Sehnentangentenwinkel

Am Kreis lassen sich in der Geometrie viele verschiedene Beobachtungen machen. So entsteht zum Beispiel ein Kreisbogen, indem eine Linie von einem Punkt des Kreises zum anderen gezogen wird. Diese Kreissehne teilt den Kreis in zwei Kreisbögen. 

Los geht’s

Scanne und löse jedes Fach mit AI

Teste unseren Hausaufgabenhelfer gratis Homework Helper
Avatar

Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium

PREMIUM
Karteikarten Spaced Repetition Lernsets AI-Tools Probeklausuren Lernplan Erklärungen Karteikarten Spaced Repetition Lernsets AI-Tools Probeklausuren Lernplan Erklärungen
Kostenlos testen

Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst

Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?

SS Benefits Icon

Find your perfect university

Get started for free
SS Benefits Icon

Find your dream job

Get started for free
SS Benefits Icon

Claim big discounts on brands

Get started for free
SS Benefits Icon

Finance your studies

Get started for free
Sign up for free and improve your grades

Review generated flashcards

Leg kostenfrei los
Du hast dein AI Limit auf der Website erreicht

Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter

StudySmarter Redaktionsteam

Team Sehnentangentenwinkel Lehrer

  • 7 Minuten Lesezeit
  • Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam
Erklärung speichern Erklärung speichern
Melde dich kostenlos an, um Karteikarten zu speichern, zu bearbeiten und selbst zu erstellen.
Leg jetzt los Leg jetzt los
  • Geprüfter Inhalt
  • Letzte Aktualisierung: 08.10.2022
  • 7 Minuten Lesezeit
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
  • Geprüfter Inhalt
  • Letzte Aktualisierung: 08.10.2022
  • 7 Minuten Lesezeit
  • Inhalte erstellt durch
    Lily Hulatt Avatar
  • überprüft von
    Gabriel Freitas Avatar
  • Inhaltsqualität geprüft von
    Gabriel Freitas Avatar
Melde dich kostenlos an, um Karteikarten zu speichern, zu bearbeiten und selbst zu erstellen.
Erklärung speichern Erklärung speichern

Danke für dein Interesse an Audio-Lernen!

Die Funktion ist noch nicht ganz fertig, aber wir würden gerne wissen, warum du Audio-Lernen bevorzugst.

Warum bevorzugst du Audio-Lernen? (optional)

Feedback senden
Als Podcast abspielen 12 Minuten

Sehnentangentenwinkel Kreisbogen StudySmarterAbbildung 1: Kreisbogen

Was für Beobachtungen können an solchen Kreisbögen wohl gemacht werden? Eine davon betrifft die Sehnentangente, die am Kreis anliegt.

Sehnentangentenwinkel – Wiederholung der Grundlagen

Bevor Du Dir genaueres zur Sehnentangente und ihrem Winkel ansehen kannst, solltest Du Dir die anderen Winkel am Kreisbogen sowie den Begriff der Tangente in dieser kurzen Wiederholung ansehen.

Besondere Winkel am Kreisbogen

Wenn Du auf einem Kreis zwei beliebige Punkte A und B einzeichnest und diese zu einer Strecke verbindest, erhältst Du zwei Kreisbögen. Verbindest Du diese beiden Punkte zusätzlich jeweils mit dem Kreismittelpunkt, entsteht der sogenannte Mittelpunktswinkel. Verbindest Du A und B mit einem weiteren beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen, entsteht der sogenannte Umfangswinkel.

Sehnentangentenwinkel Winkel am Kreisbogen StudySmarterAbbildung 2: Winkel im Kreisbogen

Umfangswinkel/Randwinkel

Der Umfangswinkel oder auch Randwinkel ϕ ist der Winkel APB. Sein Scheitel P liegt auf dem Kreisbogen, der den Kreisbogen über AB¯ zum Kreis ergänzt.

Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß.

Mittelpunktswinkel

Ist M der Mittelpunkt des Kreisbogens, so ist AMB der Mittelpunktswinkel μ.

Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.

Alles Weitere zum Umfangswinkel sowie zum Mittelpunktswinkel erfährst Du in den Erklärungen Randwinkelsatz und Mittelpunktswinkel.

Tangente – Definition

Das Wort Tangente leitet sich von dem lateinischen Wort „tangere“ab, was auf Deutsch „berühren“ bedeutet.

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur in einem Punkt P berührt. Das bedeutet, dass die Tangente und die Kurve oder die Figur den Punkt P gemeinsam haben, die Tangente die Kurve bzw. die Figur jedoch nicht schneidet.

Hier siehst Du ein Beispiel für eine Tangente an einem Kreis.

Sehnentangentenwinkel Tangente am KreisAbbildung 3: Tangente am Kreis

Sehnentangentenwinkel berechnen & messen

Zusätzlich zu den zwei bekannten Winkeln gibt es noch einen dritten Winkel am Kreisbogen, den sogenannten Sehnentangentenwinkel. Diesen kannst Du mithilfe des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen. Was dieser Winkel ist und wie der zugehörige Satz lautet, erfährst Du jetzt.

Finde relevante Lernmaterialien und bereite dich auf den Prüfungstag vor

Kostenlos registrieren
Sehnentangentenwinkel

Sehnentangentenwinkel – Definition

Der Sehnentangentenwinkel ist der Winkel, der mit einer Tangente am Kreis durch einen der Punkte A oder B entsteht.

Ein Sehnentangentenwinkel τ zum gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne AB¯ und der Tangente am Kreisbogen durch einen der Punkte A oder B.

Wo der Winkel liegt, siehst Du hier:

Sehnentangentenwinkel Definition StudySmarterAbbildung 4: Sehnentangentenwinkel

Es kann auch sein, dass der Mittelpunktswinkel μ genau 180° beträgt oder größer als 180° ist. Dementsprechend verändern sich auch die anderen Winkel.

Wenn der Mittelpunktswinkel μ genau 180° beträgt, können die Winkel so aussehen:

Sehnentangentenwinkel Mittelpunktswinkel genau 180° StudySmarterAbbildung 5: Mittelpunktswinkel 180°

Beträgt der Mittelpunktswinkel μ mehr als 180°, so sieht das Ganze wie folgt aus.

Sehnentangentenwinkel Mittelpunktswinkel über 180° StudySmarterAbbildung 6: Mittelpunkswinkel über 180°

Zu jedem Kreisbogen gibt es entsprechend genau zwei Sehnentangentenwinkel an den Tangenten des Kreisbogens durch A und B.

Sehnentangentenwinkelsatz (Satz vom Sehnentangentenwinkel)

Der Sehnentangentenwinkel hat eine Besonderheit, welche in der Mathematik in einem eigenen Satz festgehalten wird.

Der Sehnentangentenwinkelsatz besagt, dass jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen genauso groß ist wie alle zugehörigen Umfangswinkel.

Der Satz sagt also aus, dass τ=ϕ gilt.

Verläuft die Kreissehne AB¯ durch den Mittelpunkt des Kreises, so gibt es eine Besonderheit.

Satz des Thales

In diesem Fall gilt der Satz des Thales.

Der Satz des Thales besagt, dass alle Dreiecke an einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind.

Dadurch, dass die Sehne durch den Mittelpunkt geht, halbiert sie den Kreis und es entsteht ein Halbkreisbogen. Damit gilt, dass in diesem Fall alle Umfangswinkel und daher die Sehnen 90° betragen.

Sehnentangentenwinkel Satz des Thales StudySmarterAbbildung 7: Satz des Thales

Mehr über diesen besonderen Satz erfährst Du in der Erklärung zum Satz des Thales.

Sehnentangentenwinkelsatz – Beweis

Doch warum gilt überhaupt der Sehnentangentenwinkelsatz? Das kannst Du im folgenden Beweis nachvollziehen.

Sehnentangentenwinkel Satz Beweis StudySmarterAbbildung 8: Beweis Sehnentangentenwinkelsatz

Du weißt, dass der Mittelpunktswinkel μ eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel ϕ{"x":[[634,627,618,601,592,579,575,571,569,568,569,574,581,601,613,638,650,661,673,694,704,712,725,729,731,731,728,721,699,687,675,651,641,631,616,608,603],[657,655,655,655,655,655,657,659,663,664,665,665,665,663,663,662]],"y":[[354,353,353,359,365,378,386,394,404,416,440,453,465,488,496,508,509,509,509,499,492,485,469,459,448,426,413,402,380,371,364,354,352,351,351,351,351],[214,219,228,240,254,271,316,343,406,437,469,503,562,590,614,637]],"t":[[0,7,33,35,38,59,60,68,76,86,106,110,119,139,143,160,168,176,185,204,210,219,238,243,252,271,276,285,303,310,319,337,343,352,370,376,385],[648,657,660,668,677,686,707,710,731,735,743,753,772,777,786,804]],"version":"2.0.0"}, also gilt

μ=2ϕ.

Das Dreieck ABM ist gleichschenklig, da der Mittelpunkt gleich weit entfernt von den beiden Punkten A und B ist. Außerdem hat es, wie alle Dreiecke, eine Innenwinkelsumme von 180°. Die Basiswinkel werden hier α genannt. Dann gilt:

α+α+2ϕ=180°2α+2ϕ=180°2(α+ϕ)=180°α+ϕ=90°α=90°-ϕ.

Zudem ist die Tangente senkrecht zum Radius des Kreises, der ja die Strecke AM¯ bzw. BM¯ ist. Das bedeutet, dass

α+τ=90°.

gilt. Ziehst Du den Basiswinkel α{"x":[[702,697,686,657,642,624,607,575,560,531,518,495,486,477,464,459,456,456,460,465,479,488,499,522,536,551,582,597,614,646,661,676,704,722,740]],"y":[[402,406,414,446,466,489,511,550,566,595,604,613,613,613,600,588,574,541,525,512,490,482,476,471,471,473,488,500,513,541,553,564,578,583,586]],"t":[[0,6,10,32,34,42,53,75,78,97,101,119,126,136,154,159,169,192,193,201,218,226,236,254,259,269,288,293,303,321,326,336,355,359,370]],"version":"2.0.0"} auf beiden Seiten ab und setzt dann für ihn 90°-ϕ ein, erhältst Du das gesuchte Ergebnis:

τ=90°-ατ=90°-(90°-ϕ)τ=ϕ.

Damit ist der Sehnentangentenwinkelsatz bewiesen.

Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten

Kostenlos registrieren
Sehnentangentenwinkel

Sehnentangentenwinkel messen

Du kannst den Sehnentangentenwinkel mithilfe der anderen gegebenen Winkel dank des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen. Hast Du einen gegebenen Winkel, kannst Du ihn auch messen.

Hast Du einen Kreisbogen mit einer Sehnentangente gegeben, legst Du das Geodreieck so an, um ihn zu messen.

Sehnentangentenwinkel messen StudySmarterAbbildung 9: Sehnentangentenwinkel messen

Dann kannst Du die Größe des Sehnentangentenwinkels ablesen. Hier beträgt er genau 80°.

Wie Du Winkel richtig misst, erfährst Du in der Erklärung Winkel messen.

Sehnentangentenwinkel berechnen – Aufgaben zum Üben

Damit Du das Gelernte direkt üben und anwenden kannst, findest Du nachfolgend ein paar Aufgaben zum Sehnentangentenwinkel und den dazugehörigen Winkeln am Kreisbogen.

Aufgabe 1

Berechne die Größe der Mittelpunktswinkel µ für folgenden Kreisbogen.

Sehnentangentenwinkel Aufgabe 1 StudySmarterAbbildung 10: Aufgabe 1

Lösung

Der Mittelpunktswinkel µ ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel. Zudem gilt mit dem Sehnentangentenwinkelsatz, dass der Umfangswinkel genauso groß ist wie der Sehnentangentenwinkel. Also gilt

ϕ=τ=110°

und

μ=2ϕ=2·110°=220°.

Aufgabe 2

Gegeben ist eine Kreissehne AB¯. Verbindest Du die Punkte A und B mit dem Kreismittelpunkt M, entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Basiswinkeln α=82.

Berechne den Mittelpunktswinkel μ{"x":[[535,531,531,531,531,531,531,531,531,531,531,529,527,524,520,517,516,513,512,511,510,509,508,507,507,507,507,507,508,509,512,514,515,516,518,520,527,529,531,535,536,536,538,539,539,540,540,540,540,539,536,536,536,536,539,544,555,561,575,582,589,595,600,605,613,616,618,619,619,619,619,618,616,614,610,607,605,603,603]],"y":[[365,372,375,382,385,388,392,396,405,410,416,428,436,443,459,467,474,491,500,509,526,535,542,555,559,563,567,566,562,555,537,526,513,483,467,452,424,413,402,382,374,366,353,349,347,345,349,355,365,375,395,405,414,426,429,429,428,423,410,402,393,384,376,368,356,352,350,349,350,356,363,383,394,408,436,449,461,478,484]],"t":[[0,13,23,46,46,54,63,72,92,96,105,125,129,139,158,163,172,191,196,205,224,229,238,256,263,272,290,320,329,339,358,363,372,390,396,405,424,429,439,457,463,472,490,496,505,524,545,555,563,572,591,596,605,624,629,639,659,663,681,688,696,708,713,722,742,746,755,774,788,796,806,825,830,839,857,863,872,891,896]],"version":"2.0.0"}.

Lösung

Hier gibt es zwei Möglichkeiten, wie Du vorgehst.

Möglichkeit 1 (mit Sehnentangentenwinkelsatz)

Der Basiswinkel α{"x":[[738,729,724,705,692,664,647,632,617,591,579,568,548,539,531,518,515,512,512,512,515,526,531,536,548,554,561,577,587,596,623,637,653,685,702,718,748,764]],"y":[[346,351,355,378,394,427,445,461,476,499,506,512,518,518,518,508,500,491,472,460,450,432,427,423,421,421,421,428,434,441,459,467,475,487,491,494,495,495]],"t":[[0,13,22,44,47,67,71,79,89,108,113,122,141,146,155,173,179,189,207,213,222,240,246,255,274,279,289,307,313,322,340,346,355,374,380,389,407,413]],"version":"2.0.0"} ergibt zusammen mit dem Sehnentangentenwinkel τ einen rechten Winkel. Du kannst also den Sehnentangentenwinkel berechnen, indem Du

τ=90°-α=90°-82°=8°

rechnest. Außerdem weißt Du, dass der Sehnentangentenwinkel genauso groß ist wie der Umfangswinkel, der halb so groß ist wie der Mittelpunktswinkel. Also gilt

τ=ϕ=μ2τ=μ22τ=μ.

Somit ist

μ=2·8°=16°.

Möglichkeit 2

Da der Mittelpunktswinkel genau in der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks liegt und die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer 180° ergibt, kannst Du wie folgt rechnen:

α+α+μ=180°2α+μ=180°μ=180°-2αμ=180°-2·82°μ=16°.

Aufgabe 3

Konstruiere einen Kreisbogen mit einer beliebigen Sehne AB¯ und den Sehnentangenten. Zeichne alle Winkel ein, die Du kennst. Markiere dabei alle Winkel, die gleich groß sind, in der gleichen Farbe.

Lösung

Deine Zeichnung sollte ungefähr so aussehen:

Sehnentangentenwinkel Lösung Aufgabe 3 StudySmarterAbbildung 11: Lösung Aufgabe 3

Sehnentangentenwinkel – Das Wichtigste

  • Ein Sehnentangentenwinkelτ zum gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne AB¯ und der Tangente am Kreisbogen durch einen der Punkte A oder B.
  • Du kannst den Sehnentangentenwinkel mithilfe der anderen gegebenen Winkel dank des Sehnentangentenwinkelsatzes berechnen.
  • Der Sehnentangentenwinkelsatz besagt, dass jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen ist genauso groß ist wie alle zugehörigen Umfangswinkel.
  • Verläuft die KreissehneAB¯ durch den Mittelpunkt des Kreises, so greift der Satz des Thales und alle Umfangswinkel sowie die Sehnentangentenwinkel betragen 90°.

Nachweise

  1. Scheid, Schwarz (2016). Elemente der Geometrie. Springer-Verlag.
  2. Bittner et. al. (2013). Kompendium der Mathematik. Springer-Verlag.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Sehnentangentenwinkel

Was ist der Sehnentangentenwinkel?

Der Sehnentangentenwinkel zu einem gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne AB und der Tangente am Kreisbogen durch den Punkt A bzw. B.

Wie wird der Sehnentangentenwinkel berechnet?

Der Sehnentangentenwinkel wird mit dem Sehnentangentenwinkelsatz berechnet. Dieser sagt aus, dass der Sehnentangentenwinkel am Kreisbogen genau so groß ist, wie der Umfangswinkel.

Wozu benötigt man den Sehnentangentenwinkel?

Der Sehnentangentenwinkel hilft bei der Berechnung anderer Winkel am Kreisbogen, zum Beispiel für die Berechnung des Umfangswinkels oder des Mittelpunktswinkels.

Erklärung speichern
Wie stellen wir sicher, dass unser Content korrekt und vertrauenswürdig ist?

Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.

Content-Erstellungsprozess:
Lily Hulatt Avatar

Lily Hulatt

Digital Content Specialist

Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.

Lerne Lily kennen
Inhaltliche Qualität geprüft von:
Gabriel Freitas Avatar

Gabriel Freitas

AI Engineer

Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.

Lerne Gabriel kennen

Entdecke Lernmaterialien mit der kostenlosen StudySmarter App

Kostenlos anmelden
1
Über StudySmarter

StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

Erfahre mehr
StudySmarter Redaktionsteam

Team Mathe Lehrer

  • 7 Minuten Lesezeit
  • Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam
Erklärung speichern Erklärung speichern

Lerne jederzeit. Lerne überall. Auf allen Geräten.

Kostenfrei loslegen

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

  • Karteikarten & Quizze
  • KI-Lernassistent
  • Lernplaner
  • Probeklausuren
  • Intelligente Notizen
Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!
Sign up with GoogleSign up with Google
Mit E-Mail registrieren

Schließ dich über 30 Millionen Studenten an, die mit unserer kostenlosen StudySmarter App lernen

Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

Intent Image
  • Intelligente Notizen
  • Karteikarten
  • AI-Assistent
  • Lerninhalte
  • Probleklausuren