Parameterform

Ein Punkt$P\left(1\right|1\left|1\right)$liegt in einer Ebene $E:\overrightarrow{x}$, welche folgende Ebenengleichung besitzt:

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)+s·\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$

Der erste Vektor$\overrightarrow{p}$ ist der Ortsvektor zum Punkt P. An diesem Punkt werden zwei Richtungsvektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$aufgespannt, die nicht kollinear zueinander sind. Sie sind also keine Vielfachen voneinander.

Mit diesen Angaben kannst Du nun Deine Ebene $E:\overrightarrow{x}$in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Abb. 1 - Ebene E.

Aufgabe 1

Stelle eine Ebene $E:\overrightarrow{x}$ mithilfe der Punkte $P\left(1\right|-1\left|2\right);A\left(3\right|2\left|1\right)$und $B\left(4\right|1\left|5\right)$ auf.

Lösung

Zunächst wird ein Punkt ausgewählt, zu dem der Ortsvektor gebildet wird. In diesem Fall wird der Punkt P gewählt. Du kannst aber natürlich auch die Punkte A oder B verwenden und die Formel entsprechend anpassen. Damit gilt:

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Danach berechnest Du die beiden Vektoren $\overrightarrow{PA}$ und $\overrightarrow{PB}$, die die beiden Spannvektoren zum Aufspannen der Ebene darstellen.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PA}& =& \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& -& 1\\ 2& +& 1\\ 1& -& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)\\ & & \\ \overrightarrow{PB}& =& \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& -& 1\\ 1& +& 1\\ 5& -& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 3\end{array}\right)\end{array}$

Jetzt wird der Stützvektor $\overrightarrow{p}$ und die Vektoren $\overrightarrow{PA}$ und $\overrightarrow{PB}$ in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt und Du erhältst:

$\begin{array}{rcl}E:\overrightarrow{x}& =& \overrightarrow{p}+r·\overrightarrow{PA}+s·\overrightarrow{PB}\\ & & \\ E:\overrightarrow{x}& =& \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)+s·\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 3\end{array}\right)\end{array}$

In der folgenden Abbildung 2 kannst Du Dir die Ebene $E:\overrightarrow{x}$ sowie die Vektoren und Punkte noch einmal ansehen.

Abb. 2 - Parameterform aufstellen.

Aufgabe 2

Überprüfe, ob der Punkt $C\left(2\right|4\left|5\right)$ in der Ebene $E:\overrightarrow{x}$ liegt.

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)+s·\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$

Lösung

Zuerst musst Du den Ortsvektor zum gegebenen Punkt C mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)+s·\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$

Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.

$$\begin{gathered} 1.)2=1+0r+1s \\ 2.)4=2+2r+0s \\ 3.)5=3+3r+2s \end{gathered}$$

Da es nur zwei Unbekannte r und s gibt, reichen zwei Gleichungen zum Lösen. Nimm Dir also zwei Gleichungen und bestimme damit r und s. Hier kannst Du beispielsweise wie folgt vorgehen:

$\begin{array}{rcl}1.)2& =& 1+0r+s|\begin{array}{ccc}-1& & \end{array}\\ & & \\ 2-1& =& s\\ & & \\ 1& =& s\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2.)4& =& 2+2r+0s\begin{array}{ccc}|-2& & \end{array}\\ & & \\ 2& =& 2r\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& & \end{array}& |:2& \end{array}\\ & & \\ 1& =& r\end{array}$

Die beiden Werte $s=1$und $r=1$ werden nun in die dritte Zeile eingesetzt und überprüft, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.

$\begin{array}{rcl}3.)5& =& 3+3·1+2·1\\ & & \\ 5& =& 3+3+2\\ & & \\ 5& =& 8\end{array}$

Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt C nicht auf der Ebene $E:\overrightarrow{x}$.

Aufgabe 3

Erstelle eine Ebene $E:\overrightarrow{x}$ mithilfe der Punkte $P\left(2\right|-1\left|3\right);A\left(4\right|2\left|1\right);B\left(2\right|3\left|6\right)$. Überprüfe danach, ob der Punkt$C\left(4\right|-1\left|2\right)$ auf der Ebene liegt.

Lösung

Zuerst wählst Du einen Punkt (z. B. Punkt P) als Stützpunkt aus und bildest den Stützvektor.

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$

Dann berechnest Du die beiden Vektoren $\overrightarrow{PA}$ und $\overrightarrow{PB}$.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PA}& =& \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& -& 2\\ 2& +& 1\\ 1& -& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -2\end{array}\right)\\ & & \\ \overrightarrow{PB}& =& \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -& 2\\ 3& +& 1\\ 6& -& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)\end{array}$

Jetzt wird der Stützvektor $\overrightarrow{p}$ und die Vektoren $\overrightarrow{PA}$ und $\overrightarrow{PB}$ in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt und Du erhältst die Ebenengleichung.

$\begin{array}{rcl}E:\overrightarrow{x}& =& \overrightarrow{p}+r·\overrightarrow{PA}+s·\overrightarrow{PB}\\ & & \\ E:\overrightarrow{x}& =& \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -2\end{array}\right)+s·\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)\end{array}$

Um zu überprüfen, ob der Punkt C in der Ebene liegt, musst Du den Ortsvektor zum gegebenen Punkt C mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.

$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\begin{array}{rcl}& & \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & r\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -2\end{array}\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & s\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)\end{array}$

Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.

$\begin{array}{rcl}1.)4& =& 2+2r+0s\\ 2.)-1& =& -1+3r+4s\\ 3.)2& =& 3-2r+3s\end{array}$

Von diesem Gleichungssystem nimmst Du zwei Zeilen und stellst sie einmal nach r und einmal nach s um.

$\begin{array}{rcl}1.)4& =& 2+2r+0s\begin{array}{ccc}& |-2& \end{array}\\ & & \\ 2& =& 2r\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& & \end{array}& & |:2\end{array}& & \end{array}& & \end{array}\\ & & \\ 1& =& r\\ & & \\ & & \end{array}$

$\begin{array}{rcl}2.)-1& =& -1+3·1+4s\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& |+1& |-3\end{array}& & \end{array}\\ & & \\ -3& =& 4s\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& & \end{array}& & \end{array}& & |:4\end{array}\\ & & \\ -\frac{3}{4}& =& s\end{array}$

Die beiden Werte $s=-\frac{3}{4}$ und $r=1$ werden jetzt in die dritte Zeile eingesetzt und es wird geschaut, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.

$\begin{array}{rcl}3.)2& =& 3-2·1+3·\left(-\frac{3}{4}\right)\\ & & \\ 2& =& -1,25\end{array}$

Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt C nicht in der Ebene $E:\overrightarrow{x}$.