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Bei der Pyramide hast Du bestimmt direkt ein Bild im Kopf. Zum Beispiel die berühmten ägyptischen Pyramiden. Doch welche mathematischen Eigenschaften haben die interessanten Konstrukte?
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Die Seitenflächen einer Pyramide bilden zusammen die ...Wähl aus.
Die Seitenflächen der Pyramide treffen sich in einem Punkt, der ...Wähl aus.
Wie wird eine dreiseitige Pyramide mit gleichseitigen, identischen Dreiecken genannt? Wähl den Namen aus.
Wähl die Formel aus, mit der das Volumen
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Feedback sendenEine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einem Vieleck als Grundfläche. Die Seitenflächen einer Pyramide sind Dreiecke. Alle Seitenflächen treffen sich in einem Punkt – der Spitze.
Die Grundfläche einer Pyramide kann zum Beispiel ein Dreieck oder ein Viereck sein, aber auch ein Fünfeck ist möglich. Auch wenn die Grundfläche unterschiedlich ist, haben alle Pyramiden gemeinsam, dass die Seitenflächen stets Dreiecke sind.
Jede Pyramide hat eine Grundfläche. Sie ist der "Boden". Die Seitenflächen der Pyramide (Dreiecke) werden Mantelfläche genannt.
Die Oberfläche
Abbildung 2 Grundfläche und Mantelfläche einer Pyramide
Für jede Pyramide gibt es eine Höhe
Abbildung 3: Höhe h der Pyramide
Anhand der Form der Grundfläche werden spezielle Pyramiden benannt.
Die Grundfläche einer Pyramide kann jede ebene Form annehmen. Je nach Form der Grundfläche wird die Pyramide benannt. Es gibt einige Pyramiden, die häufig vorkommen.
Die Pyramide in Abbildung 2 und 3 hat eine rechteckige Grundfläche. Sie wird auch rechteckige Pyramide genannt.
Häufig ist die Grundfläche einer Pyramide nicht nur rechteckig, sondern sogar quadratisch. Dann sind alle vier Seiten
Abbildung 4: quadratische Pyramide
Die Grundfläche einer Pyramide kann auch ein Dreieck sein. Dann wird die Pyramide dreiseitige Pyramide genannt.
Abbildung 5: dreiseitige Pyramide
Bei den dreiseitigen Pyramiden gibt es eine besondere Pyramide. Ist die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck (alle Seiten gleichlang) und die Mantelfläche besteht aus ebendiesen gleichseitigen Dreiecken, so handelt es sich um ein Tetraeder.
Abbildung 6: Tetraeder
Jede Seite eines Tetraeders hat dieselbe Länge
Es gibt auch Pyramiden mit anderen Grundflächen. Dies können etwa Fünfecke oder Sechsecke sein. Die Grundfläche kann regelmäßig sein, muss sie aber nicht.
Sieh Dir noch einmal die Abbildung 3 bis 6 an. Du kannst erkennen, dass die Seitenflächen tatsächlich immer Dreiecke sind, unabhängig von der Grundfläche.
Wie kannst Du nun eine dieser Pyramiden zeichnen?
Zum Zeichnen einer Pyramide bietet sich das Schrägbild an. Unter der Erklärung "Schrägbild" findest Du eine ausführliche Beschreibung zu Schrägbilder und auch eine Erklärung zu Pyramiden.
Im folgenden Beispiel wird eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche gezeichnet.
Aufgabe 1
Zeichen eine quadratische Pyramide mit
Lösung
Du beginnst mit der Grundfläche der Pyramide. Diese zeichnest Du mit Verzerrungswinkel
Zuerst zeichnest Du eine Strecke der Länge
Linien, die eigentlich nicht sichtbar sind, kannst Du gestrichelt zeichnen.
Eine Strecke im 45°-Winkel "nach hinten" kannst Du mithilfe des Kästchenpapiers zeichnen. Beginnt die Strecke auf einem Eckpunkt eines Kästchens, verläuft sie diagonal durch die anderen Kästchen. Wundere Dich aber nicht, wenn der Punkt am Ende der Strecke nicht auf einer Kästchenlinie liegt.
Abbildung 7: Grundfläche der Pyramide zeichnen
Die Grundfläche der Pyramide ist fertig gezeichnet. Um die Höhe der quadratischen Pyramide zeichnen zu können, konstruierst Du zuerst den Mittelpunkt der Grundfläche. Dazu kannst Du die Diagonalen einzeichnen. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt.
Von diesem Punkt aus zeichnest Du eine Strecke mit
Abbildung 8: Höhe der Pyramide zeichnen
Im letzten Schritt zeichnest Du je eine Strecke von der Spitze der Pyramide zu den Eckpunkten. Du verbindest also die Punkte miteinander.
Abbildung 9: Pyramide zeichnen
Auch andere Pyramiden kannst Du als Schrägbild zeichnen. Du beginnst immer mit der Grundfläche.
Jede Pyramide hat einen Rauminhalt, da sie dreidimensional ist. Die Größe des Rauminhalts kannst Du berechnen. Der Rauminhalt wird häufig auch Volumen genannt und mit
Um das Volumen einer Pyramide berechnen zu können, benötigst Du die Größe der Grundfläche
Das Volumen
Zuerst berechnest Du die Grundfläche, dann kannst Du das Volumen bestimmen.
Unter "Volumen Pyramide" findest Du eine ausführliche Erklärung mit Beispielen. Klicke einfach auf den Namen.
Der Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt
Je nachdem, um welche Art von Pyramide es sich handelt, berechnest Du die Grundfläche unterschiedlich. Du wählst die Formel für den Flächeninhalt, die zur Form der Grundfläche gehört.
Die Mantelfläche einer Pyramide besteht immer aus Dreiecken. Hier berechnest Du daher stets den Flächeninhalt von Dreiecken.
Eine ausführliche Erklärung zum Oberflächeninhalt von Pyramiden findest Du unter "Oberflächeninhalt Pyramide".
Vielleicht hast Du schon einmal Pyramiden gesehen, denen die Spitze fehlt? Dann handelt es sich um einen Pyramidenstumpf.
Ein Pyramidenstumpf entsteht, indem bei einer Pyramide parallel zur Grundfläche eine kleine Pyramide abgeschnitten wird.
Abbildung 10: Pyramidenstumpf
Unter "Pyramidenstumpf" findest Du eine ausführliche Erklärung.
Im Folgenden findest Du grundlegende Aufgaben zur Pyramide. In den Erklärungen "Volumen Pyramide" und "Oberflächeninhalt Pyramide" findest Du weitere Aufgaben.
Aufgabe 2
Entscheide, um welche Art von Pyramide es sich bei der Cheops-Pyramide handelt.
Abbildung 11: Cheops-Pyramide
Lösung
Diese Aufgabe ist vielleicht nicht ganz fair, da die Pyramide auf dem Foto gar nicht vollständig sichtbar ist. Vielleicht hast Du ja aber bereits weitere Bilder von ägyptischen Pyramiden gesehen.
Sie haben eine annähernd quadratische Grundfläche. Die Cheops-Pyramide ist daher eine quadratische Pyramide.
Aufgabe 3
Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide ist
Berechne das Volumen der Pyramide.
Lösung
Die Aufgabe kannst Du mit der Formel für das Volumen
Es ist
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Wie berechne ich die Höhe einer Pyramide?
Die Höhe eine Pyramide kannst Du berechnen, wenn das Volumen V und die Grundfläche G gegeben sind. Dann stellst Du die Formel für das Volumen einer Pyramide nach h um und berechnest so die Höhe.
Wie berechne ich das Volumen einer Pyramide?
Um das Volumen V eine Pyramide zu berechnen, benötigst Du die Grundfläche G und die Höhe h der Pyramide.
Dann multiplizierst Du die Grundfläche mit der Höhe und teilst das Ergebnis durch drei, um das Volumen zu bestimmen: V=1/3·G·h
Wie berechne ich die Seitenfläche einer Pyramide?
Die Seitenflächen einer Pyramide sind immer Dreiecke. Um eine Seitenfläche zu berechnen, bestimmst Du den Flächeninhalt des Dreiecks. Dazu benötigst Du die Länge der Grundseite a und die Höhe ha des Dreiecks. Der Flächeninhalt ist dann A=1/2·a·ha.
Wie berechne ich die Diagonale einer Pyramide?
Die Diagonale einer Pyramide kannst Du mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. Dazu quadrierst Du die Seitenlängen a und b der Grundfläche, addierst sie und ziehst die Wurzel. Handelt es sich um eine quadratische Pyramide, ist die Diagonale die Wurzel aus zweimal der Seitenlänge.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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