Prisma (Mathe): Definition, Formel & Eigenschaften

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Was ist ein Prisma?

In diesem Kapitel sollst du zunächst lernen, was ein Prisma ausmacht, bevor du lernst, wie du Volumen und Oberflächeninhalt berechnen kannst.

Definition und Eigenschaften eines Prismas

Du kannst dir zunächst einmal verschiedene Beispiele für Prismen ansehen.

Prismen ist der Plural von Prisma.

Prisma verschiedene Formen StudySmarter Abbildung 1: Schrägbilder drei verschiedener Prismen

Alle Körper, die du auf dem Bild siehst, sind Prismen. Was haben diese Prismen also gemeinsam?

Bei jedem dieser Körper kannst du dir vorstellen, dass die Fläche, auf der der Körper steht, entlang einer geraden Linie verschoben wird. Dasselbe Vieleck, auf dem das Prisma steht, begrenzt es also auch oben.

Prisma Bezeichnungen am Prisma StudySmarter Abbildung 2: Grundbegriffe des Prismas

Die Fläche, auf der das Prisma steht, wird Grundfläche genannt. Die Fläche, die das Prisma nach oben hin begrenzt, wird Deckfläche genannt. Alle Seitenflächen zusammen werden als Mantel bezeichnet.

Vorsicht: Manchmal werden Prismen auch so abgebildet, dass sie nicht auf ihrer Grundfläche stehen, sondern auf einer ihrer Seitenflächen.

Die Seiten der Grundfläche und der Deckfläche werden Grundkanten genannt. Die Strecken, die jeweils zwei zusammen gehörige Eckpunkte von Grund- und Deckfläche verbinden, werden Mantellinien genannt. Alle Mantellinien sind gleich lang und parallel zueinander.

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel zusammensetzt.

Die Grundfläche und die Deckfläche bestehen aus Vielecken, die kongruent und parallel zueinander sind.
Der Mantel besteht aus Parallelogrammen.

Ecken, Kanten und Flächen eines Prismas

Wir betrachten ein Prisma, das ein Vieleck mit n Ecken als Grundfläche hat. Für n kannst du dabei 3, 4, 5, ... einsetzen. Ein solches Prisma wird n-seitiges Prisma genannt.

Anzahl der Ecken

Ein n-seitiges Prisma hat insgesamt $2 \cdot n$ Ecken, denn es besitzt

die n Ecken der Grundfläche und
die n Ecken der Deckfläche.

Anzahl der Kanten

Ein n-seitiges Prisma besitzt

n Grundkanten der Grundfläche,
n Grundkanten der Deckfläche und
n Mantellinien.

Insgesamt hat es also $3 \cdot n$ Kanten.

Flächen

Die Anzahl der Kanten der Grundfläche entspricht der Anzahl der Seitenflächen. Ein n-seitiges Prisma hat also

n Seitenflächen,
eine Grundfläche und
eine Deckfläche.

Ein n-seitiges Prisma hat immer $n + 2$ Flächen.

Besondere Prismen – Schrägbild

Im Folgenden lernst du verschiedene spezielle Prismen kennen.

Gerades und schiefes Prisma

Es wird zwischen geraden und schiefen Prismen unterschieden. Im Beispiel siehst du ein gerades Prisma (blau) und ein schiefes Prisma (orange).

Prisma gerades und schräges Prisma StudySmarter Abbildung 3: Schrägbilder eines geraden und eines schiefen Prismas

Bei einem geraden Prisma wird die Grundfläche sozusagen nur nach oben verschoben.

Bei einem geraden Prisma verlaufen die Mantellinien senkrecht zu den Grundkanten.

Die Seitenflächen sind dann Rechtecke.

Bei einem schiefen Prisma wird die Grundfläche schräg verschoben.

Bei einem ungeraden Prisma verlaufen die Mantellinien nicht senkrecht zu den Grundkanten.

Die Seitenflächen sind dann Parallelogramme

Reguläres Prisma

Eine weitere spezielle Form von Prismen sind die regulären Prismen.

Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma, das ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche hat.

Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck, bei dem alle Seitenlängen gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

Im Folgenden findest du drei Beispiele für reguläre Prismen:

Prisma reguläre Prismen StudySmarter Abbildung 4: Schrägbilder eines dreiseitigen, vierseitigen und fünfseitigen regulären Prismas

Die Grundfläche eines dreiseitigen regulären Prismas ist ein regelmäßiges Dreieck, das auch als gleichseitiges Dreieck bezeichnet wird.
Die Grundfläche eines vierseitigen regulären Prismas ist ein regelmäßiges Viereck, das auch als Quadrat bezeichnet wird.
Ein vierseitiges, reguläres Prisma wird auch als Quader bezeichnet.

Auch ein Würfel ist ein reguläres, vierseitiges Prisma, das als Grundfläche ein Quadrat hat und dessen Höhe der Länge des Quadrats entspricht.

Volumen eines Prismas berechnen – Formel

Diese allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas gilt für gerade, schiefe, regelmäßige und nicht regelmäßige Prismen.

Das Volumen eines Prismas wird berechnet, indem die Grundfläche G mit der Höhe h multipliziert wird:

$V_{P r i s m a} = G \cdot h$ .

Die Grundfläche G kann bei einem Prisma sehr unterschiedliche Formen annehmen, wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck. Deswegen musst du immer darauf achten, dass du die richtige Grundflächenformel einsetzt.

Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand der beiden Ebenen bezeichnet, in denen die Grund- und die Deckfläche liegen.

Prisma dreiseitiges Höhe eines Prismas StudySmarter Abbildung 5: Höhe eines geraden und eines schiefen Prismas

Bei einem geraden Prisma entspricht die Höhe der Länge einer Mantellinie. Bei einem schiefen Prisma hingegen entspricht die Höhe des Prismas dem Abstand der Deckfläche zur Ebene der Grundfläche.

Dies kannst du auch in Abbildung 5 sehen.

Schau dir beispielhaft die Volumenberechnung eines dreiseitigen Prismas an:

Aufgabe

Gegeben ist ein dreiseitiges gerades Prisma. Die Grundseite des Dreiecks ist $g = 4 c m$ lang. Die Höhe des Dreiecks beträgt $h_{D} = 2 c m$ und die Höhe des Prismas beträgt $h_{P} = 4 c m$ .

Prisma Beispielaufgabe Volumen StudySmarter Abbildung 6: Beispielaufgabe zur Volumenberechnung

Berechne das Volumen des beschriebenen Prismas.

Lösung

In diesem Beispiel ist die Grundfläche des Prismas ein Dreieck. Die Grundfläche wird deshalb auch mit der Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnet:

$\begin{array}{rcl} G & = & \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_{D} \\ = & \frac{1}{2} \cdot 4 c m \cdot 2 c m \\ = & 4 \cdot c m^{2} \end{array}$

Die Höhe kannst du den Angaben direkt entnehmen und dann das Volumen des Prismas berechnen:

$\begin{array}{rcl} V_{P r i s m a} & = & G \cdot h \\ = & (\frac{1}{2} \cdot g \cdot h_{D}) \cdot h_{P} \\ = & 4 c m^{2} \cdot 4 c m \\ = & 16 c m^{3} \end{array}$

Das Volumen des Prismas ist also $V_{P r i s m a} = 16 c m^{3}$ .

Wenn du mehr über die Berechnung des Volumens von Prismen erfahren möchtest, dann kannst du im Artikel "Volumen Prisma" weiter lesen.

Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen – Formel

Wie du den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kannst, siehst du besonders gut, wenn du dir das Netz des Prismas anschaust.

Betrachte dieses fünfseitige Prisma:

Prisma Oberflächeninhalt fünfseitiges Prisma StudySmarter Abbildung 7: Oberflächeninhalt eines fünfseitigen regulären Prismas

Die Seitenflächen werden nach außen geklappt und das Netz des Prismas entsteht:

Prisma Netz fünfseitiges Prisma StudySmarter Abbildung 8: Netz eines regulären fünfseitigen Prismas

Der Oberflächeninhalt dieses Prismas setzt sich also aus der Grund- und Deckfläche und den fünf Seitenflächen des Mantels zusammen.

Für alle Prismen gilt also, dass sich der Oberflächeninhalt aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammensetzt.

Die Oberfläche eines Prismas besteht aus dem Flächeninhalt der Deckfläche, der Grundfläche und der Mantelfläche:

$O_{P r i s m a} = A_{G r u n d f l ä c h e} + A_{D e c k f l ä c h e} + A_{M a n t e l}$ .

Weil Grund- und Deckfläche gleich groß sind, kann die Formel vereinfacht werden zu:

$O_{P r i s m a} = 2 \cdot A_{G r u n d f l ä c h e} + A_{M a n t e l}$ .

Je nachdem welche Form die Grundfläche (Dreieck, Trapez, …) besitzt, musst du die richtige Formel für den Flächeninhalt des jeweiligen Vielecks finden und einsetzen.

Bei einem geraden Prisma kannst du die Mantelfläche wieder mit einer eigenen Formel berechnen. Die Anzahl der Kanten der Grundfläche entspricht der Anzahl der Seitenflächen.

Prisma dreiseitiges Prisma StudySmarter Abbildung 9: Dreiseitiges gerades Prisma

Das gerade Prisma kann so auseinander geklappt werden, dass die drei Seitenflächen des Mantels zusammen ein großes Rechteck bilden.

Prisma Netz Mantel berechnen StudySmarter Abbildung 10: Netz eines dreiseitigen geraden Prismas

Dieses Rechteck, das aus den drei Seitenflächen gebildet wird, entspricht dem Mantel. Um den Flächeninhalt des Mantels zu berechnen, müssen jetzt die beiden Seitenlängen des Rechtecks multipliziert werden.

Die eine Seitenlänge entspricht dem Umfang der Grundfläche des Prismas.
Die andere Seitenlänge entspricht der Höhe des Prismas.

Die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines geraden Prismas lautet:

$A_{M a n t e l} = U_{G r u n d f l ä c h e} \cdot h$ .

Am folgenden Beispiel lernst du, wie du den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kannst.

Aufgabe

Gegeben ist ein dreiseitiges gerades Prisma. Die Längen der Seiten des Dreiecks sind $a = 4 c m$ , $b = 3 c m$ und $c = 5 c m$ . Die Höhe des Dreiecks beträgt $h_{c} = 2, 4 c m$ .

Das Prisma ist $h_{P} = 6 c m$ hoch.

Prisma Übungsaufgabe StudySmarter Abbildung 11: Beispielaufgabe zur Oberflächenberechnung

Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas.

Lösung

Die Grund- und Deckenfläche des Prismas sind Dreiecke. Du musst also die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks anwenden. In diesem Beispiel wird als Grundlinie die Seite c und die dazugehörige Höhe $h_{c}$ verwendet.

$\begin{array}{rcl} A_{G r u n d f l ä c h e} & = & g \cdot h \\ = & c \cdot h_{c} \\ = & 5 c m \cdot 2, 4 c m \\ = & 12 c m^{2} \end{array}$

Als Nächstes berechnest du die Mantelfläche. Der Umfang der Grundfläche wird durch Addition der drei Seitenlängen berechnet.

$\begin{array}{rcl} A_{M a n t e l} & = & U_{G r u n d f l ä c h e} \cdot h_{P} \\ = & (a + b + c) \cdot h_{P} \\ = & (4 c m + 3 c m + 5 c m) \cdot 6 c m \\ = & 72 c m^{2} \end{array}$

Du erhältst den Oberflächeninhalt des Prismas, indem du die berechneten Werte entsprechend der Formel addierst:

$\begin{array}{rcl} O_{P r i s m a} & = & 2 \cdot A_{G r u n d f l ä c h e} + A_{M a n t e l} \\ = & 2 \cdot 12 c m^{2} + 72 c m^{2} \\ = & 96 c m^{2} \end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt $O_{P r i s m a} = 96 c m^{2}$ .

Wenn du mehr über die Berechnung des Oberflächeninhalts von Prismen erfahren möchtest, dann kannst du im Artikel "Oberflächeninhalt Prisma" nachlesen.

Prisma – Das Wichtigste

Definition eines Prismas: Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel zusammensetzt.
- Die Grundfläche und die Deckfläche bestehen aus Vielecken, die kongruent und parallel zueinander sind.
- Der Mantel besteht aus Parallelogrammen.
n-seitiges Prisma:
- 2n Ecken
- 3n Kanten
- n + 2 Flächen.
Besondere Prismen:
- Gerades Prisma: Bei einem geraden Prisma verlaufen die Mantellinien senkrecht zu den Grundkanten. Die Seitenflächen sind dann Rechtecke.
- Reguläres Prisma: Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma, das ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche hat.
Formel für die Volumenberechnung: VPrisma=G·h
- Die Grundfläche G kann bei einem Prisma unterschiedliche Formen annehmen, wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck.
- Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand der beiden Ebenen bezeichnet, in denen die Grund- und die Deckfläche liegen.
Formel für die Oberflächenberechnung: OPrisma=AGrundfläche+ADeckfläche+AMantel
- Der Mantel eines geraden Prismas kann durch die Formel $A_{M a n t e l} = U_{P r i s m a} \cdot h$ berechnet werden.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Prisma

Was sind Prismen einfach erklärt?

Prismen sind geometrische Körper, die aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel bestehen. Die Grundfläche und die Deckfläche bestehen aus Vielecken, die kongruent und parallel zueinander sind. Der Mantel besteht aus Parallelogrammen.

Was sind die Eigenschaften eines Prismas?

Die Grundfläche und die Deckfläche sind zueinander parallele und kongruente Vielecke. Die Seitenflächen sind Parallelogramme. Alle Seitenflächen zusammen ergeben den Mantel. Ein n-seitiges Prisma hat 2n Ecken, 3n Kanten und n + 2 Flächen.

Wo begegnen uns Prismen im Alltag?

Prismen begegnen uns im Alltag oft in Form von Bauteilen, Verpackungen (zum Beispiel Toblerone) und anderen Dingen. Prismen werden aber auch verwendet, um Licht in einer bestimmten Art und Weise zu brechen (Dispersion) oder zurückzuwerfen (Reflexion).

Was ist der wichtigste Bestandteil eines Prismas?

Der wichtigste Bestandteil eines Prismas sind Grundfläche, Deckfläche und Mantel.

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