Prinzip von Cavalieri

Du hattest Dir einen Turm aus 6 quadratischen Bauklötzen gebaut und die Bauklötze danach so verschoben, dass der Turm schräg wurde.

Abbildung 4: Prinzip von Cavalieri - Beispiel

Links in Abbildung 4 ist Dein Ausgangsturm und rechts Dein Endturm. Um die beiden Türme nun auf Volumengleichheit zu untersuchen kannst Du prüfen, ob die drei Bedingungen erfüllt sind, die Du gerade gelernt hast:

1. Die Grundflächen G sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E.
2. Die Deckflächen D sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E.
3. Jede Parallelebene PE zur Grundebene GE schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen A aus.

Prüfung der 1. Bedingung:

Die Grundfläche der Türme ist jeweils die Fläche, auf der die Türme stehen. Da die beiden Türme aus denselben Bauklötzen bestehen, haben sie dieselbe Grundfläche G.

Abbildung 5: Grundebene G des Turmes

Außerdem befinden sich beide Grundflächen in derselben Ebene, da beide Türme auf dem gleichen Boden stehen. Somit ist die erste Bedingung erfüllt.

Prüfung der 2. Bedingung:

Die Deckflächen der beiden Türme sind aufgrund der gleichgroßen Bauklötze ebenfalls gleich. Da beide Türme aus derselben Anzahl an Bauklötzen bestehen sind beide Türme gleich hoch. Somit liegen die Deckflächen ebenfalls in einer Ebene. Die zweite Bedingung ist somit auch erfüllt.

Prüfung der 3. Bedingung:

Verschiebst Du die Grundebene der Türme jeweils bildlich um die Höhe der einzelnen Bauklötze, so siehst Du, dass die Parallelebenen jeweils inhaltsgleiche Flächen aus den beiden Körpern ausschneidet. Die herausgeschnittenen Flächen sind bei beiden Türmen jeweils so groß wie die Grundflächen. Die dritte Bedingung ist also ebenfalls erfüllt.

Alle Bedingungen sind erfüllt und die beiden Türme sollten somit volumengleich sein.

Zum Beweis der Gültigkeit des Prinzips von Cavalieri kannst Du Dir das Beispiel mit den beiden Türmen weiter ansehen, indem Du von beiden Türmen das Volumen berechnest. Beide Türme bestehen aus denselben, gleich großen Bauklötzen mit dem gleichen Volumen. Um jeweils das Gesamtvolumen der beiden Türme zu berechnen, addierst Du das Volumen der einzelnen Bauklötze. Nehme einmal an, das Volumen eines Bauklotzes beträgt $20c{m}^3$. Bei 6 Klötzen beträgt das Gesamtvolumen $120c{m}^3$. Das Gesamtvolumen der beiden Türme ist somit gleich und die Gültigkeit des Prinzip von Cavalieri für dieses Beispiel bewiesen.

Aufgabe

Die folgenden zwei Körper sollen mithilfe des Prinzips von Cavalieri auf Volumengleichheit untersucht werden.

Abbildung 6: Prinzip von Cavalieri - Beispiel Pyramide

Lösung

Um die beiden Pyramiden nun auf Volumengleichheit zu untersuchen kannst Du prüfen, ob die drei Bedingungen erfüllt sind, die Du in dieser Erklärung gelernt hast:

1. Die Grundflächen G sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E.
2. Die Deckflächen D sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E.
3. Jede Parallelebene PE zur Grundebene GE schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen A aus.

Prüfung der 1. Bedingung:

Abbildung 7: Grundflächen G Pyramiden

Als erstes siehst Du Dir die Grundfläche G der Pyramiden an. Sowohl die blaue, als auch die türkise Pyramide haben eine quadratische Grundfläche G mit der Kantenlänge a.

Abbildung 8: Höhe h der Pyramiden

Ebenso liegen sie in derselben Ebene und haben die gleiche Höhe h Somit ist die erste Bedingung erfüllt.

Prüfung der 2. Bedingung:

Eine Deckfläche D haben die beiden Pyramiden nicht. Somit sind beide Deckflächen D gleich 0 und die zweite Bedingung ist auch erfüllt.

Prüfung der 3. Bedingung:

Schneidest Du die beiden Pyramiden an einer bestimmten Höhe h' auf, so erhältst Du eine Schnittfläche A.

Abbildung 9: Schnitthöhe h' und Schnittflächen A der Pyramiden

Diese ist bei beiden Pyramiden quadratisch, weswegen Du die Flächen $A_{blau}$ und $A_{türkis}$ wir folgt berechnen kannst:

$A_{blau}=A_{türkis}={(a\text{'})}^2$

Somit schneidet jede Parallelebene zur Grundebene aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen aus.

Alle Bedingungen sind damit erfüllt und die beiden Türme sind nach dem Satz von Cavalieri volumengleich.

Gegeben sind eine Halbkugel und ein kegelförmig ausgebohrter Zylinder. Mit dem Prinzip von Cavalieri werden diese zwei Körper auf Volumengleichheit untersucht.

Abbildung 10: Halbkugel und kegelförmig ausgebohrter Zylinder

Zu Betrachtung der Schnittflächen wird die Halbkugel und der kegelförmig ausgebohrter Zylinder auf einer beliebigen Höhe h von einer horizontalen Ebene geschnitten. Diese Ebenen sind in Abbildung 11 lila und gelb dargestellt.

Abbildung 11: Halbkugel und kegelförmig ausgebohrter Zylinder

Als Schnittfläche entsteht bei der Kugel der lila Kreis und beim ausgebohrten Zylinder der gelbe Kreisring (Abbildung 12).

Abbildung 12: Schnittflächen der Körper - links von der Halbkugel (A_H), rechts vom dem kegelförmig ausgebohrte Zylinder (A_Z)

Halbkugel

Für den Radius r' der Fläche $A_H$ an einer beliebigen Höhe h der Halbkugel gilt mit dem Satz von Pythagoras:

$r\text{'}=\sqrt{r^2-h^2}$

Für die Fläche des Kreises $A_H$ gilt somit:

$\begin{array}{rcl}{A}_H& =& {(r\text{'})}^2\\ & =& {\left(\sqrt{r^2-h^2}\right)}^2·\mathrm{\pi }\\ & =& \mathbf{(}{\mathbf{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{h}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{·}\mathbf{\pi }\end{array}$

Ausgebohrter Zylinder

Den gelben Kreisring kannst Du als die Differenz zweier Kreise berechnen, wobei der große Kreis den Radius r besitzt und der kleine Kreis den Radius h:

$\begin{array}{rcl}{A}_Z& =& r^2·\mathrm{\pi }-{\mathrm{h}}^2·\mathrm{\pi }\\ & =& \mathbf{(}{\mathbf{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{h}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{·}\mathbf{\pi }\end{array}$

Vergleichst Du die beiden Flächeninhalte $A_H$ und $A_Z$, so kannst Du sehen, dass diese unabhängig von der Höhe h gleich sind. Mit dem Prinzip von Cavalieri folgt darum, dass die Halbkugel und der ausgebohrte Zylinder das gleiche Volumen V haben müssen, denn alle drei Bedingungen

1. Die Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene
3. Jede Parallelebene zur Grundebene schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen aus

sind damit erfüllt.

Dies kannst Du nochmal kontrollieren, indem Du die Volumenformeln ansiehst. Für das Volumen $V_H$ der Halbkugel gilt laut Volumenformel:

$V_H=\frac{2}{3}{r}^3·\mathrm{\pi }$

Ebenso berechnest Du das Volumen des ausgebohrten Zylinders, indem Du das Volumen des inneren Kegels von dem Volumen $V_Z$ des Vollzylinders abziehst.

$\begin{array}{rcl}{V}_Z& =& r^2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}-\frac{1}{3}{\mathrm{r}}^2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}\\ & =& \frac{2}{3}{\mathrm{r}}^3·\mathrm{\pi }\end{array}$

Die Volumina der beiden Körper stimmen somit, wie bereits durch das Prinzip des Cavalieri gesehen, überein.