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Schnittwinkel zweier Geraden: Definition von Winkeln
Winkel entstehen an der Schnittstelle zweier Geraden. Stell dir vor, du hast eine Gerade f und eine Gerade g. Die beiden schneiden sich im Punkt S. Bei S entstehen jetzt 4 Winkel, wobei die zwei gegenüberliegenden Winkel immer gleich groß sind. Diese beiden Winkel werden auch als Scheitelwinkel bezeichnet.
Abbildung 1: Schnittwinkel zweier Geraden
Wenn du mehr über Scheitelwinkel lernen willst, kannst du dir unseren Artikel zum Thema Scheitelwinkel durchlesen.
Bezeichnung von Winkeln
Winkel werden immer mit griechischen Buchstaben, also α (alpha), β (beta), γ (gamma), δ (delta), …, bezeichnet. Wenn jetzt zwei Winkel gleich groß sind, dann nennt man sie α und α' (sprich: alpha und alpha Strich), β und β' (sprich: beta und beta Strich) und so weiter.
Abbildung 2: Bezeichnung der Schnittwinkel
Einheit von Winkeln
Winkel werden in Grad angegeben, was durch das Gradzeichen ° abgekürzt wird. Sie können einen Wert zwischen 0° und 360° annehmen. Die Fläche, die von den Punkten A, B und C beziehungsweise den Geraden g und f eingeschlossen wird, wird immer größer, je größer der Winkel wird.
Bei einem Winkel von 0° existiert noch kein Winkel. Bei 10° ist der Winkel vorhanden, auch wenn er noch sehr klein ist. Der Winkel bei 90° ist ein Viertel des Kreises und wird auch rechter Winkel genannt. Er wird meistens mit einem Punkt innerhalb des Winkels angezeigt. Die Hälfte des Kreises ist ausgefüllt, wenn ein Winkel 180° beträgt. Bei 360° ist dann der ganze Kreis ausgefüllt.
Abbildung 3: Winkel bei 0°
Abbildung 4: Winkel bei 10°
Abbildung 5: Winkel bei 90°
Abbildung 6: Winkel bei 180°
Abbildung 7: Winkel bei 360°
Du kannst Winkel aber nicht nur im Gradmaß angeben, sondern auch im Bogenmaß. Stell dir vor, du hast einen Einheitskreis (r = 1). Das Bogenmaß entspricht der Länge des Kreisbogens b. Es besteht aus dem Verhältnis dieser Länge und dem Radius:
Abbildung 8: Einheitskreis
Die Einheit des Bogenmaßes ist theoretisch 1 rad (1 Radiant), jedoch wird bei der Angabe des Winkels lediglich eine Zahl ohne eine Einheit, wie zum Beispiel ° angegeben, da sich die Einheiten in der Formel von oben wegkürzen. 1 rad entspricht einer Bogenlänge von 1 LE auf dem Einheitskreis. Eine ganze Umdrehung, also 360°, entsprechen 2π im Bogenmaß.
Aber wie kann man einen Winkel im Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen und andersherum? Dafür gibt es folgende Formel:
Das Bogenmaß wird besonders in der Physik, beispielsweise wenn es um Sinus- oder Kosinuswellen geht, benutzt.
Im Setup auf deinem Taschenrechner kannst du einstellen, ob du dein Ergebnis im Gradmaß oder im Bogenmaß angezeigt bekommen möchtest. Das Gradmaß wird meisten mit Deg (Degree) und das Bogenmaß mit rad (Radiant) abgekürzt.
Schnittwinkel zweier Geraden: Arten
Je nachdem, wie groß ein Winkel ist, wird er anders genannt. In unserem Fall, also wenn Schnittwinkel durch das Schneiden von zwei Geraden entstehen, können zwei Arten von Winkeln entstehen:
Zum einen können Schnittwinkel entstehen, die 90° oder kleiner sind und zum anderen können Schnittwinkel entstehen, die 90° oder größer sind. Der Erste wird als spitzer Winkel bezeichnet, während der Zweite als stumpfer Winkel bezeichnet wird.
Winkel über 180° werden als gestreckte Winkel und Winkel über 270° als überstumpfe Winkel bezeichnet.
Wo findet man Winkel im Alltag?
Winkel sind eigentlich überall: Eine angelehnte Tür bildet zusammen mit dem Türrahmen einen Winkel, dein Esstisch bildet zusammen mit den Tischbeinen mehrere rechte Winkel und auch ein Flugzeug, dass gerade vom Boden abhebt, bildet zusammen mit dem Boden einen Winkel.
Ingenieure, Schreiner, Informatiker, Architekten, Mathematiker, Astronauten und noch viele andere messen und berechnen Winkel, um ihre Arbeit verrichten zu können. Die Berechnung von Winkeln wird in den verschiedensten Bereich gebraucht und ist dort auch unbedingt notwendig. Sie spielen im Alltag eine große Rolle.
- Winkel entstehen an der Schnittstelle zweier Graphen.
- Zwei gegenüberliegende Winkel sind immer gleich groß.
- Winkel werden mit griechischen Buchstaben benannt.
- Gleich große Winkel bekommen den gleichen griechischen Buchstaben und werden durch einen Strich (') unterschieden.
- Winkel werden in Grad, was mit diesem Zeichen ° abgekürzt wird, oder im Bogenmaß angegeben.
- Ein Winkel mit 90° wird auch rechter Winkel genannt.
- Es können spitze und stumpfe Schnittwinkel entstehen.
- Winkel sind überall zu finden und spielen im Alltag eine wichtige Rolle.
Berechnung der Schnittwinkel zweier Geraden mit Hilfe der Summe der Nebenwinkel
Zwei nebeneinander liegende Winkel, sogenannte Nebenwinkel, ergeben zusammen immer 180°. Daraus ergibt sich folgende Formel:
Jetzt weißt du aber, dass gilt, wodurch die Formel auch so ausgedrückt werden kann:
So kannst du beliebig miteinander austauschen. Diese Regel ist auch logisch, da alle vier Schnittwinkel zusammen so 360° entsprechen, was, wie wir oben gesehen haben, einer ganzen Kreisumdrehung entspricht.
Tipp: Wenn du mehr zum Thema Nebenwinkel lernen möchtest, dann schau dir doch unseren Artikel zum Thema Nebenwinkel an!
Durch diese Regel bedingt, gibt es also drei Möglichkeiten, wie sich die Schnittwinkel zweier Geraden verhalten können:
1. Fall: α und β entsprechen beide 90°
Abbildung 9: α = β = 90°
Hier können wir die Formel von oben prüfen:
und
Wie du siehst, ist es in diesem Fall einfach, da α, α', β und β' alle 90° entsprechen.
Wenn dieser Fall eintrifft, dann bedeutet das, dass die beiden Geraden orthogonal zueinander sind. Orthogonal bedeutet, dass die Geraden senkrecht aufeinander stehen.
Dieser Fall tritt beispielsweise ein, wenn du die Schnittwinkel einer Normalen mit einer Tangente berechnen sollst. Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Berührpunkt mit einem Kreis oder einer nichtlinearen (also auf eine Art und Weise "kurvige") Funktion hat.
Eine Normale wiederum steht senkrecht auf dieser Tangente. Es tritt also genau dieser Fall ein. Hier gelten genau die gleichen Regeln, wie bei "normalen" Gleichungen ("normale" Gleichung ≠ Normalengleichung).
Wenn du die Gleichungen der beiden ausgerechnet hast oder bereits gegeben hast, kannst du auch die Tangensgleichung, die du gleich lernen wirst, anwenden.
Abbildung 10: Schnittwinkel bei Tangente und Normale
2. Fall: α ist ein spitzer Winkel, während β ein stumpfer Winkel ist
Abbildung 11: α = spitzer Winkel; β = stumpfer Winkel
Auch hier können wir die Formel überprüfen. Wie du schon bei den Arten von Schnittwinkeln gelernt hast, kann α theoretisch irgendwo zwischen 0° und 90° liegen, sodass es ein spitzer Winkel ist und β irgendwo zwischen 90° und 180° liegen, dass es ein stumpfer Winkel ist. In diesem Beispiel entspricht α = 30° und β = 150°.
beziehungsweise
3. Fall: α ist ein stumpfer Winkel und β ist ein spitzer Winkel
Abbildung 12: α = stumpfer Winkel; β = spitzer Winkel
Um die Formel wirklich auf alle Art und Weisen geprüft zu haben, können wir das in diesem Fall noch ein letztes Mal tun. Hier gilt: α kann einen Wert zwischen 90° und 180° annehmen, sodass es ein stumpfer Winkel ist, während β einen Wert zwischen 0° und 90° annehmen kann, dass es ein spitzer Winkel ist. In diesem Fall ist α = 140° und β = 40°.
und
Berechnen des Schnittwinkels zweier Geraden mit Hilfe der Tangensformel
Wenn du schon Funktionen von Geraden im Unterricht durchgenommen hast, dann hast du eine weitere Möglichkeit, den Schnittwinkel zweier Geraden zu berechnen: die Tangensformel. Sie lautet folgendermaßen:
Diese Formel kann sehr hilfreich sein, da oft weder α, noch β gegeben sind. steht für die Steigung der ersten Gerade, während für die Steigung der zweiten Gerade steht.
Zur Erinnerung: Geraden haben die Form , wobei m für die Steigung und t für den Achsenabschnittspunkt steht.
Gegeben ist die Gerade und die Gerade . Du sollst den Schnittwinkel α der beiden berechnen.
| Erklärung | Beispiel |
Zunächst müssen wir prüfen, ob sich die Geraden g und f überhaupt schneiden. Bei der anderen Berechnungsvariante hatten wir eine Zeichnung und es war von Anfang an sicher, dass sich die beiden Geraden treffen, aber hier ist nicht sicher, ob es überhaupt einen Schnittwinkel α gibt. Das machen wir, indem wir die Steigungen m der beiden vergleichen. Bei gleicher Steigung sind die Geraden parallel zueinander. Ansonsten schneiden sie sich. | Steigung von g(x): Steigung von f(x): |
| Als Nächstes können die Steigungen einfach in die Formel eingesetzt werden. | |
| Jetzt kannst du die Gleichung so weit wie möglich auflösen. Zur Erinnerung: Durch die Betragsstriche fallen alle Vorzeichen weg. Das Ergebnis ist immer positiv. | |
| Als Letztes kannst du jetzt die Betragsstriche auflösen, nach dem Arcustangens umstellen und das Ergebnis ausrechnen. Der Arcustangens steht für die Umkehrfunktion des Tangens. Es gilt: | Einmal ist das Ergebnis im Gradmaß angegeben und einmal im Bogenmaß |
| Natürlich kann es sein, dass du es am Ende noch zeichnen sollst oder willst. Dann kann das so aussehen: |
|
Schnittwinkel zweier Geraden: Messen
Doch wie kannst du die Schnittwinkel berechnen, wenn du weder α noch β gegeben hast und auch deren Formel nicht bestimmen kannst?
In diesem Fall kannst du durch Messen mit dem Geodreick die Größe der Schnittwinkel herausfinden. Dafür benötigst du eine Zeichnung. Hast du keine und weder α, noch β ist gegeben, kannst du die Aufgabe nicht lösen. Aber wie misst man einen Schnittwinkel mit dem Geodreieck? Und worauf muss man achten?
Mal angenommen, du hast eine Zeichnung, die so aussieht:
Abbildung 14: Beispiel mit Winkeln α und β
Jetzt sollst du den Schnittwinkel α der Geraden bestimmen.
| Erklärung | Vorgehen |
| Zunächst musst du dein Geodreieck so hinlegen, dass die "0" auf dem Schnittpunkt der beiden Geraden liegt. Außerdem solltest du darauf achten, dass die Kante an einer der Geraden anliegt, sodass der Winkel vom Geodreieck verdeckt wird.In unserem Beispiel legst du also das Geodreieck an der geraden g an, da hier auch α aufgespannt wird. |
|
| Als Nächstes musst du dir die richtige Winkelskala aussuchen. Nehme immer die, die an der Geraden anliegt und bei 0 beginnt.In diesem Fall ist es die "durchsichtige Skala", da sie unten links bei 0° startet. Dort startet auch der Schnittwinkel α, den wir messen wollen. Mit Winkelskala sind die Zahlen gemeint, die in einem Halbkreis auf Geodreick angeodnet sind. Die eine Skala ist gelb makiert, während die andere darunter einfach "durchsichtig" ist. |
|
| Jetzt kannst du den Wert ablesen!Unser Schnittwinkel α beträgt also 40°. Tipp: Wenn die Gerade nicht lange genug ist, dass du den Winkel ablesen kannst, lege, bevor du den Schnittwinkel misst, dein Lineal so an die Gerade, dass sie zusammen einen geraden Strich bilden. Jetzt kannst du die Gerade so verlängern, dass du den Winkel ablesen kannst. |
|
| Als Letztes kannst du deinen Wert noch einmal überprüfen, indem du den Wert mit der Zeichnung vergleichst.Hier:Ist der Wert unter 90°? Ja, er beträgt 40°.Dann muss der Winkel ein spitzer Winkel sein. In der Zeichnung erkennst du, dass du richtig liegst, da β größer als α ist (Fall 2). Dadurch kann es kein rechter Winkel sein, da sonst beide Winkel gleich groß wären (Fall 1). α kann auch kein stumpfer Winkel sein, da sonst β kleiner als α wäre, was ja nicht der Fall ist (Fall 3). |
|
- Geodreieck an die Gerade anlegen, mit der Nullstelle auf dem Schnittpunkt.
- Richtige Winkelskala aussuchen.
- Wert ablesen.
- Wert überprüfen.
Schnittwinkel zweier Geraden: Zeichnen
Natürlich kannst du Schnittwinkel nicht nur messen, du kannst sie auch zeichnen.
Deine Aufgabe ist es, einen Schnittwinkel α = 20° zu zeichnen. Wie gehst du vor?
| Erklärung | Vorgehen |
| Als Erstes zeichnest du eine Gerade g. |
|
| Anschließend legst du dein Geodreieck so an, dass die 0 am Ende der Geraden ist und die Kante auf der Geraden liegt. |
|
| Im nächsten Schritt musst du wieder die richtige Skala wählen. Sie muss an der Stelle bei 0 starten, an der du den Schnittwinkel beginnen möchtest. An dem Wert, der deinem Winkel entsprechen soll, machst du einen Punkt. In unserem Beispiel soll der Schnittwinkel 20° groß sein, weshalb wir einen Punkt bei 20° auf der gelben Skala gemacht haben. Hättest du die andere Skala gewählt, wäre der Winkel viel zu groß für 20°. |
|
| Jetzt musst du den Punkt mit dem Beginn der Geraden verbinden. |
|
| Als Letztes kannst du dein Ergebnis wieder genauso wie oben prüfen: 20° ist ein spitzer Winkel, was bedeutet, dass er kleiner als 90° sein muss. Das ist hier der Fall. Alternativ kannst du deinen Schnittwinkel natürlich auch einfach nachmessen, so wie du es oben gelernt hast. |  Abbildung 23: Winkel bei α = 20° |
- Gerade zeichnen.
- Geodreieck mit der Kante an die Geraden und mit der Nullstelle an das Ende der Geraden.
- Richtige Skala auswählen und bei dem gewünschten Winkelwert einen Punkt setzen.
- Punkt mit dem Beginn der Geraden verbinden.
- Ergebnis überprüfen.
Schnittwinkel zweier Geraden: Aufgaben
Zum Abschluss kannst du dein Wissen in den folgenden Aufgaben testen!
Aufgabe
1. Beschrifte folgende Zeichnung, sodass sie sich zum Berechnen der Schnittwinkel eignet.
2. Berechne anschließend die drei Schnittwinkel.
3. Gebe die Arten von Schnittwinkeln an.
Abbildung 24: Schnittwinkel zweier Geraden mit 120° Winkel
Lösung
1.
Winkel werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Die Reihenfolge ist egal, aber meistens beginnt man bei α und arbeitet sich dann im Alphabet voran. Die Winkel könnten also beispielsweise α und β heißen. Theoretisch könnten die anderen beiden Winkel γ und δ heißen, da die Zeichnung aber so beschriftet werden soll, dass man mit ihr gut rechnen kann, nennt man sie α' und β'.
Abbildung 25: Schnittwinkel zweier Geraden – Beschriftung
2.
Gegeben ist bereits β = 120°. Jetzt kannst du die Formel von oben anwenden. Dafür musst du sie nach α umstellen, deinen Wert für β einsetzen und dann das Ergebnis ausrechnen.
Wie du gelernt hast, sind gegenüberliegende Winkel immer gleich groß. Es gilt also:
Daraus folgt:
Abbildung 26: Schnittwinkel zweier Geraden
3.
Es können spitze Winkel, stumpfe Winkel oder rechte Winkel beim Schneiden zweier Geraden entstehen.
Für spitze Winkel gilt:
In unserem Fall trifft das zu, da:
Demnach ist α ein spitzer Winkel.
Für stumpfe Winkel gilt wiederum:
In diesem Fall trifft das auch zu, da:
Da α und α' und β und β' gleich groß sind, muss α', genauso wie α, ein spitzer Winkel und β', genauso wie β, ein stumpfer Winkel sein.
Schnittwinkel zweier Geraden - Das Wichtigste
- Winkel entstehen an der Schnittstelle zweier Geraden.
- So können spitze, stumpfe und rechte Winkel entstehen.
- Winkel werden in Grad angegeben und mit griechischen Buchstaben bezeichnet.
- Gegenüberliegende Winkel sind immer gleich groß.
- Nachbarwinkel ergeben zusammen immer 180°.
- Schnittwinkel können berechnet, gemessen oder gezeichnet werden.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Schnittwinkel zweier Geraden
Wie lautet die Formel für den Winkel zwischen zwei Geraden?
Du kannst den Winkel zwischen zwei Geraden mit der Formel alpha + beta = 180° beziehungsweise alpha' + beta' = 180° berechnen.
Ansonsten kannst du auch die Tangensformel verwenden:
tan(alpha) = |(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)|
Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier Geraden?
Du kannst den Schnittwinkel zweier Geraden mit Hilfe der Formel alpha + beta = 180° beziehungsweise alpha' + beta' = 180° berechnen. Alternativ kannst du auch die Tangensformel tan(alpha) = |(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)| verwenden. Du kannst aber auch den Schnittwinkel mit dem Geodreieck messen.
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