Lerninhalte finden
Features
Entdecke
In dieser Erklärung wird Dir die Punktsymmetrie einfach erklärt. Dir wird eine Definition und Beispiele gegeben. Zudem wird Dir gezeigt, wie du Punktsymmetrie erkennen kannst und wie sie mit einer Formel berechnet wird. Am Ende hast Du noch die Möglichkeit Aufgaben mit Lösungen zur Vertiefung zu berechnen.
Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten
Leg kostenfrei los
Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Review generated flashcards
Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter
Team Punktsymmetrie Lehrer
Eine Figur oder Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie ein Symmetriezentrum besitzen, um das die Figur oder Funktion um 180° gedreht werden kann. Die gedrehte Figur ist deckungsgleich mit der Figur in der Ausgangsposition.
Eine Figur wird als punktsymmetrisch bezeichnet, wenn durch eine Punktspiegelung am sogenannten Symmetriepunkt oder auch Symmetriezentrum, die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Das bedeutet, dass sich die Figur durch die Spiegelung nicht verändert.
Bei der Punktsymmetrie gibt es zwei Fälle:
eine Figur ist in sich punktsymmetrisch
zwei Figuren sind zueinander punktsymmetrisch
Neben der Punktsymmetrie gibt es auch noch die Achsensymmetrie. Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie eine oder mehrere Symmetrieachsen besitzt. Wird die Figur oder Funktion an der Achse gespiegelt, so sind beide Seiten deckungsgleich. Der Unterschied ist, dass bei der Punktsymmetrie an einem Punkt und nicht an einer Achse gespiegelt wird. Mehr dazu kannst Du in der Erklärung "Symmetrie" nachlesen.
Wenn es um eine Punktsymmetrie geht, also eine Symmetrie an einem Spiegelpunkt, kann diese an einer Figur oder einer Funktion nachgewiesen werden. Zudem gibt es alltagsbezogene punktsymmetrische Figuren, wie zum Beispiel der Buchstabe \(N\).
Abb - 1: Punktsymmetrie Buchstabe
Wenn Du den Buchstaben N auf ein Blatt schreibst und das Blatt dann einmal auf den Kopf drehst, dann sieht das N immer noch aus wie ein N. Selbst, wenn Du es von oben liest!
Es gibt verschiedene geometrische Figuren, die punktsymmetrisch sind. Dazu gehören zum Beispiel das Quadrat, Rechteck, Parallelogramm oder auch der Kreis.
| Figuren | Darstellung |
| Quadrat | Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Quadrates und den gleichen Abstand beider Ecken zum Symmetriepunkt.  Abb - 2: Punktsymmetrisches Quadrat |
| Rechteck | Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Rechtecks und den gleichen Abstand beider Ecken zum Symmetriepunkt.  Abb - 3: Punktsymmetrisches Rechteck |
| Parallelogramm | Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Parallelogramms und den gleichen Abstand der gegenüberliegenden Ecken zum Symmetriepunkt.  Abb - 4: Punktsymmetrisches Parallelogramm |
| Kreis | Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Kreises und den jeweils gleichen Radius vom Symmetriepunkt zum Kreisumfang.
|
Eine Funktion \(f(x)\) ist punktsymmetrisch, wenn die Funktion durch eine Spiegelung am Koordinatenursprung, also am Punkt \((0|0)\), wieder \(f(x)\) ergibt. Mathematisch ist das der Fall, wenn gilt \[f(-x) = -f(x)\]
Wenn Dich interessiert, wie Du herausfindest, ob eine Funktion achsensymmetrisch ist, dann schau in der Erklärung „Achsensymmetrie“ nach.
| Funktion | Beweis | Graph |
| Lineare Funktion\[f(x)=x\] | \[\begin{align}f(-x) &= -x \\&= -(x)\\&=-f(x)\end{align}\] | Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer linearen Funktion zum Ursprung.  Abb - 5: Punktsymmetrie Lineare Funktion |
| Funktion dritten Grades\[f(x)=x^3\] | \[\begin{align}f(-x) &= (-x)^3 \\&= -(x)^3\\&=-f(x)\end{align}\] | Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer Funktion dritten Grades zum Ursprung.
|
| Funktion fünften Grades\[f(x)=-x^5+2x^3\] | \[\begin{align}f(-x) &= (-x)^5+2(-x)^3 \\&= -(x)^5-2x^3\\&= -(x^5+2x^3)\\&=-f(x)\end{align}\] | Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer Funktion fünften Grades zum Ursprung.
|
Nun kannst Du Dein Wissen anhand einiger Aufgaben überprüfen.
Weise rechnerisch die Punktsymmetrie der Funktion \(f(x)=2x^3\) nach.
Lösung
Um diese Funktion jetzt auf Punktsymmetrie zum Ursprung zu untersuchen, musst Du \(-x\) in die Funktion einsetzen.
\begin{align} f(-x)&= 2\cdot (-x)^3 \\[0.2cm] &=-(2x^3) \\[0.2cm] &=-f(x)\end{align}
Da die Funktionen nach dem Einsetzen gleich sind, ist die Funktion zum Ursprung punktsymmetrisch. Das wird auch deutlich, wenn Du die Funktion um \(180^\circ\) um den Ursprung drehst.
Entscheide, welche der Figuren punktsymmetrisch sind und welche nicht und zeichne das Symmetriezentrum ein.
| Figur 1 | Figur 2 |
 Abb - 8: Raute |  Abb - 9: Drachenviereck |
Lösung
Figur 1 ist punktsymmetrisch:
Abb - 10: Punktsymmetrie Raute
Figur 2 ist nicht punktsymmetrisch und hat somit keinen Symmetriepunkt.
Gegeben ist die Funktion \(f(x)=3x^5+7x^3\). Untersuche die Funktion auf Punktsymmetrie zum Ursprung.
Lösung
Die Funktion \(f(x)\) hat nur ungerade Exponenten, was ein Zeichen dafür ist, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Überprüfe das noch einmal rechnerisch, in dem Du \(-x\) in die Funktion einsetzt.
\begin{align} f(-x)&=3\cdot (-x)^5 + 7\cdot (-x)^3 \\[0.2cm] &=3\cdot (-x \cdot -x \cdot -x \cdot -x \cdot -x)^5 + 7 \cdot( -x \dot -x \cdot -x )^3 \\[0.2cm] &= -3x^5-7x^3 \\[0.2cm] &= -(3x^5+7x^3) \\[0.2cm] &=-f(x) \end{align}
Laut Berechnung ist die Funktion f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.
Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Was ist Punktsymmetrie?
Die Punktsymmetrie ist eine Eigenschaft einer Figur, bei der die Figur spiegelsymmetrisch zu einem Symmetriepunkt ist.Wird diese Figur um \(180^\circ\) um den Symmetriepunkt gedreht, so ist die Figur deckungsgleich mit der Ausgangsfigur.
Wie erkennst Du eine Punktsymmetrie?
Eine Punktsymmetrie bei einer Figur erkennst Du, wenn sie einen Punkt hat, der an dem Symmetriepunkt gespiegelt wird. Bei einer Funktion erkennst Du es daran, dass die Funktion nur ungerade Exponenten hat.
Wann ist eine Funktion punktsymmetrisch?
Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn ihre Exponenten alle ungerade sind. Dabei gilt \(f(-x)=-f(x)\).
Welche Figuren sind punktsymmetrisch?
Es gibt viele Figuren, die Punktsymmetrisch sind. Die gängigsten sind Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute und Kreis.
Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.
Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
Lerne Lily kennen
Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
Lerne Gabriel kennen
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten 
StudySmarter AI 
Notizen 
Lernplan 
Spaced Repetition 
Lernsets 
Finde einen Job 
Studentenrabatte 
Ausbildungen 
Magazine 
Mobile App 
Für Unternehmen 
