 1 \cdot (- 1) = 0$

Zur Wiederholung: Das Skalarprodukt wird berechnet, indem die Komponenten reihenweise addiert werden:

$\vec{a} \circ \vec{b} = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}$

Zum Schluss musst du nur noch das Ergebnis berechnen.

$\begin{array}{rcl} - 4 \cdot 2 + 1 \cdot 9 + 1 \cdot (- 1) & = & 0 \\ - 8 + 9 - 1 & = & 0 \\ 1 - 1 & = & 0 \\ 0 & = & 0 ✓ \end{array}$

In diesem Fall stimmt das Ergebnis, weshalb die Vektoren $\vec{a} u n d \vec{b}$ orthogonal zueinander sind.

Orthogonale Vektoren orthogonale Vektoren a und b StudySmarter Abbildung 2: orthogonale Vektoren a und b

Orthogonale Vektoren bestimmen

Was machst du, wenn du einen Vektor gegeben hast und einen dazu orthogonalen Vektor finden sollst? Im folgenden Abschnitt lernst du genau das.

Aufgabe 2

Gebe einen Vektor $\vec{b}$ an, der orthogonal zum Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$ ist.

Lösung

Als Erstes kannst du dir die Formel für die Orthogonalität zweier Vektoren aufschreiben.

$\vec{a} \circ \vec{b} = 0$

Als Nächstes musst du den Vektor $\vec{a}$ in die Formel einsetzen.

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) \circ \vec{b} = 0$

Danach kannst du diese Formel auflösen und setzt dabei für den Vektor $\vec{b}$ einfach Variablen ein.

$7 \cdot b_{1} + 4 \cdot b_{2} + 6 \cdot b_{3} = 0$

Für zwei der Variablen des Vektors $\vec{b}$ kannst du dir beliebige Werte aussuchen, den anderen Wert kannst du dann passend dazu berechnen. In diesem Fall nimmst du $b_{1} = 2$ und $b_{2} = 1$ .

$7 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 6 \cdot b_{3} = 0$

Du kannst hier alles nehmen, außer den Vektor $\vec{b} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , da dieser ja keine Länge hat und daher keinen 90° Winkel mit dem Vektor $\vec{a}$ einschließen kann.

Jetzt kannst du weiter auflösen und alle Zahlen auf eine Seite schreiben.

$\begin{array}{rcl} 7 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 6 \cdot b_{3} & = & 0 \\ 14 + 4 + 6 \cdot b_{3} & = & 0 \\ 18 + 6 \cdot b_{3} & = & 0 - 18 \\ 6 \cdot b_{3} & = & - 18 \end{array}$

Danach musst du weiter nach $b_{3}$ auflösen.

$6 \cdot b_{3} = - 18 : 6 b_{3} = - \frac{18}{6} b_{3} = - 3$

Jetzt hast du alle Werte für den Vektor $\vec{b}$ und kannst diesen aufschreiben.

$\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix})$

Der Vektor $\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix})$ liegt orthogonal zum Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$ .

Orthogonale Vektoren orthogonale Vektoren a und b bestimmen StudySmarter Abbildung 3: orthogonale Vektoren

Hier gibt es unendlich viele Lösungsmöglichkeiten, da du dir zwei der drei Komponenten aussuchen kannst. Dies ist nur eine mögliche Lösung.

Vergleich orthogonaler Vektoren und nicht orthogonaler Vektoren

Doch wie sehen zwei Vektoren aus, wenn sie nicht orthogonal zueinander sind? Wie sieht dann eine entsprechende Zeichnung davon aus? Und wie erkennt man das in der Rechnung?

Graphischer Unterschied

Im Drei-Dimensionalen ist es oft schwer einschätzbar, ob zwei Vektoren orthogonal sind oder nicht. Deswegen berechnest du die Orthogonalität dieser Vektoren. Dagegen kann man im Zwei-Dimensionalen oft auf den ersten Blick oder durch Messen erkennen, ob zwei Vektoren orthogonal sind oder nicht.

Nehme wieder die Stifte aus der Einleitung. Im ersten Beispiel lagen die Stifte orthogonal zueinander, weil sie genau auf der x- und der y-Achse lagen und diese immer einen 90° Winkel einschließen. Liegen die Stifte aber wie in folgender Abbildung, dann sind sie nicht orthogonal, da sie keinen 90° Winkel mehr einschließen.

Orthogonale Vektoren orthogonale Vektoren StudySmarter Abbildung 4: Nicht-orthogonale Vektoren

Du kannst also immer mit deinem Dreieck messen, ob die gegebenen Vektoren einen 90° Winkel einschließen. Ist das der Fall, dann sind die Vektoren orthogonal. Ist der Winkel kleiner oder größer als 90°, so sind die Vektoren nicht mehr orthogonal.

Es gibt eine Position der Vektoren, in der sie sich gar nicht mehr schneiden. In diesem Fall sind die beiden Vektoren dann parallel zueinander (||).

Unterschied bei der Berechnung

Durch eine Berechnung ist es leicht zu überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander sind. Wie du oben bereits errechnet hast, sind Vektoren dann orthogonal, wenn deren Skalarprodukt 0 ergibt.

Ergibt das Skalarprodukt einen anderen Wert als 0, so sind die Vektoren auch nicht orthogonal.

Wenn zwei Vektoren parallel sind, dann sind sie voneinander Vielfache.

Im Folgenden kannst du das an einem Beispiel prüfen.

Aufgabe 3

Sind die Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})$ orthogonal?

Lösung

Als Erstes setzt du wieder die Werte in die Formel ein.

$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) = 0$

Anschließend kannst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren bilden und die Gleichung weiter auflösen.

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot (- 2) + 2 \cdot 1 + 6 \cdot 5 & = & 0 \\ - 8 + 2 + 30 & = & 0 \\ 24 & = & 0 \times \end{array}$

Wie du siehst, stimmt das Ergebnis nicht, denn 24 und 0 sind ungleich. Daher kann auch gesagt werden, dass die beiden Vektoren $\vec{a} u n d \vec{b}$ nicht orthogonal sind.

Orthogonale Geraden und Ebenen

In Aufgaben rund um die Orthogonalität geht es meistens nicht direkt um Vektoren, sondern um Geraden oder Ebenen. Denn auch diese können orthogonal zueinander liegen.

Für Geraden kannst du dir merken:

Zwei Geraden g und h sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ist. Das bedeutet:

$\vec{u_{g}} \circ \vec{u_{h}} = 0$

Für Ebenen kannst du dir merken:

Zwei Ebenen E und F sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren 0 ist. Das bedeutet:

$\vec{n_{E}} \circ \vec{n_{F}} = 0$

Für eine Gerade und eine Ebene kannst du dir merken:

Eine Ebene E und eine Gerade g sind orthogonal, wenn der Normalenvektor ein Vielfaches des Richtungsvektors der Gerade ist. Das bedeutet:

$p \cdot \vec{n_{E}} = \vec{u_{g}}$

Wenn du diese Zusammenhänge kennst, dann kannst du ganz einfach prüfen, ob zwei Geraden oder Ebenen orthogonal zueinander liegen. Zudem kannst du dann Ebenen oder Geraden aufstellen, die orthogonal zu einer gegebenen Ebene/Gerade sind.

Wenn du noch eine genauere Erklärung und Beispielaufgaben zu diesem Thema benötigst, dann lies gerne unseren Artikel "Lagebeziehung von Geraden und Ebenen" durch.

Orthogonale Vektoren – Aufgaben

In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen testen!

Aufgabe 4

"Die Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) u n d \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ - 8 \\ 4 \end{matrix})$ sind orthogonal." Nehme zu dieser Aussage Stellung.

Lösung

Um diese Aussage zu prüfen, musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

$\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 8 \\ 4 \end{matrix}) & = & 0 \\ 7 \cdot 2 + 2 \cdot (- 8) + (- 1) \cdot 4 & = & 0 \\ 14 - 16 - 4 & = & 0 \\ - 6 & = & 0 \times \end{array}$

Deine Antwort könnte wie folgt lauten:

Diese Aussage wäre nur richtig, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ergeben würde. Da das Skalarprodukt aber -6 ergibt, sind die beiden Vektoren nicht orthogonal und die Aussage somit falsch.

Aufgabe 5

Stelle einen Vektor auf, der orthogonal auf $\vec{a} = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})$ steht.

Lösung

Als Erstes setzt du den bekannten Vektor in die Formel ein.

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = 0$

Im Anschluss kannst du dir zwei der drei Variablen des fehlenden Vektors aussuchen. In diesem Beispiel nehmen wir $b_{1} = 2 u n d b_{2} = - 1$ .

Die Werte setzt du in die Formel ein und löst diese so weit wie möglich.

$\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ b_{3} \end{matrix}) & = & 0 \\ 5 \cdot 2 + 3 \cdot (- 1) + 2 \cdot b_{3} & = & 0 \\ 10 - 3 + 2 b_{3} & = & 0 \\ 7 + 2 b_{3} & = & 0 - 7 \\ 2 b_{3} & = & - 7 : 2 \\ b_{3} & = & - \frac{7}{2} = - 3, 5 \end{array}$

Der Vektor $\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 3, 5 \end{matrix})$ steht orthogonal zum Vektor

$\vec{a}$

Aufgabe 6

Liegen die Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 7 \end{matrix}) u n d \vec{b} = (\begin{matrix} 7 \\ 17 \\ 2 \end{matrix})$ orthogonal zueinander?

Lösung

Hier musst du die Vektoren in die Formel einsetzen und diese dann so weit wie möglich auflösen.

$\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 7 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 7 \\ 17 \\ 2 \end{matrix}) & = & 0 \\ - 2 \cdot 7 + 0 \cdot 17 + 7 \cdot 2 & = & 0 \\ - 14 + 0 + 14 & = & 0 \\ 0 & = & 0 ✓ \end{array}$

Die beiden Vektoren sind orthogonal, da ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

Orthogonale Vektoren - Das Wichtigste

Orthogonal ist ein Synonym für senkrecht.
Orthogonale Vektoren schließen zusammen einen Winkel von 90° ein.
Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist: $\vec{a} \circ \vec{b} = 0$
Das Skalarprodukt von nicht-orthogonalen Vektoren ist $ℝ \ 0$
Um einen orthogonalen Vektor aufzustellen,
- können zwei der drei Variablen frei gewählt werden.
- muss die dritte Variable mit der Formel, durch Auflösen und Umstellen, berechnet werden.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Orthogonale Vektoren

Wann ist das Skalarprodukt 0?

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist 0, wenn die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander sind.

Wie prüft man Orthogonalität?

Wenn zwei Vektoren parallel sind, dann ist deren Skalarprodukt 0.

Bei Geraden sind es die Richtungsvektoren und bei Ebenen die Normalenvektoren.

Wann sind Vektoren rechtwinklig?

Vektoren sind rechtwinklig, wenn deren Skalarprodukt 0 ist.

Wie findet man einen orthogonalen Vektor?

Man findet einen orthogonalen Vektor, indem man den bekannten Vektor in die Behauptung (das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist 0) einsetzt. Dann kannst du zwei der drei Variablen frei wählen und die Gleichung nach der verbleibenden Variablen auflösen. So hast du einen Vektor, der senkrecht zu deinem gegebenen Vektor ist.

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