Rechnen mit Winkeln

Der vermutlich am häufigsten auftauchende Winkel ist der sogenannte rechte Winkel von $90°$. Die Hälfte davon sind $45°$ und das doppelte ist mit $180°$ genau der "Winkel" den die beiden Strahlen aufspannen, wenn sie vom gleichen Punkt in komplett unterschiedliche Richtungen (antiparallel) zeigen.

Abbildung 1: Rechter Winkel	Abbildung 2: Gestreckter Winkel
Abbildung 3: Spitzer Winkel	Abbildung 4: Stumpfer Winkel

Genauso wie das Addieren von Zahlen:

$$\begin{gathered} 45+45=90 \\ 27+18=45 \\ 17+200=217 \end{gathered}$$

Funktioniert das Addieren von Winkeln, wenn sie gegeben sind:

$$\begin{gathered} 45°+45°=90° \\ 27°+18°=45° \\ 17°+200°=217° \end{gathered}$$

Bei einer Drehung um $370°$ landest Du auf dem gleichen Winkel, als hättest Du Dich nur um $10°$ gedreht. Nur, dass Du eine ganze Umdrehung mehr hinter Dir hast.

Abbildung 5: 370° und 10°

Wenn Du zum Beispiel eine dreiviertel Umdrehung machst (also $270°$) und dich dann in die gleiche Richtung noch einmal umdrehst, um nach hinten zu schauen (also einmal um $180°$). Wohin siehst Du dann?

Wenn Du die beiden Winkel einfach addierst

$270°+180°=450°$,

kommst Du auf einen Wert, der größer als $360\hspace{0.17em}°$ ist.

Du hast Dich also mindestens einmal an Deiner Ausgangsblickrichtung vorbei gedreht.

Du hast jetzt also die$450°$, die größer sind als $360°$. Um also auf einen Wert unter $360°$ zu kommen, ziehst Du genau diese zusätzliche Umdrehung von $360°$ ab.

$450°-360°=90°$

Also ist die Summe letztendlich wieder ein rechter Winkel. Das heißt Deine beiden Drehungen um $270°$ und $180°$ entspricht einer Drehung lediglich genau zu Deiner Seite.

$\begin{array}{rcl}43°-15°& =& 28°\\ 303°-180°& =& 123°\end{array}$

$\begin{array}{rcl}15°-73°& =& -28°\\ 180°-303°& =& -123°\end{array}$

Damit ergibt sich, mit der Addition von $360°$ zu jeweils beiden Ergebnissen:

$\begin{array}{rcl}-28°+360°& =& 332°\\ -123°+360°& =& 237°\end{array}$

Nimm an, Du hast zwei Winkel $\alpha =13°$ und $\beta =27°$ gegeben und möchtest sie mit dem Geodreieck addieren. Also Du möchtest herausfinden, wie weit Du Dich insgesamt drehst, wenn Du beide Drehungen nacheinander durchführst.

Als Erstes zeichnest Du α, als wäre es der einzige gegebene Winkel.

Abbildung 6: α mit Geodreieck konstruieren.

Sinnvoll ist es, hier direkt das Blatt so zu drehen, dass der obere Schenkel von α waagerecht vor Dir ist.

Du legst dann Dein Geodreieck so, dass die Mitte (wo der Scheitel des kommenden Winkels sein soll) genau auf dem Scheitel von α, beziehungsweise auf dem oberen Schenkel liegt.

Von da trägst Du den Winkel genauso ab, als wäre der untere Winkel gar nicht da.

Abbildung 7: β mit Geodreieck auf α konstruieren

Wenn Du jetzt Dein Geodreieck wegnimmst, siehst Du drei Schenkel, wobei der Oberste und der Unterste die Schenkel des Summenwinkels darstellen.

Abbildung 8: Summe von α und β übereinander konstruiert.

Jetzt hast Du beide Winkel mit dem Geodreieck aufeinander addiert!

Gegeben sind die Winkel $\alpha =105°$ und $\beta =23°$.

Berechne $\gamma =\alpha -\beta$ und zeichne die drei Winkel.

$\gamma =105°-23°=82°$

Optisch sieht das dann so aus:

Abbildung 9: Winkel voneinander subtrahieren.

Möchtest Du zwei Winkel, ohne sie vorher konkret zu messen, in einer Konstruktion addieren, dann brauchst Du dafür einen Zirkel und ein Lineal.

Abbildung 10: zwei unbekannte Winkel

Als Erstes konstruierst Du die Gerade bzw. den Strahl mit einem Anfangspunkt, auf den der aufsummierte Winkel konstruiert werden soll.

Schritt 1 - Kreis konstruieren

Dann konstruierst Du bei allen drei Winkeln als Startpunkt einen Kreis mit exakt dem gleichen Radius mit dem Zirkel.

Anschließend nimmst Du beim ersten Winkel den Abstand der Schnittpunkte zwischen den Schenkeln und der Kreislinie und überträgst diese auf die noch leere Gerade genau auf den Kreis.

Nochmal genauer:

Stelle einen konstanten Radius r bei Deinem Zirkel ein.

Abbildung 11: HIlfskreis

Ziehe diesen Radius r über den Scheitelpunkt der beiden Winkel.

Abbildung 12: Hilfskreis über beide Winkel

Miss den Abstand zwischen den beiden Schenkeln, indem Du bei einem Schnittpunkt einstichst und den Zirkel bis zum anderen Schnittpunkt einstellst.

Abbildung 13: Abmessen des ersten Winkels am Hilfskreis

Denn ersten Winkel kannst Du jetzt auf einen leeren Kreis übertragen, indem Du am Schnittpunkt zwischen Gerade und Kreis einstichst und den eben gemessenen Abstand auf die Kreislinie überträgst.

Abbildung 14: Übertragen des ersten Winkels

Durch diesen Schnittpunkt ziehst Du dann eine Gerade, um den ersten Winkel zu kopieren.

Abbildung 15: Konstruktion des ersten Winkels

Dann misst Du den zweiten Winkel wie oben.

Abbildung 16: Abmessen des zweiten Winkels

Diesen Winkel konstruierst Du dann an den ersten Winkel links dran. Dafür stichst Du an dem Punkt ein, den Du gerade markiert hast (also das Ende des Winkels α) und markierst erneut den Schnittpunkt zwischen der Kreislinie und dem neuen Abstand von β.

Abbildung 17: Konstruktion des Summandenwinkels

Nach Entfernen der Hilfslinien bleibt nur noch der neue Winkel γ übrig.

Abbildung 18: Summenwinkel mit Hilfskreis

Jetzt hast Du Deinen fertigen Winkel, der aus der Summe der anderen beiden besteht, konstruiert.

Abbildung 19: zwei unbekannte Winkel

Möchtest Du also den zweiten Winkel abziehen anstatt addieren, wird beim letzten Schritt (bei der Addition Abbildung 17) der Winkel nicht gegen den Uhrzeigersinn, sondern mit dem Uhrzeigersinn konstruiert. Der resultierende Winkel γ ist also kleiner als α, denn von α wurde β abgezogen.

Abbildung 20: Subtraktion von Winkeln

Aufgabe 1

Addiere bzw. subtrahiere folgende Winkel:

1. $97°+38°$
2. $150°-82°$
3. $173°+205°+307°+90°$
4. $50°-95°$

Lösung

Genau wie bei Addieren und Subtrahieren von Zahlen kannst Du hier mit Winkeln rechnen. Nur, dass Du hier das Gradzeichen jeweils mitnimmst.

1. $97°+38°=135°$
2. $150°-82°=68°$
3. $173°+205°+307°+90°=775°\to 55°$
4. $50°-95°=-45°\to 315°$

$775°-360°=415°$

Dieser Wert ist immer noch zu groß, also kannst Du noch mal eine Umdrehung runternehmen.

$415°-360°=55°$

Jetzt bist Du unter 360° angekommen und weißt: Du hast oben zwei vollständige Umdrehungen und zusätzlich 55° berechnet. Am Ende steht der Summenwinkel aber nur 55° von dem Startpunkt weg.

In Aufgabe d bist Du mit Deiner Drehung gegen den mathematischen Drehsinn unter $0°$ gekommen

$50°-95°=\hspace{0.17em}-45°$

Und muss jetzt herausfinden, wie viel das zwischen $360°$ und $0°$ ist. Dafür addierst Du 360°:

$-45°+360°=315°$

Du hast also zu Beginn $50°$ links am Startpunkt $0°$ vorbeigeschaut. Durch eine Drehung um $90°$ nach rechts schaust Du um $45°$ recht am Startpunkt vorbei. Das entspricht einer Drehung von $315°$ nach links.

Aufgabe 2

Christine hat in der Ausgangsposition auf ihrem Lenkrad ganz oben eine weiße Markierung. Sie parkt rückwärts ein. Währenddessen dreht sie das Lenkrad nach links, also einmal auf den Kopf, sodass die Markierung genau nach unten zeigt. Während das Auto dann zurückrollt, dreht sie es um die Hälfte wieder zurück. Wohin zeigt die weiße Markierung des Lenkrads zum Schluss?

Lösung

Bei der ersten Drehung muss sie – um von ganz oben auf ganz unten zu kommen – das Lenkrad um 180° im Uhrzeigersinn, also in mathematischen Drehsinn drehen. Der erste erreichte Winkel ist also

$\alpha =180°$

Dann dreht sie das Lenkrad zurück. Es ist als gegen den mathematischen Drehsinn unterwegs. Die Hälfte von 180 ist 90. Also ist der zweite Winkel:

$\beta =-90°$

Zusammen ergeben die Winkel

$\gamma =\alpha +\beta =180°+(-90°)=-90°$

Das Lenkrad zeigt also $90°$ im mathematischen Drehsinn und steht damit genau links.

Aufgabe 3

Konstruiere den Winkel $\alpha =120°$ und ziehe den Winkel $\beta =60°$ von α in Deiner Konstruktion ab.

Lösung

Als Erstes zeichnest Du eine Gerade. Das wird der untere Schenkel von α.

Abbildung 21: Gerade auf der der Winkel konstruiert wird

Jetzt misst Du mit dem Geodreieck die 120° ab und markierst Dir den Punkt.

Abbildung 22: Abgemessener Punkt, durch den der zweite Strahl den Winkel bilden wird

Als Nächstes verbindest Du den Punkt mit dem Scheitel und hast Deinen Winkel α konstruiert.

Abbildung 23: Konstruierter Winkel

Da Du den Winkel abziehen (und nicht addieren) willst, legst Du das Geodreieck jetzt an die rechte Seite der neuen Gerade, also des zuletzt konstruierten Schenkels und misst von da gegen den mathematischen Drehsinn $\beta =60°$ ab.

Abbildung 24: Geodreieck an zweiten Schenkel angelegt und negativen Winkel abgemessen

Jetzt solltest Du eine Zeichnung von α haben, bei der ein Punkt genau in der Mitte der beiden Schenkel ist.

Abbildung 25: Punkt durch den der Strahl des Differenzwinkels verlaufen wird

Durch Verbinden dieses Punktes mit dem Schenkel erhältst Du neben dem abgezogenen Winkel $\beta =60\hspace{0.17em}°$ Deinen finalen Differenzwinkel $\gamma =60°$

Abbildung 26: Differenzwinkel und abgezogener Winkel