Parallele Geraden: Erklärung & Berechnung

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Definition parallele Geraden

Im Folgenden schauen wir uns an, was parallele Geraden überhaupt sind.

Parallele Geraden sind zwei Geraden, die in jedem Punkt den gleichen Abstand haben, was bedeutet, dass sie sich nicht schneiden.

In der Mathematik wird das Zeichen || verwendet, um die Parallelität von zwei Geraden zu beschreiben.

Schauen wir uns diese Definition mal in einer Abbildung an:

Parallele Geraden zwei parallele Geraden mit Abstand a Definition StudySmarter Abbildung 1: Zwei parallele Geraden mit dem Abstand a

Zur Erinnerung: senkrechte Geraden sind nicht das Gleiche wie parallele Geraden. Sie stehen in einem 90° Winkel aufeinander. Senkrechte Geraden werden so abgekürzt: ⊥. Wenn du mehr zum Thema senkrechte Gerade erfahren willst, lese dir doch unseren Artikel dazu durch.

Parallele Geraden im Alltag

Jetzt fragst du dich vielleicht, wozu das alles? Wofür benötige ich das? Parallele Geraden begegnen dir im Alltag öfter, als du denkst: z. B. die Seiten deines Bettes, die Türrahmen, die Schienen für Züge, sodass der Zug, der ebenfalls parallele Räder hat, darauf geradeaus fahren kann.

Doch parallele Geraden begegnen uns nicht nur in unserer Umwelt: Sie begegnen uns auch in vielen Berufen und Berufsfeldern. Schreiner, Dachdecker, Bauarbeiter, Architekten und noch viele andere benötigen parallele Geraden jeden Tag.

Parallele Geraden im Alltag Jobbeispiel StudySmarter

Soweit bist du ja aber noch gar nicht. Jedoch wirst du parallele Geraden auch in der Schule noch öfter behandeln. Ein Beispiel dafür sind geometrische Figuren, wie zum Beispiel ein Rechteck. Dort liegen die Seiten auch alle parallel zueinander.

Parallele Geraden im Alltag Mathebeispiel StudySmarter

Parallele Geraden berechnen

Parallele Geraden an sich können nicht berechnet werden. In ein paar Jahren wirst du lernen, wie du auf eine parallele Gerade kommst, wenn du den Abstand gegeben hast. Für jetzt kannst du aber berechnen, ob Geraden parallel sind.

Parallele Geraden erkennen

Was parallele Geraden sind, haben wir schon oben geklärt. In dieser Definition verbirgt sich auch schon eine Variante, wie man parallele Geraden erkennen kann: durch deren Abstand. Wir hatten gesagt, dass der Abstand zweier paralleler Geraden an allen Stellen genau gleich sein muss. Durch Messen des Abstandes in ein paar Punkten, kannst du also prüfen, ob diese parallel sind.

Jetzt kann man die Definition zweier paralleler Geraden auch konkreter ausdrücken und erhält dadurch, eine Variante parallele Geraden zu erkennen.

Stell dir vor, du hast eine Gerade mit der Gleichung $g (x) = m_{1} \cdot x + t_{1}$ und eine Gerade mit der Gleichung $f (x) = m_{2} \cdot x + t_{2}$ . Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, dann ist deren Steigung gleich, aber deren y-Achsenabschnittspunkt unterschiedlich.

Für parallele Geraden gilt also:

$\begin{array}{rcl} m_{1} & = & m_{2} \\ t_{1} & \neq & t_{2} \end{array}$

Zur Erinnerung: lineare Geraden haben die Form $y = m \cdot x + t$ , wobei m die Steigung und t der y-Achsenabschnittspunkt ist.

Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an:

Aufgabe 1

Welchen Wert muss c annehmen, sodass die Geraden $g (x) = 3 x + 4 und f (x) = c x + 2$ parallel zueinander sind?

Lösung

Hier kannst du dir jetzt die Steigungen und die y-Achsenabschnittspunkte anschauen: $m_{1} = 3, m_{2} = c, t_{1} = 4 und t_{2} = 2$ . Du kannst die Werte also in die Regel von oben einsetzen:

$\begin{array}{rcl} m_{1} & = & m_{2} \\ 3 & = & c \end{array}$ und $\begin{array}{rcl} t_{1} & \neq & t_{2} \\ 4 & \neq & 2 \end{array}$

Wenn c den Wert 3 annimmt, dann sind die Geraden g und f parallel zueinander.

Parallele Geraden Aufgabe StudySmarter Abbildung 2: parallele Geraden f und g

Sonderfall: identische Geraden erkennen

Identische Geraden sind ein Sonderfall von parallelen Geraden. Im Prinzip sind identische Geraden parallele Geraden, die genau aufeinanderliegen. Dementsprechend gelten ähnliche Regeln für identische Geraden. Die Steigungen sind auch wieder gleich, nur muss dieses Mal auch der y-Achsenabschnittspunkt gleich sein:

Für identische Geraden gilt:

$m_{1} = m_{2} t_{1} = t_{2}$

Beispiele und mehr Informationen zu identischen Geraden findest du in unserem Artikel identische Geraden.

Parallele Geraden zeichnen

Um zwei zueinander parallel liegende Geraden zu zeichnen, hast du grundsätzlich drei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit funktioniert nur bei kurzen Strecken, geht aber ein wenig schneller, während die zweite etwas länger benötigt, für alle Strecken funktioniert, egal wie groß der Abstand ist. Die dritte Möglichkeit kannst du nur anwenden, wenn du eine konkrete Gerade und einen Punkt P, der auf der zu zeichnenden Gerade liegt, gegeben hast.

Übrigens: Im Kapitel "Konstruktionen" findest du auch den Artikel "Parallele konstruieren", der sich nur mit der Konstruktion von parallelen Strecken und Geraden beschäftigt!

Parallele Geraden zeichnen: 1. Möglichkeit

Bei dieser Möglichkeit arbeitest du mit der Innenskala des Geodreiecks, was bedeutet, dass der Abstand der beiden Geraden maximal 4 cm betragen darf, da an dieser Stelle die Innenskala endet.

Aufgabe 2

Gegeben ist eine Gerade g. Du sollst eine parallele Gerade f im Abstand von 2 cm daneben zeichnen.

Parallele Geraden, parallele Geraden zeichnen, StudySmarter Abbildung 3: Gerade g

Lösung

Als Erstes kannst du dein Geodreieck so anlegen, dass die Kante auf der Geraden g liegt.

Als Nächstes kannst du das Lineal so lange verschieben, bis du die 2 cm auf der Innenskala erreicht hast. Als Letztes ziehst du jetzt eine Linie an der Kante des Dreiecks. Das ist deine Gerade f.

Tipp: Wenn du dir dieses Verfahren mal genauer anschauen willst, dann lies dir doch unseren Artikel zum Thema Konstruktion paralleler Geraden durch.

Parallele Geraden zeichnen: 2. Möglichkeit

Bei dieser Möglichkeit arbeitest du mit einem Lot, um so den Abstand der beiden Geraden festzulegen. Diese Methode funktioniert so lange, wie dein Geodreieck lang ist. Jedoch kannst du das Lot auch noch verlängern, auch wenn es dann zu Ungenauigkeiten kommen kann.

Aufgabe 3

Gegeben ist die Gerade g. Du sollst eine parallele Gerade f im Abstand von 6 cm zeichnen.

Parallele Geraden, parallele Geraden zeichnen, StudySmarter Abbildung 4: Gerade g

Lösung

Als Erstes legst du das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade g.

Danach ziehst du eine Linie in der Länge des Abstandes, also 6 cm.

Jetzt kannst du den gleichen Schritt noch einmal an einer anderen Stelle wiederholen. So stellst du sicher, dass die Gerade f wirklich parallel zur Geraden g liegt.

Zum Schluss kannst du einfach die Enden der beiden Linien verbinden und sie beliebig verlängern.

Diese Linie ist die Gerade f, welche parallel zur Geraden g liegt.

Tipp: Auch hier gilt, wenn du dir dieses Verfahren mal genauer anschauen willst, dann lese dir doch unseren Artikel zum Thema Konstruktion paralleler Geraden durch.

Parallele Geraden zeichnen: 3. Möglichkeit

Die dritte Möglichkeit ist etwas anders. Mit ihr kannst du die Position einer parallelen Gerade berechnen, aber nicht ihren Abstand. Diese Möglichkeit beruht auf der Beziehung der Steigungen und kann deshalb nur angewendet werden, wenn du entweder eine Gleichung angegeben hast oder die Gerade in einem Koordinatensystem gezeichnet ist. In jedem Fall brauchen wir auch noch einen Punkt P, der auf der zu zeichnenden Gerade liegt.

Als Kurzfassung solltest du folgende Schritte befolgen:

Geradengleichung aufstellen (falls nicht vorhanden)
Prüfen, ob die Steigung gleich ist
Prüfen, ob der y-Achsenabschnittspunkt unterschiedlich ist
Geraden zeichnen (wenn danach gefragt ist)
Ergebnis prüfen, indem du den Abstand zwischen 2 bis 3 Punkten misst

Jetzt wollen wir uns das aber noch ein wenig genauer anhand von einem Beispiel anschauen:

Aufgabe 4

Gegeben ist eine Gerade g und der Punkt $P (1 | 3)$ , welcher auf der Geraden f liegt. Die Gerade f ist parallel zur Geraden g. Du sollst diese Gerade f zeichnen.

Parallele Geraden, parallele Gerade durch Punkt konstruieren, StudySmarter Abbildung 5: Aufgabe Gerade g

Lösung

Erklärung	Ausführung
Als Erstes müssen wir in diesem Fall die Geradengleichung der Geraden g aufstellen. Manchmal ist diese direkt in der Aufgabe gegeben, dann können wir uns diesen Schritt sparen.Die Geradengleichung einer linearen Funktion hat immer die Form $g (x) = m x + t$ . $m$ ist dabei die Steigung und $t$ der y-Achsenabschnitt.Die Steigung können wir mithilfe eines Steigungsdreiecks herausfinden.Den y-Achsenabschnitt können wir einfach direkt ablesen (Punkt, der die y-Achse schneidet).	Abbildung 6: Gerade g mit Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt $\begin{array}{rcl} m_{1} & = & 2 \\ t_{1} & = & - 4 \\ g (x) & = & 2 x - 4 \end{array}$
Im nächsten Schritt kannst du jetzt die Steigung und den y-Achsenabschnittspunkt der Geraden f ausrechnen. Dazu kannst du die Regel nehmen, die wir oben schon einmal benutzt haben:Die Steigung der beiden Geraden muss gleich sein.Die y-Achsenabschnittspunkte sollen unterschiedlich sein. Hier kommt jetzt der Punkt $P$ ins Spiel. Diesen Punkt $P$ musst du in deine "halb fertige" Geradengleichung einsetzten, um so $t$ auszurechnen. Das bedeutet, dass $y = 3 und x = 1$ gilt.Wenn du willst, kannst du jetzt noch die fertige Geradengleichung von f aufstellen, musst du aber nicht.	Steigung: $\begin{array}{rcl} m_{1} & = & m_{2} \\ 2 & = & m_{2} \end{array}$ "halb fertige" Geradengleichung: $f (x) = 2 x + t$ y-Achsenabschnittspunkt: $\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 \cdot 1 + t_{2} \\ 3 & = & 2 + t_{2} \| - 2 \\ 1 & = & t_{2} \\ t_{1} & \neq & t_{2} \\ - 4 & \neq & 1 \end{array}$ Geradengleichung: $f (x) = 2 x + 1$
Als Nächstes kannst du die Gerade f mit den gerade berechneten Werten zeichnen.	Abbildung 7: Geraden g und f
Als Letztes kannst du jetzt dein Ergebnis erneut überprüfen, indem du an 2 bis 3 Stellen den Abstand zwischen den Geraden misst. Der Abstand a muss dann immer gleich sein.In diesem Fall ist $a = 2, 24 c m$ .	Abbildung 8: Geraden g und f

Parallele Geraden – Aufgaben

Zum Abschluss kannst du dein Wissen in den folgenden Aufgaben testen!

Aufgabe 5

a) Zeichne eine Gerade f, welche durch den Punkt

P (1 | 0)

geht und parallel zur Geraden g ist. Prüfe dein Ergebnis!

Parallele Geraden, Aufgaben, StudySmarter Abbildung 9: Übungsaufgabe 5a)

b) Sind die Geraden h und k parallel?

Parallele Geraden, Aufgaben, StudySmarter Abbildung 10: Übungsaufgabe 5b)

c) Welchen Wert muss c annehmen, sodass die Geraden $e (x) = 5 x - 3 und j (x) = c x + 1$ parallel zueinander liegen?

Lösung

1. Da wir keinen bestimmten Abstand gegeben haben, müssen wir in diesem Fall die dritte Möglichkeit anwenden. Als Erstes stellen wir eine Geradengleichung für g auf. Dafür müssen wir die Steigung und den y-Achsenabschnittspunkt aus der Zeichnung ablesen.

Parallele Geraden, Aufgaben, StudySmarter Abbildung 11: Übungsaufgabe 5a)

$\begin{array}{rcl} m_{1} & = & \frac{1 - (- 2)}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3 \\ t_{1} & = & - 2 \\ g (x) & = & 3 x - 2 \end{array}$

Zur Erinnerung: Steigungsdreiecke helfen dir bei der Bestimmung der Steigung einer Geraden.

Als Nächstes überlegen wir uns die Steigung und den y-Achsenabschnittspunkt der Geraden f. Die Steigung muss die Gleiche sein, wie die von g. Dann setzten wir die Steigung in die Formel $y = m x + t$ ein.

$m_{1} = m_{2} 3 = m_{2} f (x) = 3 x + t_{2}$

Den y-Achsenabschnittspunkt erhalten wir durch einsetzten des Punktes P in die "halb fertige" Gleichung. Das bedeutet, es gilt: ⁣ $y = 0 und x = 3$ .

$0 = 3 \cdot 1 + t_{2} 0 = 3 + t_{2} | - 3 - 3 = t_{2} f (x) = 3 x - 3$

Jetzt kannst du die Gerade f mit den gerade berechneten Werten in das Koordinatensystem zeichnen.

Parallele Geraden Aufgaben StudySmarter Abbildung 12: Übungsaufgabe 5a)

Als Letztes kannst du jetzt noch dein Ergebnis prüfen, indem du den Abstand zwischen den beiden Geraden an 2 bis 3 Stellen misst. Ist dieser gleich, stimmt dein Ergebnis mit großer Wahrscheinlichkeit. Der Abstand beträgt in diesem Fall 0,32 cm.

Parallele Geraden, Aufgaben, StudySmarter Abbildung 13: Übungsaufgabe 5a)

2. Hier hast du zwei Möglichkeiten. Entweder du misst den Abstand der Geraden an 2 bis 3 Stellen oder du vergleichst ihre Steigungen. Wenn du die erste Möglichkeit gewählt hast, dann sollte der Abstand zwischen den Geraden 1,41 cm betragen. Dafür legst du das Geodreieck mit der Mittellinie auf eine der Geraden und liest den Abstand an der Skala ab.

Parallele Geraden, Aufgaben, StudySmarter Abbildung 14: Übungsaufgabe 5b)

Wenn du die zweite Möglichkeit gewählt hast, dann musst du zuerst die Steigungen ausrechnen und anschließend prüfen, ob diese gleich sind.

Parallele Geraden, Aufgaben, StudySmarter Abbildung 15: Übungsaufgabe 5b)

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \\ m_{1} & = & \frac{1 - 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1 \\ m_{2} & = & \frac{1 - 0}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1 \\ m_{1} & = & m_{2} \\ 1 & = & 1 \end{array}$

3. Da bei parallelen Geraden die Steigungen gleich groß sein müssen, ist c gleich die Steigung von $e (x)$ .

$\begin{array}{rcl} m_{1} & = & m_{2} \\ 5 & = & c \\ j (x) & = & 5 x + 1 \end{array}$

Um sicherzugehen, dass die Geraden auch wirklich parallel und nicht identisch sind, können wir jetzt noch die y-Achsenabschnittspunkte vergleichen.

$\begin{array}{rcl} t_{1} & \neq & t_{2} \\ - 3 & \neq & 1 \end{array}$

Parallele Geraden, Aufgaben ,StudySmarter Abbildung 16: Übungsaufgabe 5c)

Parallele Geraden - Das Wichtigste

parallele Geraden haben in jedem Punkt den gleichen Abstand
Parallelität wird mit || abgekürzt
Man kann parallele Geraden durch Messen des Abstandes oder durch Vergleichen der Steigungen erkennen
parallele Geraden haben die gleiche Steigung m, aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnittspunkt t
die erste Möglichkeit funktioniert nur für Abstände bis zu 4 cm
die zweite Möglichkeit funktioniert immer, wenn nach einem konkreten Abstand gefragt ist
die dritte Möglichkeit funktioniert immer, wenn eine konkrete Gerade g und ein Punkt P, welcher auf der zu zeichnenden Gerade liegt, gegeben ist

Karteikarten in Parallele Geraden 3

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Wenn du eine Gerade g gegeben hast und eine parallele Gerade im Abstand von 3 cm zeichnen sollst, welche Möglichkeit verwendest du?

Ich benutze die Innenskala meines Geodreiecks.

Wenn du eine parallele Gerade f mithilfe der Steigung zeichnen sollst, was muss beziehungsweise kann gegeben sein?

Eine Zeichnung der Gerade g

Du hast soeben eine parallele Gerade gezeichnet. Wie kannst du dein Ergebnis überprüfen?

Ich prüfe gar nicht, das geht nämlich nicht.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Parallele Geraden

Was ist eine Senkrechte?

Eine Senkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen Gerade steht. Sie bilden zusammen 4 Winkel von 90°.

Können Punkte parallel sein?

Punkte können nicht parallel sein.

Wie nennt man die kürzeste Strecke zwischen zwei parallelen Geraden?

Die kürzeste Strecke zwischen zwei parallelen Geraden wird Abstand genannt.

Wie überprüft man, ob zwei Geraden parallel sind?

Zwei Geraden sind dann parallel zueinander, wenn sie in allen Punkten den gleichen Abstand haben. Geraden sind auch parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben.

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