Richtungsvektor

In Abbildung 3 siehst Du nun den Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) im dreidimensionalen Koordinatensystem, der von Punkt \(\color{#1478c8}A\) zu Punkt \(\color{#00dcb4}B\) verläuft.

Abb. 3 - Richtungsvektor im dreidimensionalen Koordiantensystem

Gegeben sind im dreidimensionalen Koordinatensystem die Punkte: \begin{align} {\color{bl}{A}}&=\color{bl}(3\,|\,5\,|\,2)\\{\color{gr}B}&=\color{gr}(1\,|\,4\,|\,1)\end{align}

Gesucht ist der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB }\) von Punkt \({\color{#1478c8}A}\) zu Punkt \({\color{#00dcb4}B}\).

Um diesen zu berechnen, wendest Du die eben gelernte Formel an:\begin{align}{\color{#fa3273}\vec{AB}}={\color{#00dcb4}\vec{OB}}-{\color{#1478c8}\vec{OA}}={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}}-{\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}\end{align}

Durch die gegebenen Koordinaten können die Ortsvektoren angegeben werden: \begin{align}{\color{#1478c8} \vec{OA}}&={\color{#1478c8} \begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\\ {\color{#00dcb4} \vec{OB}}&={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}\end{align}

Anhand der Formel kannst Du nun Deinen Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) ausrechnen:

\begin{align}{\color{#fa3273}\vec{AB}}&={\color{#00dcb4}\vec{OB}}-{\color{#1478c8}\vec{OA}}\\[0.2cm]&={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}-{\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\\[0.2cm]&=\begin{pmatrix}1-3\\4-5\\1-2\end{pmatrix}\\[0.2cm]&=\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}\end{align}

Dein Richtungsvektor\(\color{#fa3273}\vec{AB}\) beträgt also: $${\color{#fa3273}\vec{AB}}={\color{#fa3273}\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}}$$

Gegeben sind die beiden Punkte \({\color{#1478c8}A}\) und \({\color{#00dcb4}B}\) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem.

Abb. 4 - Richtungsvektor ablesen - Start und Endpunkt

Gesucht ist der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB }\) von Punkt \({\color{#1478c8}A}\) zu Punkt \({\color{#00dcb4}B}\).

Um diesen ablesen zu können, zeichnest Du den Richtungsvektor als ersten Schritt ein, indem Du die beiden Punkte verbindest.

Abb. 5 - Richtungsvektor einzeichnen

Im nächsten Schritt überlegst Du Dir, in welche \(x\), \(y\) und \(z\)-Richtung Du gehen müsstest, um diesen Richtungsvektor zu erhalten.

In diesem Fall gehst Du eine \(x\)-Koordinate in die positive \(x\)-Richtung und eine \(y\)-Koordinate in die positive y-Richtung, um in Richtung Punkt \(B\) zu kommen.

Abb. 6 - Richtungsvektor ablesen - x,y-Richtung

Nun musst Du noch schauen, wie weit Du in \(z\)-Richtung gehen musst, um \(B\) zu erreichen. In diesem Fall müsstest Du zwei \(z\)-Koordinaten in die positive \(z\)-Richtung gehen.

Abb. 7 - Richtungsvektor ablesen - z-Richtung

Dein Richtungsvektor lautet somit in diesem Fall: $$\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$$

Abb. 8 - Richtungsvektor ablesen

So konntest Du den Richtungsvektor \(\vec{AB}\) durch Ablesen bestimmen.

Gegeben ist der Richtungsvektor $${\color{r}\vec{AB}}={\color{r}\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}}$$ der normiert werden soll.

Dafür berechnest Du als Erstes die Länge des Vektors \(\vec{AB}\): \begin{align} |\vec{AB}|&=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(-1)^2}\\&=\sqrt{6}\end{align}

Um den Richtungsvektor nun zu normieren, teilst Du seine Koordinaten durch seine Länge:

\begin{align} \vec{AB}_0&=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\vec{AB}\\&=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{6}}\\ \frac{-1}{\sqrt{6}}\\ \frac{-1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix} \end{align}

Somit hast Du Deinen normierten Richtungsvektor \(\vec{AB}_0\) berechnet.

Aufgabe 1

Gegeben sind im dreidimensionalen Koordinatensystem die Punkte: \begin{align} {\color{bl}{A}}&=\color{bl}(1\,|\,3\,|\,2)\\{\color{gr}B}&=\color{gr}(6\,|\,4\,|\,1)\end{align}Gesucht ist der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB }\) von Punkt \({\color{#1478c8}A}\) zu Punkt \({\color{#00dcb4}B}\).

Lösung

Um diesen zu berechnen, wendest Du die Formel an:

\begin{align}{\color{#fa3273}\vec{AB}}={\color{#00dcb4}\vec{OB}}-{\color{#1478c8}\vec{OA}}={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}}-{\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}\end{align}

Durch die gegebenen Koordinaten können die Ortsvektoren angegeben werden: \begin{align}{\color{#1478c8} \vec{OA}}&={\color{#1478c8} \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}}\\ {\color{#00dcb4} \vec{OB}}&={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}}\end{align}

Anhand der Formel kannst Du nun Deinen Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) ausrechnen:

\begin{align}{\color{#fa3273}\vec{AB}}&={\color{#00dcb4}\vec{OB}}-{\color{#1478c8}\vec{OA}}\\[0.2cm]&={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}}-{\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}}\\[0.2cm]&=\begin{pmatrix}6-1\\4-3\\1-2\end{pmatrix}\\[0.2cm]&=\begin{pmatrix}5\\1\\-1\end{pmatrix}\end{align}

Dein Richtungsvektor\(\color{#fa3273}\vec{AB}\) beträgt also: $${\color{#fa3273}\vec{AB}}={\color{#fa3273}\begin{pmatrix}5\\1\\-1\end{pmatrix}}$$