Schau Dir mal die beiden Bilder an. Was hat ein Schachbrett mit einer Würfelseite gemeinsam?
Genau — bei beiden Beispielen handelt es sich um eine quadratische Figur. Was das genau bedeutet, und wie Du den Umfang und Flächeninhalt von einem Quadrat berechnen kannst, erfährst Du hier!
Quadrat – Definition und Merkmale
Jede Seite eines Würfels ist quadratisch. Nimm Dir mal einen Würfel in die Hand und schau Dir die Seiten etwas genauer an. Welche Merkmale bzw. Eigenschaften fallen Dir bei den quadratischen Seiten auf?
Das Quadrat ist eine geometrische Figur aus der Familie der Vielecke. Es ist durch folgende Merkmale definiert:
- Alle Seiten sind gleich lang.
- Jeder Innenwinkel ist 90 Grad groß. Das Quadrat ist somit gleichwinklig.
- Ein Quadrat hat zwei Diagonalen d, welche gleich lang sind und einander halbieren.
Abbildung 1: Definition eines Quadrats
Die Beschriftung eines Quadrats ist immer gleich:
Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben. Da alle vier Seiten gleich lang sind, wird jede Seite mit a beschriftet.
Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A,B,C,D
Die Diagonalen eines Quadrats werden mit d beschriftet.
Im Folgenden werden einige Merkmale des Quadrats noch etwas genauer beleuchtet.
Quadrat Seiten
Alle Seiten eines Quadrats sind gleich lang. Zudem sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel zueinander.
Abbildung 2: Seiten eines Quadrats
Damit erfüllt jedes Quadrat auch die Eigenschaften einer Raute und eines Parallelogramms.
Diagonale Quadrat
Eine Diagonale stellt in der Geometrie eine Strecke dar, die zwei Eckpunkte von einer Fläche miteinander verbindet, ohne dabei eine Seite der Figur zu sein.
Ein Quadrat hat zwei Diagonalen d, welche sich einander im Mittelpunkt M in einem rechten Winkel schneiden und das Quadrat jeweils in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke teilen.
Abbildung 3: Diagonalen eines Quadrats
Die Diagonalen spielen auch bei den Symmetrieeigenschaften eines Quadrats eine wichtige Rolle.
Symmetrie Quadrat
Das Quadrat als geometrische Figur ist sowohl achsensymmetrisch als auch punktsymmetrisch.
Zur Erinnerung: Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn Du sie an einer Symmetrieachse, also einer Linie innerhalb der Figur, spiegeln kannst.
Jedes Quadrat hat 4 Symmetrieachsen, welche hier in türkis dargestellt werden. Dabei handelt es sich um die Diagonalen und Mittelsenkrechten der Seiten, welche sich alle im Mittelpunkt M der Figur schneiden.
Abbildung 4: Symmetrieachsen eines Quadrats
Neben der Achsensymmetrie ist jedes Quadrat auch punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M.
Zur Erinnerung: Eine Figur ist symmetrisch zu einem Punkt, wenn sie um den Punkt um 180° gedreht werden kann, und immer noch der Figur in der Ausgangsposition gleicht.
Drehst Du also ein Quadrat um den Mittelpunkt M um 180 Grad, ist das gedrehte Quadrat deckungsgleich mit dem Quadrat in der Ausgangsposition.
Abbildung 5: Symmetriepunkt eines QuadratsDamit kennst Du nun die wichtigsten Eigenschaften, die ein Quadrat ausmachen. Im nächsten Abschnitt geht es um das Berechnen vom Umfang, Flächeninhalt und der Diagonalen.
Umfang Quadrat – Formel
Hast Du noch den Würfel bei Dir? Dann schnapp Dir zusätzlich zu dem Würfel ein Stück Schnur.
Wenn Du jetzt diese Schnur einmal um den Würfel wickelst und am Ende abschneidest, entspricht die Länge der Schnur dem Umfang des Würfels.
Der Umfang einer geometrischen Figur setzt sich also aus ihren Seitenlängen zusammen. Da bei einem Quadrat alle Seiten gleich lang sind, musst Du nicht jede Seiten einzeln addieren, sondern kannst einen kürzeren Rechenweg benutzen.
Der Umfang U eines Quadrats mit Seitenlänge a kann mit folgender Formel berechnet werden: \[U=4 \cdot a\]
Möchtest Du jetzt den Umfang einer Seite von dem Spielwürfel berechnen, benötigst Du also nur die Länge einer einzigen Kante.
Angenommen, eine Seite bzw. Kante Deines Würfels ist 2 cm lang. Wie groß ist dann der Umfang?
Abbildung 6: Umfang einer Würfelseite
Um den Umfang des Quadrats jetzt zu berechnen, setzt Du für a in die Formel die Länge der Seite ein.
\begin{align} U &=4 \cdot a\\\\ U&= 4 \cdot 2 \text{ cm} \\ U&= 8 \text{ cm} \end{align}
Der Umfang der Würfelseite beträgt somit 8 cm.
Es gibt auch Aufgaben, in denen Du den Umfang eines Quadrats gegeben hast und nach den Seitenlängen gefragt wirst. Dazu kannst Du Dir folgende Vertiefung anschauen.
Seitenlängen Quadrat berechnen – bei gegebenem Umfang
Um die Länge einer Seite auf Basis des Umfangs einer quadratischen Figur zu berechnen, stellst Du die Formel für den Umfang nach der Seite a um.
Aufgabe 1
Stell Dir vor, Du möchtest eine neue Tasche für Deinen Laptop kaufen. Auf der Internetseite ist nur der Umfang der Tasche mit \(U= 120 \text{ cm} \) angegeben. Die längste Seite Deines Laptops beträgt 37 cm. Würde der Laptop in die Tasche passen? Die Tasche kann als quadratisch angesehen werden.
Lösung
Gesucht ist also die Seitenlänge a der quadratischen Tasche. Dafür setzt Du zunächst den gegebenen Umfang in die Dir bekannte Formel ein und löst anschließend die Gleichung nach der Variable a auf.
\begin{align} U &= 4 \cdot a \\ \\ 120 \text{ }cm &= 4 \cdot a && |:4 \\ 30 \text{ }cm &= a \end{align}
Eine Seite der Tasche ist damit 30 cm lang. Damit ist der Laptop zu groß für die Tasche. Du musst Dich also nach einer neuen Tasche umschauen.
Wenn Du mehr über das Thema lernen möchtest, schau in der Erklärung "Umfang Quadrat" vorbei.
Die Berechnung des Flächeninhalts funktioniert auf ähnliche Weise.
Flächeninhalt Quadrat berechnen – Formel
Auch bei der Berechnung der Fläche eines Quadrats benötigst Du nur die Seitenlänge a.
Der Flächeninhalt A eines Quadrats mit Seitenlänge a kann mit folgender Formel berechnet werden: \[A=a \cdot a=a^{2}\]
Schau Dir auch das mal an dem Beispiel einer Würfelseite an.
Gesucht ist jetzt nicht der Umfang, sondern die Fläche A des Würfels, welche hier schraffiert dargestellt wird. Die Seitenlänge beträgt nach wie vor 2 cm.
Abbildung 7: Flächeninhalt einer Würfelseite
Für die Berechnung der Fläche setzt Du jetzt für a in die Formel die Länge der Seite ein, also 2 cm.
\begin{align} A &=a \cdot a\\\\ A&= 2 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} \\ A&= 4 \text{ } cm^2 \end{align}
Die Fläche einer Würfelseite ist also 4 Quadratzentimeter groß.
Wie Du siehst, multiplizierst Du neben der eigentlichen Länge auch die Längeneinheit, also hier Zentimeter, miteinander. Deshalb entsprechen die Flächeneinheiten dann den Längeneinheiten zum Quadrat.
Auch hier gibt es Aufgaben, in denen bei gegebenem Flächeninhalt nach der Seitenlänge gefragt wird.
Seitenlänge Quadrat berechnen – bei gegebenem Flächeninhalt
Um die Seitenlänge eines Quadrats mit einem gegebenem Flächeninhalt zu berechnen, stellst Du die Formel für den Flächeninhalt nach der Seite a um.
Aufgabe 2
Nachdem die letzte Tasche leider zu klein gewesen war, bist Du jetzt im Internet auf eine andere Tasche gestoßen, die ein ähnlich quadratisches Design hat. Hier findest Du allerdings nur Angaben zum Flächeninhalt der Tasche mit \(A=1444 \text{ }cm^2\). Würde diesmal der Laptop mit einer Länge von 37 cm als längste Seite hineinpassen?
Lösung
Gesucht ist also wieder die Seitenlänge der quadratischen Tasche. Du gehst hier analog zur Aufgabe 1 vor. Du setzt also den gegebenen Flächeninhalt in die Formel für den Flächeninhalt ein und löst nach der Variable a auf. \begin{align} A &= a \cdot a \\ \\ 1444 \text{ }cm^2&= a \cdot a && |\sqrt{} \\38 \text{ } cm &= a \end{align} Damit sind die Seitenlängen der Tasche jeweils 38 cm lang. Der Laptop würde also knapp hineinpassen.
Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung "Flächeninhalt Quadrat".
Diagonale Quadrat berechnen – Formel
Die Diagonale stellt die längste Strecke innerhalb eines Quadrats dar.
Die Länge der Diagonalen d eines Quadrats mit Seitenlänge a kannst Du durch folgende Formel berechnen:\[ d = \sqrt{2} \cdot a\]
Nachfolgend siehst Du ein praktisches Beispiel zur Berechnung der Diagonalen eines Quadrats.
Aufgabe 3
Stell Dir vor, Du möchtest umziehen. Dabei möchtest Du Deinen Fernseher durch ein Fenster tragen. Das Fenster ist quadratisch und hat eine Seitenlänge von \[ a=70 \text{ cm}\] Dein Fernseher ist 95 cm hoch und passt somit, ohne ihn zu kippen, definitiv nicht durch das Fenster. Passt der Fernseher jedoch vielleicht schräg durch das Fenster?
Abbildung 8: Diagonale eines quadratischen Fensters
Lösung
Gesucht ist also die längst mögliche Strecke innerhalb des Fensters — die Diagonale eines Quadrats. Ist diese länger als die Höhe des Fernsehers, passt der Fernseher durch das Fenster.
Für die Berechnung der Diagonalen setzt Du jetzt wie bei den anderen Aufgaben zuvor für a in die Formel die Länge der Seite des Quadrats ein. Hier also 70 cm.
\begin{align} d &= \sqrt{2} \cdot a\\\\d&= \sqrt{2} \cdot 70 \text{ cm} \\ d&\approx 99 \text{ cm} \\ \\ 99 \text{ cm} &> 95 \text{ cm} \end{align}
Die Diagonale d des Fensters ist knapp 99 cm lang. Damit passt der Fernseher mit einer Höhe von 95 cm knapp durch das Fenster.
Auch hier gibt es die Möglichkeit, bei gegebener Länge der Diagonalen die Länge der Seiten zu berechnen.
Seitenlängen Quadrat berechnen – bei gegebener Diagonalen
Um die Seitenlänge eines Quadrats bei gegebener Länge der Diagonale zu berechnen, stellst Du die Formel für die Diagonale nach der Unbekannten a um.
Aufgabe 4
In dem Moment, als Du die Tasche für Deinen Laptop von Aufgabe 2 kaufen wolltest, ist Dir ein neues Angebot einer ähnlichen, günstigeren Tasche in Dein Auge gesprungen. Wie es der Zufall so will, wird hier nur die Größe mit der Flächendiagonale \(d=60 \text{ cm} \) angegeben. Ist die Tasche auch groß genug, damit der Laptop, dessen längste Seite 37 cm beträgt, hineinpasst?
Lösung
Gesucht ist also erneut die Seitenlänge der Tasche. Schau Dir ruhig noch einmal das Vorgehen in Aufgabe 1 und 2 an. Diese Aufgabe kannst Du auf ähnliche Weise lösen. Du setzt die Diagonale d in die Formel für die Länge der Diagonale ein und löst nach der Seite a auf. \begin{align} d &= \sqrt{2} \cdot a \\ \\ 60 \text{ }cm &= \sqrt{2} \cdot a && |: \sqrt{2} \\42,43 \text{ } cm & \approx a \end{align}
Die Tasche ist also mit einer Seitenlänge von über 42 cm groß genug für den Laptop. Vielleicht ist hier sogar noch etwas Platz für das Ladekabel.
Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung "Diagonale Quadrat".
Quadrat – Das Wichtigste
- Das Quadrat ist eine geometrische Figur aus der Familie der Vielecke. Es ist durch folgende Merkmale definiert:
- Alle Seiten sind gleich lang und werden mit a beschriftet. Gegenüberliegende Seiten sind jeweils parallel zueinander.
- Jeder Innenwinkel ist 90 Grad groß. Das Quadrat ist somit gleichwinklig.
- Ein Quadrat hat zwei Diagonalen d, welche gleich lang sind und sich im Mittelpunkt M gegenseitig halbieren.
- Der Umfang U eines Quadrats kann mit folgender Formel berechnet werden: \(U=4 \cdot a\)
- Der Flächeninhalt A eines Quadrats kann mit folgender Formel berechnet werden: \(A=a \cdot a\)
- Die Länge der Flächendiagonale d eines Quadrats wird mit folgender Formel berechnet: \(d= \sqrt{2} \cdot a\)
- Möchtest Du bei gegebenem Umfang U, Flächeninhalt A oder Länge der Diagonalen d die Seitenlänge a ermitteln, setzt Du die gegebene Größe jeweils in die oben genannten Formeln ein und löst diese nach der Seitenlänge a auf.
Nachweise
- Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
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